2022-2023學(xué)年浙江省衢州第三中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的補集、交集運算求解.【詳解】因為，所以或，又，所以，故A，B，C錯誤.故選：D.2．若，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】不等式可化為或，所以“”可以推出“”，所以“”是“”的充分條件，又“”不能推出“”，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，即可判斷大小關(guān)系.【詳解】因為,所以為減函數(shù)，所以，即.因為,所以為增函數(shù)，所以，即.因為,所以為增函數(shù)，所以，即，所以．故選：D4．函數(shù)的部分圖像大致為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及時的函數(shù)值為正值，利用排除法即可得出答案.【詳解】因為，又函數(shù)的定義域為，故為奇函數(shù)，排除AC；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故，則，排除D.故選：B5．已知，則（    ）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再將正切值代入即可.【詳解】因為，所以，故選：A.6．已知的外接圓半徑為1，，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理化邊為角，再利用兩角和的正弦公式結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得解.【詳解】由正弦定理可得，所以，則.故選：D.7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個不等的實數(shù)根，則的取值范圍是　　A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的范圍．【詳解】解：函數(shù)，的圖象如圖：關(guān)于的方程有8個不等的實數(shù)根，必須有兩個不相等的實數(shù)根且兩根位于之間，由函數(shù)圖象可知，．令，方程化為：，，，開口向下，對稱軸為：，可知：的最大值為：，的最小值為：2．．故選：．【點睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力，屬于中檔題．8．在中，已知，，且滿足，，若線段和線段的交點為，則（    ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】待定系數(shù)法將向量分解，由平面向量共線定理求出系數(shù)，然后代回原式計算【詳解】設(shè)，由知，∴，∵，，三點共線，∴①，由知，∴，∵，，三點共線，∴②，由①②得：.，∴，而，∴故選：B 二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（    ）A．是純虛數(shù) B．對應(yīng)的點位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.【詳解】對于A：，其實部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；對于B：，其在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第四象限，B錯誤；對于C：，則，C錯誤；對于D：，則，D正確.故選：AD.10．已知向量，則（    ）A．B．的夾角為C．與共線的單位向量D．在上的投影向量為【答案】BD【分析】求出的坐標(biāo)，再利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷A；求出夾角判斷B；由單位向量的意義判斷C；求出投影向量的坐標(biāo)判斷D作答.【詳解】依題意，，顯然，即與不共線，A錯誤；，又，則的夾角為，B正確；與共線的單位向量，C錯誤；在上的投影向量為，D正確.故選：BD11．是定義在R上的函數(shù)，，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，下列結(jié)論正確的是（  ）A．的圖像關(guān)于點對稱B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的值域為D．的實數(shù)根個數(shù)為6【答案】BC【分析】利用可判斷A;根據(jù)函數(shù)滿足的性質(zhì)推得和皆為的圖象的對稱軸，可判斷B;數(shù)形結(jié)合判斷C;數(shù)形結(jié)合，將的實數(shù)根個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，判斷D.【詳解】由題意可知當(dāng)時，，故，則，即的圖象不關(guān)于點對稱，A錯誤；將代入中的x可得，故4為函數(shù)的周期；函數(shù)為偶函數(shù)，可得，則的圖象關(guān)于直線對稱，即有，則，故的圖象也關(guān)于直線對稱，由于4為函數(shù)的周期，故和皆為的圖象的對稱軸，當(dāng)時，，故B正確；因為，所以由函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)的圖象如圖，可知函數(shù)值域為，C正確；方程的根即與的圖象的交點的橫坐標(biāo)，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以與的圖象共有7個交點，即方程的實數(shù)根個數(shù)為7，故D錯誤.故選：BC【點睛】方法點睛：（1）抽象函數(shù)的奇偶性以對稱性結(jié)合問題，往往要采用賦值法，推得函數(shù)周期性；（2）方程根的個數(shù)問題，往往采用數(shù)形結(jié)合，將根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題.12．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．如圖在塹堵中，，且．下列說法正確的是（    ）A．四棱錐為“陽馬”B．四面體為“鱉臑”C．四棱錐體積最大為D．過點分別作于點，于點，則【答案】ABD【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉臑”的定義，可判斷A，B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)時，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證平面，進(jìn)而判斷D的正誤.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，A選項，∴，又，且，則平面，∴四棱錐為“陽馬”，對；B選項，由，即，又且，∴平面，∴，則為直角三角形，又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．∴四面體為“鱉臑”，對；C選項，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，錯；D選項，因為平面，則，且，則平面，∴，又且，則平面，所以則，對；故選：ABD． 三、填空題13．已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，則的最大值是    .【答案】4【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得 ，求得，故的最大值為，故答案為：414．若，，且，則的最小值為        ．【答案】3【分析】根據(jù)“1”的變形技巧，再由均值不等式求最小值即可.【詳解】由題意得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故答案為：315．已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝2，AB＝1，，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為   ．【答案】【分析】由題意結(jié)合球心的性質(zhì)確定三棱錐的外接球的球心的位置，求得球的半徑，即可求外接球的表面積【詳解】由題意，在三棱錐中，平面，平面，所以，,又，，平面，所以平面，平面，所以，設(shè)的中點為，因為，所以，因為，所以，所以為三棱錐外接球的球心，因為，，所以，因為，，，所以，設(shè)三棱錐外接球的為，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：.16．已知奇函數(shù)的定義域為，且有，，若對，，都有，則不等式的解集為        ．【答案】【分析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，的定義域是，是奇函數(shù)，所以，所以是偶函數(shù)，由于對，，都有，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減.，由得，即，所以或，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題的關(guān)鍵點是熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義及其變型.任取定義域內(nèi)的兩個數(shù)，且，通過計算的符合來判斷的單調(diào)性，也可以利用的符號來判斷的單調(diào)性. 四、解答題17．已知：、是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中．(1)若且與垂直，求與的夾角；(2)若且與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量垂直的數(shù)量積運算得出，進(jìn)而由得出與的夾角；（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運算得出，解不等式得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）解：由得，即，所以，得，又，所以；（2）解：因為，，所以所以，則，由 得，即，因為與的夾角為銳角，所以18．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，是的中點.(1)求證平面(2)求直線與平面所成的角的大小【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）取中點，連接，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)線面平行判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意證明平面,故是直線與平面 所成的角的平面角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】（1）如圖1，取中點，連接，因為是的中點，所以，又因為在直三棱柱中，是的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以,因為平面，平面，所以平面；（2）如圖2，連接，，由直三棱柱的性質(zhì)可知平面，因為平面，所以，因為，，是的中點，所以，因為，平面,所以平面,所以是直線與平面所成的角的平面角，因為，，所以不妨設(shè)，則，，，所以，則，所以，因為，所以所以直線與平面 所成的角的大小.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求的值.【答案】(1)和(2) 【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，由可求得的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由已知可得出，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式可求得的值.【詳解】（1）解：由題意得，因為，所以，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）解：由（1）知..20．海岸上建有相距海里的雷達(dá)站C，D，某一時刻接到海上B船因動力故障發(fā)出的求救信號后，調(diào)配附近的A船緊急前往救援，雷達(dá)站測得角度數(shù)據(jù)為,.(1)救援出發(fā)時，A船距離雷達(dá)站C距離為多少？(2)若A船以30海里每小時的速度前往B處，能否在3小時內(nèi)趕到救援？【答案】(1)120海里(2)能在3小時內(nèi)趕到救援 【分析】（1）由題意，在中，根據(jù)正弦定理即可求解；（2）在中，根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而在中，利用余弦定理求出，而，從而即可作出判斷.【詳解】（1）解：在中，因為，，所以，，又，所以由正弦定理可得，即，解得，所以A船距離雷達(dá)站C距離為120海里；（2）解：在中，根據(jù)正弦定理可得，即，解得，在中，由余弦定理可得，解得，因為A船以30海里每小時的速度前往B處，而，所以能在3小時內(nèi)趕到救援.21．如圖，棱柱中，底面是平行四邊形，側(cè)棱底面，過的截面與上底面交于，且點在棱上，點在棱上，且，，.（1）求證：；（2）若二面角的平面角的余弦值為，求側(cè)棱的長.【答案】（1）證明見解析；（2）2．【解析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理可推出，再由平行的傳遞性可證得（2）先找出二面角的平面角，表示出，求出，再設(shè)，建立方程求出，進(jìn)而求出.【詳解】（1）在棱柱中，面，面，面面，由線面平行的性質(zhì)定理有，又，故；（2）證明：在底面中，，，.， ，又因為側(cè)棱底面，則底面面，又，面過點作于，連接，則是二面角的平面角．，，則，故，，．設(shè)，則．，故，故．【點睛】方法點睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．22．定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，都存在唯一的，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”.(1)判斷是否為“型函數(shù)”?并說明理由；(2)若存在實數(shù)，使得函數(shù)始終是“型函數(shù)”，求的最小值；(3)若函數(shù)，是“型函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不是，理由見解析(2)1(3) 【分析】（1）根據(jù)“型函數(shù)”的定義，結(jié)合特殊值進(jìn)行判斷.（2）根據(jù)的定義域求得的范圍，結(jié)合“型函數(shù)”的定義以及函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.（3）對進(jìn)行分類討論，根據(jù)“型函數(shù)”的定義列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）是偶函數(shù)，且在遞減，遞增.當(dāng)時，；當(dāng)時，.若取，則不存在，使得.所以不是“型函數(shù)”.（2）首先函數(shù)定義域為，則，解得.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以只需對恒成立即可.所以，即的最小值為1.（3）由題是“型函數(shù)”.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，.而，要使存在且唯一，則有，解得.所以.當(dāng)時，在遞減，遞增，.而，要使存在且唯一，則有，解得.所以.綜上可知：.【點睛】新定義問題的求解必須緊扣新定義，新定義型試題的難點就是對新定義的理解和運用，在解決問題時要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中. 

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