2022-2023學(xué)年湖北省荊州市公安縣第三中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若實數(shù)a使得，則（   ）A． B．C．且 D．a可以是任意實數(shù)【答案】D【分析】先求時的范圍，再求其補集即可.【詳解】設(shè)，則，所以，此方程組無解，所以使的實數(shù)不存在，即對任意的實數(shù)，總有，故選：D.2．已知空間兩不同直線m，n，兩不同平面，，下列命題正確的是（    ）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．若不垂直于，且，則不垂直于【答案】C【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】對于A, 若且，則或者異面，或者相交，故A錯誤，對于B, 若且，則，故B錯誤，對于C，若且，則，故C正確，對于D，若不垂直于，且，則有可能與垂直,例如在正方體中，不垂直平面,平面,但是,理由如下：平面，平面,所以又，平面,所以平面,平面,故，故D錯誤，故選：C3．設(shè)如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由相等向量的定義即可得，所以A錯誤；由向量的加減法則，結(jié)合三角形法則可知BC錯誤，D正確.【詳解】根據(jù)相等向量的概念可得，即A錯誤；由向量的三角形法則可得，即B錯誤；易知，所以可得，即C錯誤；由向量的減法法則可得，所以D正確；故選：D4．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是　(　　)A．AB B．AD C．BC D．AC【答案】D【詳解】因為A′B′與y′軸重合，B′C′與x′軸重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC為斜邊，故AB<AD<AC，BC<AC.故選D.5．小明有一卷紙，紙非常的薄且緊緊纏繞著一個圓柱體軸心卷成一卷，它的整體外貌如圖，紙卷的直徑為12cm，軸的直徑為4cm，當(dāng)小明用掉的紙后，則剩下的這卷紙的直徑最接近于（    ）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】設(shè)出剩下的這卷紙的直徑，根據(jù)體積關(guān)系即可求出.【詳解】設(shè)小明用掉的紙后，剩下的這卷紙的直徑為cm，卷紙高為cm，則由題可知，解得，所以剩下的這卷紙的直徑最接近于7cm.故選：B.6．如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點，則直線與平面的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求出以及平面的一個法向量，即可根據(jù)向量關(guān)系求出.【詳解】以點為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，∴，，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，所以平面的一個法向量，∵，∴，∴，∴直線與平面的夾角為.故選：B.【點睛】本題考查直線與平面夾角的求法，建立空間坐標系，利用向量法解決是常用方法.7．如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，為的中點，是側(cè)面上一點，且平面，則線段的最大值為（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用面面平行的性質(zhì)，通過平面平面，得出點在線段上，從而求出線段的最大值.【詳解】如圖，取的中點，取的中點，連接，，，所以，又面，面，所以平面，又為的中點，所以,又面，面，所以平面，又，面，面，所以平面平面，又因為是側(cè)面上一點，且平面，所以在線段上，又因為，，所以線段的最大值為.故選：A.8．在等邊中，P為上一點，D為上一點，且，則的邊長為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)的邊長為，易得，故，解方程即可得出答案.【詳解】設(shè)的邊長為，因為是等邊三角形，所以，因為，所以，所以.所以，解得：.即的邊長為.故選：A. 二、多選題9．已知、、為空間中三條不同的直線，、、為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的有（    ）A．若，，，則B．若，，，若，則C．若，、分別與、所成的角相等，則D．若，，，則【答案】BD【分析】對于AC，通過舉反例說明其錯誤；利用線面平行的性質(zhì)可判斷B選項；由垂直的性質(zhì)及平行公理進行可判斷D選項.【詳解】對于A，如圖1，若，，，則可以與平行，故A錯誤；對于B，因為，，，且，，則，因為，，則，故，B對；對于C，如圖2，若，、分別與、所成的角為時，與可以相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若，，則，又，則，D對.故選：BD.10．已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（    ）.A．B．C．若，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限D．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線【答案】AD【分析】根據(jù)虛數(shù)單位i的性質(zhì)可判斷A；由虛數(shù)不能比較大小判斷B；計算出復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C；明確的幾何意義，判斷D.【詳解】對于A，，故正確；對于B, 虛數(shù)，不能比較大小，故錯誤；對于C, ，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點 位于第二象限，故錯誤；對于D, 復(fù)數(shù)滿足，即復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到點 的距離相等，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為連線的中垂線，故正確，故選：AD11．已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且對于任意，都有，則（    ）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】BCD【分析】依題意可得，再由奇偶性得到，從而得到，即可判斷A，由，可得，再由，即可求出，從而判斷B，再結(jié)合奇偶性的定義判斷C、D.【詳解】解：由，得．由是奇函數(shù)，得，即，所以，即，所以，故選項A錯誤；由，得，由，得，所以，故選項B正確；由，，得，即為偶函數(shù)，故選項C正確；由，，得，則，即為奇函數(shù)，故選項D正確．故選：BCD12．如圖，在四邊形中，和是全等三角形，，，下面有兩種折疊方法將四邊形折成三棱錐折法①將沿著折起，形成三棱錐，如圖；折法②：將沿著折起，形成三棱錐，如圖下列說法正確的是（    ）  A．按照折法①，三棱錐的外接球表面積值為B．按照折法①，存在，滿足C．按照折法②，三棱錐體積的最大值為D．按照折法②，存在滿足平面，且此時與平面所成線面角的正弦值為【答案】ABCD【分析】對于：由和是全等三角形，，，得到為外接球的直徑求解判斷；對于B：由，則為等邊三角形時判斷；對于C：由平面平面時，三棱錐的體積最大判斷；對于D：由時得到平面，從而是與平面所成的角求解判斷.【詳解】解：對于：和是全等三角形，，，．可得中點到，，，的距離相等，故為棱錐的外接球的球心，為直徑，外接球的半徑為，三棱錐的外接球表面積值為，故A正確，對于B：，當(dāng)為等邊三角形時，可得，又，平面，平面，，即存在，滿足，故B正確；對于C：三棱錐體積最大時，平面平面，由已知可得，為等邊三角形，且易求到平面的距離為，，故C正確；對于D：當(dāng)，可得，，平面，則是與平面所成的角，由，，由勾股定理可得，在中，，故D正確．故選：ABCD． 三、填空題13．設(shè)常數(shù)，若函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則  ．【答案】2【分析】根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱求解.【詳解】由題意得的圖象過，所以，解得．故答案為:2.14．中，BC邊上的點D滿足，，點G在三角形內(nèi)，滿足，則的值為      ．【答案】6【分析】利用向量數(shù)量積的運算，得到，再由，得出G是的重心，從而得到，求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，如下圖，取中點，因為，所以，得到，所以三點共線，且，所以G是的重心，所以．故答案為：6.15．在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且∠BAC的平分線交BC于D，若，則的最小值為        ．【答案】9【分析】先根據(jù)三角形面積關(guān)系列等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】因為AD平分∠BAC，所以，，即，又，整理得，故所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時等號成立，則的最小值是9．故答案為：.16．在梯形中，，，為的中點，將沿直線翻折成，當(dāng)三棱錐的體積最大時，過點的平面截三棱錐的外接球所得截面面積的最小值為           .【答案】2π【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時，此時到底面的高最大，即此時平面平面，即平面，設(shè)球心為在平面內(nèi)作，垂足為,證明平面即得解.【詳解】解：由題得, 因為.因為,所以是△外接圓的圓心，外接圓的半徑為當(dāng)三棱錐的體積最大時，由于底面的面積是定值，所以此時到底面的高最大，即此時平面平面，即平面.如圖，設(shè)球心為在平面內(nèi)作，垂足為, 因為,所以,所以平面,所以過點的平面截三棱錐的外接球所得最小截面就是過的外接圓. 所以截面的最小值為.故答案為： 四、解答題17．對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在兩個不同的實數(shù)x，滿足，則稱為“類指數(shù)函數(shù)”．(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“類指數(shù)函數(shù)”，并說明理由；(2)若為“類指數(shù)函數(shù)”，求a的取值范圍．【答案】(1)不是 “類指數(shù)函數(shù)”(2) 【分析】（1）是否為“類指數(shù)函數(shù)”，可以轉(zhuǎn)化為方程是否存在兩個不同的實數(shù)根；（2）是否為“類指數(shù)函數(shù)”， 轉(zhuǎn)化為方程是否存在兩個不同的實數(shù)根，進一步化簡、換元轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解.【詳解】（1）若函數(shù)為“類指數(shù)函數(shù)”，則在定義域內(nèi)存在兩個不同的實數(shù)x滿足方程，.由于函數(shù)與在R上均單調(diào)遞增，所以在R上均單調(diào)遞增，至多有一個零點，所以不是 “類指數(shù)函數(shù)”.（2）若函數(shù)為“類指數(shù)函數(shù)”，則方程有兩個不同的實數(shù)根，即方程有兩個不同的實數(shù)根，整理得，設(shè)，則方程有兩個不等的正根，，由，解得或；由，解得；由，解得.所以.故a的取值范圍．18．在中，角，，的對邊分別是，，，若，且.(1)當(dāng)，時，求，的值；(2)若角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，或，(2) 【分析】（1）利用正弦定理將角化為邊，再結(jié)合已知條件，解方程組，解得即可；（2）結(jié)合余弦定理與，解不等式即可．【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，因為，，所以，又，所以，或，．（2）由（1）知，且，由余弦定理得，因為為銳角，所以，所以，解得或（舍去），故實數(shù)的取值范圍為．19．如圖，在三棱錐中，底面．點分別為棱，的中點，是線段的中點，．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)、平行公理得到，然后利用線面平行的判定定理證明；（2）利用線面垂直判定定理可得平面，進而得到底面，利用中位線定理得到到底面的距離，利用體積轉(zhuǎn)化法計算體積.【詳解】（1）證明：分別是中點，，同理，又平面平面，平面．（2）解：底面平面，平面，平面，分別為中點，，平面，點到平面的距離為，，即三棱錐的體積為．20．（1）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)；（2）某國際標準足球場長105m，寬68m，球門AB寬7.32m．當(dāng)足球運動員M沿邊路帶球突破時，距底線CA多遠處射門，對球門所張的角最大？（精確到1米）【答案】（1）證明見解析（2）34m【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)兩角差的正切公式解得條件表示出張角的正切，然后根據(jù)基本不等式即得.【詳解】（1）設(shè)任意的且，則，因為且，，，，所以，即，即對任意的，當(dāng)時，都有，故在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；（2）設(shè)運動員在，球門為，依題意，，設(shè)，則，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)米時等號成立，所以距底線米處射球門，對球門所張的角最大.  21．已知O為坐標原點，，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).已知函數(shù)，(1)求的伴隨向量，并求.(2)關(guān)于x的方程在內(nèi)恒有兩個不相等實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.(3)將函數(shù)圖象上每一點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，再把整個圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，已知，，在函數(shù)的圖象上是否存在一點P，使得，若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1)；.(2)(3)存在，. 【分析】（1）利用兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)伴隨向量的定義可得伴隨向量，利用模長公式可求出其模長；（2）轉(zhuǎn)化為的圖象與直線在內(nèi)恒有兩個不同的交點，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)果；（3）假設(shè)存在符合題意的，則點在以為直徑的圓上，該圓的圓心為，半徑為，根據(jù)兩點間的距離公式列式可得，根據(jù)以及可得，進一步可求出點的坐標.【詳解】（1）因為，所以，.（2）因為關(guān)于x的方程在內(nèi)恒有兩個不相等實數(shù)解，所以的圖象與直線在內(nèi)恒有兩個不同的交點，的圖象如圖：由圖可知，.（3）依題意可得，，的中點為，假設(shè)在函數(shù)的圖象上是否存在一點，使得，則點在以為直徑的圓上，該圓的圓心為，半徑為，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以.綜上所述：在函數(shù)的圖象上是否存在一點P，使得，且.22．如圖，在四棱錐中，，且，底面是邊長為的菱形，．(1)證明：平面平面；(2)若，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接交于點，連接，即可得到、，從而得到平面，即可得證；（2）解法一：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，則，再根據(jù)錐體的體積公式計算可得；解法二：由已知可得為正三角形，求出線段的長度，即可得到三棱錐是為棱長為的正四面體，即可得到其所對應(yīng)的正方體的棱長，即可求出其體積；解法三：取AB中點M，連接DM交AC于點H，連接PH，可證平面，再求出高，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】（1）連接交于點，連接，因為是菱形，所以，且為的中點，因為，所以，又因為，平面，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．.（2）解法一：由（1）可知，平面平面，又平面平面，，平面，所以平面，所以，由已知可得，，又，且O為BD的中點．所以，，又，，所以，所以，，所以．解法二：由已知可得：為正三角形，且，，又，且O為BD的中點，所以，，又，，所以，從而，，所以三棱錐是為棱長為的正四面體，而它所對應(yīng)的正方體的棱長為，所以．解法三：取AB中點M，連接DM交AC于點H，連接PH．因為，所以是等邊三角形，所以，又因為，，PD，平面PDM，所以平面，平面，所以，由（1）知，且，平面，所以平面．由是邊長為2的菱形，在中，，，由，在中，，所以．所以四棱錐的體積為．. 

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