2022-2023學年湖北省荊州市開發(fā)區(qū)高級中學高一下學期3月月考數(shù)學試題 一、單選題1．已知扇形的周長為6cm，半徑是2cm，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（        ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由題意可列關于扇形的圓心角的方程，解之即可.【詳解】設扇形的圓心角為α rad，半徑為Rcm，則，解得α＝1．故選：A．2．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，則角α的取值范圍是（    ）A．  B． C．  D．∪【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出三角函數(shù)線，找出角度范圍，即可表示.【詳解】角α的取值范圍為圖中陰影部分如下所示吧：  即∪故選：.【點睛】本題考查由三角函數(shù)值的范圍，求角度的范圍，涉及三角函數(shù)線的應用，屬基礎題.3．化簡（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導公式化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：C.4．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：B.5．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可以排除A，B選項，再根據(jù)當，且時，，排除D選項，可得答案.【詳解】由函數(shù)有，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A，B選項.又當，且時，，，即，排除D選項.故選：C.6．函數(shù)的部分圖象如圖，的最小正零點是，的單調(diào)遞增區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圖可得，令有，根據(jù)的最小正零點是求，即可寫出的解析式，由整體代入法求的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由圖知：，令，∴，則，可得，∵的最小正零點是，且，∴當時，，得.∴，令，∴，故在上遞增.故選：B7．已知函數(shù)若函數(shù)（）恰有個零點，分別為，，，，且，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)圖象和直線．根據(jù)對數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)性質(zhì)可得的性質(zhì)，從而求得相應范圍．【詳解】的零點即為函數(shù)的圖象與直線的交點的橫坐標，作出的圖象和直線，如圖，，區(qū)間正好是的一個周期，和時取得最大值，因此是它在上的對稱軸，，由得，，所以，它在時是增函數(shù)，，，所以的取值范圍是．故選：D．8．若關于x的不等式在上恒成立，則m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由三角恒等變換將題設轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，即可求解.【詳解】不等式可轉(zhuǎn)化為，即在上恒成立，當時，，則，則.故選：D. 二、多選題9．下列計算中正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】結(jié)合誘導公式及正余弦的和差角公式分別進行化簡，即可求解.【詳解】對于A，，錯誤；對于B，，正確；對于C，，正確；對于D，，正確.故選：BCD10．已知曲線：，：，則（    ）A．把向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，得到B．把向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到C．把上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，再向左平移個單位長度，得到D．把上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，再向左平移個單位長度，得到【答案】BD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換直接求解.【詳解】變換方式一：將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到曲線．變換方式二：因為，所以將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到的圖象，再向左平移個單位長度，得到曲線．故選:BD．11．已知，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由題意得，可得，根據(jù)的范圍，可得，的正負，即可判斷A的正誤；求得的值，即可判斷D的正誤，聯(lián)立可求得，的值，即可判斷B的正誤；根據(jù)同角三角函數(shù)的關系，可判斷C的正誤，即可得答案.【詳解】因為，所以，則，因為，所以，，所以，故A正確；所以，所以，故D正確；聯(lián)立，可得，，故B正確；所以，故C錯誤.故選：ABD.12．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且對于，當，，且時，恒成立．若對任意的恒成立，則實數(shù)a的范圍可以是下面選項中的（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】首先得到為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再根據(jù)一元二次不等式恒成立求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以的圖象關于軸對稱，即為偶函數(shù)，又當，，且時，恒成立，即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，若對任意的恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，即，解得，即，故符合條件的有A、B、C；故選：ABC 三、填空題13．函數(shù)的定義域為      .【答案】【分析】根據(jù)被開方式大于等于零，分母不為零，即可得到結(jié)果.【詳解】使函數(shù)有意義需滿足：，解得，且，故定義域為.故答案為：14．已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是      ．【答案】【分析】分段函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在兩個分段區(qū)間上都單調(diào)遞增，且在上的最大值要不大于上的任意函數(shù)值，據(jù)此解答即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以當時，在上單調(diào)遞增，又因為開口向下，對稱軸為，所以，故，且在上的最大值為，當時，在上單調(diào)遞增，所以由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，且，故，得，由于以上條件要同時成立，故，即.故答案為：.15．已知，則      .【答案】【分析】直接利用誘導公式及二倍角公式求解即可.【詳解】.故答案為：16．函數(shù)的所有零點之和為          ．【答案】9【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，，作出這兩個函數(shù)的部分圖象，確定兩個圖象的交點個數(shù)，再結(jié)合性質(zhì)計算作答.【詳解】由，令，，顯然與的圖象都關于直線對稱，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，  觀察圖象知，函數(shù)，的圖象有6個公共點，其橫坐標依次為，這6個點兩兩關于直線對稱，有，則，所以函數(shù)的所有零點之和為9.故答案為：9 四、解答題17．已知且求及【答案】，【分析】根據(jù)同角平方公式，結(jié)合正弦和角公式與余弦和角公式，可得答案.【詳解】由，則，即，，.18．已知且.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由代入正切函數(shù)的二倍角公式即可求解；（2）求出，利用兩角和的正切函數(shù)公式可得答案.【詳解】（1）因為，所以．（2）因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以．19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且在處取得最大值，圖象與軸交于點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)圖象可得函數(shù)的周期，從而求得，結(jié)合函數(shù)在處取得最大值，可求得的值，再根據(jù)圖象與軸交于點，可求得，從而可得解；（2）根據(jù)（1）及角的范圍求得，，再利用兩角差的余弦公式進行化簡可求解.【詳解】（1）由圖象可知函數(shù)的周期為，所以.又因為函數(shù)在處取得最大值所以，所以，因為，所以，故.又因為，所以，所以.（2）由（1）有，因為，則，由于，從而，因此.所以.20．2021年3月1日，國務院新聞辦公室舉行新聞發(fā)布會，工業(yè)和信息化部提出了芯片發(fā)展的五項措施，進一步激勵國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度．根據(jù)市場調(diào)查某數(shù)碼產(chǎn)品公司生產(chǎn)某款運動手環(huán)的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入20萬元．若該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款運動手環(huán)萬只并能全部銷售完，平均每萬只的銷售投入為萬元，且．當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款運動手環(huán)5萬只并全部銷售完時，年利潤為300萬元．(1)求出的值并寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少萬只時，公司在該款運動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．【答案】(1)，(2)當年產(chǎn)量為30萬只時，公司在該款運動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為850萬元． 【分析】（1）由題意可得，由可求出，然后可得的解析式；（2）利用二次函數(shù)的知識求出當時的最大值，利用基本不等式求出當時的最大值，然后作比較可得答案.【詳解】（1）由題意可得當時，所以解得所以（2）當時，，其對稱軸為所以當時取得最大值萬元當時，萬元當且僅當即時等號成立因為所以當年產(chǎn)量為30萬只時，公司在該款運動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為850萬元．21．已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）若函數(shù)的圖象過點，且關于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當時，解指數(shù)、對數(shù)不等式求得不等式的解集.（2）利用求得，由分離常數(shù)，利用構造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的值域，求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，.由，得，得，得，解得.故不等式的解集是.（2）因為函數(shù)的圖象過點，所以，即，解得.所以.因為關于的方程有實根，即有實根.所以方程有實根..令，則.因為，，所以的值域為.所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】研究方程的零點問題，可考慮分離常數(shù)法，結(jié)合函數(shù)值域進行求解.22．已知.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意的恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)（）(2) 【詳解】（1）化簡得，令，，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）可得，即，對任意的恒成立，只需要即可， ，令，，為減函數(shù)，所以當時，，所以. 

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