專(zhuān)題2.55 圓（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

這是一份專(zhuān)題2.55 圓（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（蘇科版），共37頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?專(zhuān)題2.55 圓（全章直通中考）（培優(yōu)練）
一、單選題
1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的最小值是（????）
??
A．3 B． C． D．2
2．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（????）
A． B． C． D．
3．（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，弧長(zhǎng)為半圓的弓形在坐標(biāo)系中，圓心在．將弓形沿x軸正方向無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)是（????）

A． B． C． D．
4．（2021·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸正半軸上有一點(diǎn)C，使∠ACB＝30°，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（　　）
A．34 B．12 C．6+3 D．6
5．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的面積是（???）

A．3 B． C． D．
6．（2020·四川·統(tǒng)考中考真題）已知：等腰直角三角形ABC的腰長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在斜邊AB上，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PC＝2，則PM的最小值為（　?。?br /> A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
7．（2020·山東臨沂·中考真題）如圖，在中，為直徑，，點(diǎn)D為弦的中點(diǎn)，點(diǎn)E為上任意一點(diǎn)，則的大小可能是（????）

A． B． C． D．
8．（2019·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，、是?。ó愑?、）上兩點(diǎn)，是弧上一動(dòng)點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則、兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是（????）

A． B． C． D．
9．（2019·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為2的等邊的重心，的兩邊與的邊交于E，F(xiàn)，，則與的邊所圍成陰影部分的面積是（????）

A． B． C． D．
10．（2019·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（????）

A． B． C． D．
二、填空題
11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為
??
12．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，則t的取值范圍是 ．
??
13．（2020·四川達(dá)州·中考真題）已知的三邊a、b、c滿足，則的內(nèi)切圓半徑= ．
14．（2020·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)是圓心，點(diǎn)，分別在邊，上，若，則的度數(shù)是 度．

15．（2020·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，是對(duì)角線，，⊙O與邊相切于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 ．

16．（2020·青?！そy(tǒng)考中考真題）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，，，，則與之間的距離為 cm．
17．（2020·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且與交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 ．

18．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接A′C，．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到直線距離的最大值是 ；點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，線段掃過(guò)的面積為 ．

三、解答題
19．（2019·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上不與點(diǎn)B，D重合的任意一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：；
（2）填空：
①若，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為　 ?。?br /> ②取的中點(diǎn)H，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為　 　時(shí)，四邊形OBEH為菱形．








20．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．
（1）求證平分，并求的大??；
（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．







21．（2007·安徽蕪湖·中考真題）已知多邊形ABDEC是由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，一圓過(guò)A、D、E三點(diǎn)，求該圓半徑的長(zhǎng)．


、






22．（2020·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)E在直徑CD的延長(zhǎng)線上，且．
（1）試判斷AE與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若，求陰影部分的面積．








23．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于，在上取一點(diǎn)E，連接，．過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，連接，．
（1）求證：；
（2）若，，求陰影部分的面積．






24．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過(guò)x軸上一點(diǎn)C，與y軸交于A、B兩點(diǎn)，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
（1）判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求AB的長(zhǎng)；
（3）連接BM并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)D，連接CD，求直線CD的解析式．





























參考答案
1．A
【分析】如圖所示，延長(zhǎng)到E，使得，連接，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為得到，再證明是的中位線，得到；解得到，進(jìn)一步求出點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，據(jù)此求出的最小值，即可得到答案．
解：如圖所示，延長(zhǎng)到E，使得，連接，
∵的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)A為中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴；
在中，，
∴，
∵將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，
∵，
∴的最小值為，
∴的最小值為3，
故選A．
??
【點(diǎn)撥】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．B
【分析】根據(jù)，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得△ABC中AB邊上的高和△PAB中AB邊上的高的值，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線時(shí)，OP取得最小值，OP=CP-OC，過(guò)O作OE⊥BC，求得OC=，則可求解．
解：如圖，

，，
∴
=
=
=
==，
∴，
設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，
則，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等邊三角形，
∴，
，
∴點(diǎn)P在平行于AB，且到AB的距離等于的線段上，
∴當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OP取得最小值，
過(guò)O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，弄清題意，找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】求出一個(gè)周期圓心走的路程，即可求出圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為時(shí)圓心的位置，故可求解．
解：如圖，圓心在，可得r=2
∴OA=，AB=2r=4，BC=，==
∴一個(gè)周期圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為OA++BC=4，
∴C（4+2，0），
故當(dāng)圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為時(shí)，
÷4=505…1
∴圓心的橫坐標(biāo)是505×（4+2）+=
故選D．

【點(diǎn)撥】此題主要考查弧與坐標(biāo)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出一個(gè)周期圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
4．A
【分析】如圖，作的外接圓 連接 過(guò)作軸于 作軸于 則四邊形是矩形，再證明是等邊三角形，再分別求解即可得到答案.
解：如圖，作的外接圓 連接 過(guò)作軸于 作軸于 則四邊形是矩形，



是等邊三角形，





故選：
【點(diǎn)撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，三角形的外接圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.
5．D
【分析】由題意知，又長(zhǎng)度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以中點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的長(zhǎng)，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長(zhǎng)度即可得到是等邊三角形，利用特殊三邊關(guān)系即可求解．
解：

取中點(diǎn)O，并以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓
由題意知：當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短




點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)
在中，
是等邊三角形

在中，
．

【點(diǎn)撥】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)的線段最值問(wèn)題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問(wèn)題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓．
6．B
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊AB＝4，由已知條件得到點(diǎn)P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB的中線上時(shí)，PM的值最小，于是得到結(jié)論．
解：∵等腰直角三角形ABC的腰長(zhǎng)為4，
∴斜邊AB＝4，
∵點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PC＝2，
∴點(diǎn)P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，
當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB的中線上時(shí)，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，
故選：B．

【點(diǎn)撥】本題考查線段最小值問(wèn)題，涉及等腰三角形的性質(zhì)和點(diǎn)到圓的距離，解題的關(guān)鍵是能夠畫(huà)出圖形找到取最小值的狀態(tài)然后求解．
7．C
【分析】連接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，設(shè)∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)分別求得∠OED和∠COE，最后根據(jù)線段的和差即可解答．
解：連接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵，點(diǎn)D為弦的中點(diǎn)
∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
設(shè)∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=
∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x
∴∠OED＜
∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°．
又∵∠CED＜∠ABC=40°，
故答案為C．

【點(diǎn)撥】本題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．
8．A
【分析】連接BE，由題意可得點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，由此可得∠AEB＝135°，為定值，確定出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是是弓形AB上的圓弧，此圓弧所在圓的圓心在AB的中垂線上，根據(jù)題意過(guò)圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，在CD的延長(zhǎng)線上，作DF＝DA，則可判定A、E、B、F四點(diǎn)共圓，繼而得出DE＝DA＝DF，點(diǎn)D為弓形AB所在圓的圓心，設(shè)⊙O的半徑為R，求出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，DA＝R，進(jìn)而求出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為弧AEB，弧長(zhǎng)為，即可求得答案.
解：連結(jié)BE，
∵點(diǎn)E是∠ACB與∠CAB的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴BE平分∠ABC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－（∠CAB+∠CBA）＝135°，為定值，，

∴點(diǎn)E的軌跡是弓形AB上的圓弧，
∴此圓弧的圓心一定在弦AB的中垂線上，
∵，
∴AD=BD，
如下圖，過(guò)圓心O作直徑CD，則CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在CD的延長(zhǎng)線上，作DF＝DA，
則∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F四點(diǎn)共圓，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴點(diǎn)D為弓形AB所在圓的圓心，
設(shè)⊙O的半徑為R，
則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：，
DA＝R，
點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為弧AEB，弧長(zhǎng)為：，
C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)比為：，
故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，涉及了三角形的內(nèi)心，圓周角定理，四點(diǎn)共圓，弧長(zhǎng)公式等，綜合性較強(qiáng)，正確分析出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑是解題的關(guān)鍵.
9．C
【分析】連接、，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為N，由點(diǎn)O是等邊三角形的內(nèi)心可以得到，結(jié)合條件即可求出的面積，由，從而得到，進(jìn)而可以證到，因而陰影部分面積等于的面積．
解：連接、，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為N，
∵為等邊三角形，
∴，
∵點(diǎn)O為的內(nèi)心
∴，．
∴．
∴．，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
∴
故選C．

【點(diǎn)撥】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)心、三角形的內(nèi)角和定理，有一定的綜合性，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．
10．A
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
解：∵在中，，
，
，
，BC為半圓O的直徑，
，
，
，
圖中陰影部分的面積
故選A．
【點(diǎn)撥】本題考查扇形面積公式、直角三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分割法求面積．
11．或
【分析】如圖，由是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得在以為直徑的圓上，，可得是圓與直線的交點(diǎn)，當(dāng)重合時(shí)，符合題意，可得，當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過(guò)作軸于，延長(zhǎng)交于，則，，證明，設(shè)，可得，，而，則，再解方程可得答案．
解：如圖，∵是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴在以為直徑的圓上，，
∴是圓與直線的交點(diǎn)，
??
當(dāng)重合時(shí)，
∵，則，
∴，符合題意，
∴，
當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過(guò)作軸于，延長(zhǎng)交于，則，，
∴，
??
∵，，
∴，
∴，
∴，設(shè)，
∴，，
而，
∴，
解得：，則，
∴，
∴；
綜上：或．
故答案為：或．
【點(diǎn)撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．
12．
【分析】利用切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再求得，分兩種情況討論，畫(huà)出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．
解：設(shè)與兩邊的切點(diǎn)分別為D、G，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，
??
由，
∵，
∴，
∴，
∴，
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，
??
同理，
∵，
∴，
當(dāng)與相切時(shí)，有最大或最小值，
連接，
∵D、E都是切點(diǎn)，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴的最大值為；
如圖，
????
同理，的最小值為；
綜上，t的取值范圍是．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．
13．1
【分析】先將變形成，然后根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求得a、b、c的值，再運(yùn)用勾股定理逆定理說(shuō)明△ABC是直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．
解：


則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴的內(nèi)切圓半徑==1．
故答案為1．
【點(diǎn)撥】本題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理逆定理的應(yīng)用以及直角三角形內(nèi)切圓的求法，掌握直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法以及求得a、b、c的值是解答本題的關(guān)鍵．
14．120
【分析】本題可通過(guò)構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理證明角等，繼而利用SAS定理證明三角形全等，最后根據(jù)角的互換結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求解本題．
解：連接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下圖所示：
因?yàn)榈冗吶切蜛BC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂徑定理得：AH=AM，
又因?yàn)镺A=OA，故△OAH△OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本題答案為：120．

【點(diǎn)撥】本題考查圓與等邊三角形的綜合，本題目需要根據(jù)等角的互換將所求問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造輔助線是本題難點(diǎn)，全等以及垂徑定理的應(yīng)用在圓綜合題目極為常見(jiàn)，圓心角、弧、圓周角的關(guān)系需熟練掌握．
15．
【分析】連接OD，先求出等邊三角形OAB的面積，再求出扇形的面積，即可求出陰影部分的面積．
解：如圖，連接OD，

∵AB是切線，則OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面積為：，
∴陰影部分的面積為：；
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確求出等邊三角形的面積和扇形的面積．
16．7或1．
【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O同一側(cè)時(shí)，當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長(zhǎng)度，即可得到答案．
解：分兩種情況考慮：
當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，

過(guò)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，
∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根據(jù)勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根據(jù)勾股定理得：OE═4cm，
則EF=OEOF=4cm3cm=1cm；
當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm．
故答案為：7或1．
【點(diǎn)撥】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類(lèi)討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．
17．
【分析】根據(jù)題意證得，推出∠BPE =60，∠BPD =120，得到C、B、P、D四點(diǎn)共圓，知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．
解：連接BD，

∵菱形中，，
∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，
∴△ABD和△CBD都為等邊三角形，
∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，
∵DF=AE，
∴，
∴∠DBF=∠ADE，
∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60，
∴∠BPD=180-∠BPE=120，
∵∠C=60，
∴∠C+∠BPD =180，
∴C、B、P、D四點(diǎn)共圓，即⊙O是的外接圓，
∴當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，
∴∠BOD =2∠BCD =120，
作OG⊥BD于G，
根據(jù)垂徑定理得：BG=GD=BD=，∠BOG =∠BOD =60，
∵，即，
∴，
從而點(diǎn)的路徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)準(zhǔn)確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．
18．
【分析】（1）通過(guò)分析點(diǎn)A′的運(yùn)動(dòng)軌跡，是以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓上，從而求解；
（2）畫(huà)出相應(yīng)的圖形，從而利用扇形面積和三角形面積公式計(jì)算求解
解：（1）由題意可得點(diǎn)A′的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓上，
∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
∴∠ACA′最大為90°
當(dāng)CA′⊥AB時(shí)，點(diǎn)A′到直線AB的距離最大，如圖
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC
∵，，，
∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=，
在Rt△BCE中，BE=CE=1
∴CA′=CA=
又∵CA′⊥AB
∴在Rt△ACF中，CF=
∴A′F=A′C-CF=
即點(diǎn)到直線距離的最大值是；

點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，線段掃過(guò)的面積為：
==

故答案為：；
【點(diǎn)撥】本題考查軌跡，含30°直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
19．（1）見(jiàn)分析（2）①②30°
【分析】（1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得，再應(yīng)用同角的余角相等可得，易得，得證；
（2）作，應(yīng)用等弧所對(duì)的圓周角相等得，再應(yīng)用角平分線性質(zhì)可得結(jié)論；由菱形的性質(zhì)可得，結(jié)合三角函數(shù)特殊值可得．

解：（1）證明：如圖1，，，

AB是的直徑，
，





；

（2）①如圖2，過(guò)F作于H，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

，

，
，即
，
，即，

故答案為．

②連接OE，EH，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，
，



四邊形OBEH為菱形，


．
故答案為
【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值等，關(guān)鍵在靈活應(yīng)用性質(zhì)定理．
20．（1）見(jiàn)分析，；（2）
【分析】（1）根據(jù)已知得出，則，即可證明平分，進(jìn)而根據(jù)平分，得出，推出，得出是直徑，進(jìn)而可得；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，，是等邊三角形，進(jìn)而得出，由是直徑，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．
（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直徑，
∴；
（2）解：∵，，
∴，則．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等邊三角形，則．
∵平分，
∴．
∵是直徑，
∴，則．
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴，則，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直徑，
∴此圓半徑的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)撥】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21．2
【分析】作AF⊥BC，垂足為F，并延長(zhǎng)交DE于H點(diǎn)．根據(jù)其軸對(duì)稱(chēng)性，則圓心必定在AH上．設(shè)其圓心是O，連接OD，OE．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，可以求得AH，DH的長(zhǎng)，設(shè)圓的半徑是r．在直角三角形BOH中，根據(jù)勾股定理列方程求解．
解：如圖，

作AF⊥BC，垂足為F，并延長(zhǎng)交DE于H點(diǎn)．
∵△ABC為等邊三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四邊形BDEC為正方形，
∴AH垂直平分正方形的邊DE．
又DE是圓的弦，∴AH必過(guò)圓心，記圓心為O點(diǎn)，并設(shè)⊙O的半徑為r．
在Rt△ABF中， ∵∠BAF=，
∴．
∴OH==ｒ．
在Rt△ODH中，．
∴．解得ｒ＝2．
∴該圓的半徑長(zhǎng)為2．
22．（1）AE與⊙O相切，理由見(jiàn)詳解；（2）．
【分析】（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，進(jìn)而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）連接AD，利用解直角三角形求出圓的半徑，然后根據(jù)，即可求出陰影部分的面積．
解：（1）AE與⊙O相切，理由如下：
連接AO，

∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切線；
（2）連接AD，則，
∴∠DAC=90°，
∴CD為⊙O的直徑，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴，
∴，
∴，∠AOD=60°，
∴
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確作出輔助線，從而進(jìn)行解題．
23．（1）證明見(jiàn)分析；（2）
【分析】（1）如圖，連接，證明，再證明，，可得，結(jié)合，從而可得結(jié)論；
（2）如圖，連接，，過(guò)作于，設(shè)，在上取Q，使，證明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用進(jìn)行計(jì)算即可．
（1）解：如圖，連接，
∵，則，
??
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）如圖，連接，，過(guò)作于，設(shè)，在上取Q，使，
??
∵O為正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的邊長(zhǎng)，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查的是正多邊形與圓，圓周角定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
24．（1）⊙M與x軸相切，理由見(jiàn)分析；（2）6；（3）
【分析】（1）連接CM，證CM⊥x即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N，證四邊形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，設(shè)AN=x，則OA=5-x，MN=OC=6-（5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂徑定理得AB=2AN即可求解；
（3）連接BC，CM，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以O(shè)B=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，從而得出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線CD解析式即可．
（1）解：⊙M與x軸相切，理由如下：
連接CM，如圖，

∵M(jìn)C=MA，
∴∠MCA=∠MAC，
∵AC平分∠OAM，
∴∠MAC=∠OAC，
∴∠MCA=∠OAC，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
∵M(jìn)C是⊙M的半徑，點(diǎn)C在x軸上，
∴⊙M與x軸相切；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N，

由（1）知，∠MCO=90°，
∵M(jìn)N⊥AB于N，
∴∠MNO=90°，AB=2AN，
又∵∠CON=90°，
∴四邊形OCMN是矩形，
∴MN=OC，ON=CM=5，
∵OA+OC=6，
設(shè)AN=x，??
∴OA=5-x，MN=OC=6-（5-x）=1+x，
在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得
x2+（1+x）2=52，
解得：x1=3，x2=-4（不符合題意，舍去），
∴AN=3，
∴AB=2AN=6；
（3）解：如圖，連接BC，CM，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥CM于P，

由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，
∴OB=8，C（4，0）
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得
BC=，
∵BD是⊙M的直徑，
∴∠BCD=90°，BD=10，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得
CD=，即CD2=20，
在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，
在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，
∴20-CP2=10CP-CP2，??
∴CP=2，
∴PD2=20-CP2=20-4=16，
∴PD=4，即D點(diǎn)橫坐標(biāo)為OC+PD=4+4=8，
∴D（8,-2），
設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得
，解得：，
∴直線CD的解析式為：．
【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓相切的判定，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握直線與圓相切的判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法是解題的關(guān)鍵．