第2章對(duì)稱圖形——圓（單元測(cè)試·基礎(chǔ)卷）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第2章對(duì)稱圖形——圓（單元測(cè)試·基礎(chǔ)卷）
【要點(diǎn)回顧】

圓

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外時(shí)，的值可能是（? ??）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（??????）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
3．在中，直徑弦于點(diǎn)若，則的長(zhǎng)為（??）

A． B．
C． D．
4．如圖，點(diǎn)在上，，則（? ??）

A． B． C． D．
5．如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（? ??）
??
A．8 B．4 C．3.5 D．3
6．如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（? ??）
??
A． B． C． D．
7．如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（? ??）

A． B． C． D．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（???）
??
A．25° B．35° C．40° D．50°
9．大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形，若對(duì)角線的長(zhǎng)約為8mm，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（???）

A．2mm B． C． D．4mm
10．如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，；④，其中一定正確的結(jié)論有（? ??）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

12．如圖，在⊙O中，弦的長(zhǎng)為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為．

13．如圖，點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，若陰影部分的面積為，則半圓的半徑OA的長(zhǎng)為．

14．如圖，四邊形內(nèi)接于，延長(zhǎng)至點(diǎn)，已知，那么．
??
15．如圖，某博覽會(huì)上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點(diǎn)處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是，為了監(jiān)控整個(gè)展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺(tái)．
??
16．如圖，內(nèi)接于是直徑，過點(diǎn)A作的切線．若，則的度數(shù)是度．

17．在中，若，，則的面積的最大值為．
18．如圖，的半徑為，為的弦，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留與根號(hào)）

三、解答題（本大題共6小題，共58分）
19．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延長(zhǎng)DA
與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連結(jié)AC，CE．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的長(zhǎng)．

20．（8分）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度米，拱高米，
（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即米是否要采取緊急措施？

21．（10分）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）判斷直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

22．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：AC∥DE；
（2）連接CD，若OA=AE=a，寫出求四邊形ACDE面積的思路．

23．（10分）已知為的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，點(diǎn)D為延長(zhǎng)線一點(diǎn)，連接.
（Ⅰ）如圖①，，若與相切，求和的大?。?br /> （Ⅱ）如圖②，與交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接，若，求的大小.

24．（12分）“抖空竹”在我國(guó)有著悠久的歷史，是國(guó)家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．小穎玩“抖空竹”游戲時(shí)發(fā)現(xiàn)可以將某時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題．如圖，，分別與相切于點(diǎn)，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，，的半徑為2，．
（1）連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）求劣弧的長(zhǎng)；
（3）若某時(shí)刻，與交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
??????????

參考答案
1．C
【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)“點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外”可得，由此即可得出答案．
解：在中，，，，
，
點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外，
，即，
觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．D
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，
即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，
∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，
∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】先連接OD,然后利用垂徑定理和勾股定理解答即可．
解：如圖連接OD
∵直徑AB＝15，
∴DO=BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝
∴DE＝2DC＝12．
故選：C．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線并靈活運(yùn)用垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】先證明再利用等弧的性質(zhì)及圓周角定理可得答案．
解：點(diǎn)在上，，

故選：
【點(diǎn)撥】本題考查的兩條弧，兩個(gè)圓心角，兩條弦之間的關(guān)系，圓周角定理，等弧的概念與性質(zhì)，掌握同弧或等弧的概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．B
【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)求解即可．
解：∵是銳角三角形的外接圓，，
∴點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，
∴，
∵的周長(zhǎng)為21，
∴即，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)撥】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．D
【分析】如圖所示，連接，先由同弧所對(duì)的圓周角相等得到，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則．
解：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
故選D．
??
【點(diǎn)撥】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，關(guān)鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．
解：作直徑AD，連接CD，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=（AD）2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．
8．C
【分析】根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余即可求解．
解：，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直徑，
，
．
故選C．
【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．D
【分析】如圖，連接CF與AD交于點(diǎn)O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
解：連接CF與AD交于點(diǎn)O，
∵為正六邊形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD為等邊三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六邊形的邊長(zhǎng)為4mm，
故選：D．

【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到∠ADB=∠BDC，故①正確；根據(jù)點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，可得不一定等于，故②錯(cuò)誤；當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，DB為圓O的直徑，可得∠BCD=90°，再由是等邊的外接圓，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正確；延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使AE=AD，證明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，從而得到△BDE是等邊三角形，可得到DE=BD，故④正確；即可求解．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正確；
∵點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，DB為圓O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∵是等邊的外接圓，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正確；
如圖，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使AE=DC，

∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正確；
∴正確的有3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
11．
【分析】連接，先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，再根據(jù)等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，由此即可得出答案．
解：如圖，連接，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
由同圓半徑相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三線合一），
又點(diǎn)位于軸正半軸，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了同圓半徑相等、等腰三角形的三線合一、點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．
12．
【分析】先根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得．
解：由題意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．
13．
【分析】如圖，連接證明再證明從而可以列方程求解半徑．
解：如圖，連接
點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，

為等邊三角形，

??

解得：（負(fù)根舍去），
故答案為：

【點(diǎn)撥】本題考查的圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，平行線的判定與性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和平角的定義即可得解．
解：∵，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
15．4
【分析】圓周角定理求出對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，利用圓心角的度數(shù)即可得解．
解：∵，
∴對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為，
∵，
∴最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺(tái)；
故答案為：4
【點(diǎn)撥】本題考查圓周角定理，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，是解題的關(guān)鍵．
16．35
【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠BAC=55°，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BAD=90°，即可求解．
解：∵AB為直徑，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠BAC=55°，
∵AD與相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案為：35
【點(diǎn)撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．
17．9+9
【分析】首先過C作CM⊥AB于M，由弦AB已確定，可得要使△ABC的面積最大，只要CM取最大值即可，即可得當(dāng)CM過圓心O時(shí)，CM最大，然后由圓周角定理，證得△AOB是等腰直角三角形，則可求得CM的長(zhǎng)，繼而求得答案．
解：作△ABC的外接圓⊙O，過C作CM⊥AB于M，

∵弦AB已確定，
∴要使△ABC的面積最大，只要CM取最大值即可，
如圖所示，當(dāng)CM過圓心O時(shí)，CM最大，
∵CM⊥AB，CM過O，
∴AM＝BM（垂徑定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝AB＝×6＝3，
∴OA＝，
∴CM＝OC＋OM＝＋3，
∴S△ABC＝AB?CM＝×6×（＋3）＝9+9．
故答案為：9+9．
【點(diǎn)撥】此題考查了圓周角定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意得到當(dāng)CM過圓心O時(shí)，CM最大是關(guān)鍵．
18．
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．
解：如圖所示，連接，設(shè)交于點(diǎn)????
??
∵將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，
∴，
又
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴,
∴陰影部分面積
故答案為：．
19．（1）見分析（2）
【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先設(shè)BC=x，則AC=x-2，由在Rt△ABC中，，可得方程：，解此方程即可求得CB的長(zhǎng)，繼而求得CE的長(zhǎng)．
解：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵DC=CB
∴AD=AB
∴∠B=∠D
（2）設(shè)BC=x，則AC=x－2，
在Rt△ABC中，，
∴，解得：（舍去）．
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E
∴CD=CE
∵CD=CB，
∴CE=CB=．
20．（1）米；（2）不需要采取緊急措施，理由見分析
【分析】（1）連接，利用表示出的長(zhǎng)，在中根據(jù)勾股定理求出的值即可；
（2）連接，在中，由勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)，據(jù)此可得出結(jié)論．
解：（1）連接，
由題意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）連接，

，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取緊急措施．
【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
21．（1）見分析；（2）直線與⊙O相切，理由見分析．
【分析】（1）AB為⊙O的直徑得，結(jié)合AB=AC，用HL證明全等三角形；
（2）由得BD=BC，結(jié)合AO=BO得OD為的中位線，由得，可得直線DE為⊙O切線．
解：（1）∵AB為⊙O的直徑
∴
在和中

∴（HL）
（2）直線與⊙O相切，理由如下：
連接OD，如圖所示：

由知：，
又∵OA=OB
∴OD為的中位線
∴
∵
∴
∵OD為⊙O的半徑
∴DE與⊙O相切．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的證明，切線的判定，熟知以上知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
22．（1）證明見分析；（2）.
【分析】（1）欲證明AC∥DE，只要證明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）作DM⊥OA于M，連接CD，CO，AD，首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)S平行四邊形ACDE=AE?DM，只要求出DM即可．
解：（1）∵ED與⊙O相切于D，
∴OD⊥DE，
∵F為弦AC中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∴AC∥DE．
（2）作DM⊥OA于M，連接CD，CO，AD．
∵AC∥DE，AE=AO，
∴OF=DF，
∵AF⊥DO，
∴AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等邊三角形，同理△CDO也是等邊三角形，
∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，
∴AO∥CD，又AE=CD，
∴四邊形ACDE是平行四邊形，易知DM=，
∴平行四邊形ACDE面積=．

【點(diǎn)撥】本題考查切線的性質(zhì)．熟練掌握切線的性質(zhì)和兩直線平行的判定是解決問題的關(guān)鍵.
23．（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的大小，利用圓周角定理求出的大??；
（Ⅱ）首先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，得出，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，即可得出.
解：（Ⅰ）連接，如圖所示，

∵是的切線，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴.
∴.
∴；
（Ⅱ）連接，如圖所示：

∵是的直徑，
∴.
∴.
∵，
∴.
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴.
∵，
∴，
∴.
【點(diǎn)撥】此題屬于容易題，主要考查切線的性質(zhì)與判定、圓周角定理及其圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).失分原因：（1）不能根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的大小，不能利用圓周角定理求出的大小；（2）未掌握直徑所對(duì)的圓周角是90°，不能靈活運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
24．（1）四邊形為正方形，理由見分析；（2）劣弧的長(zhǎng)為；（3）
【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）求得圓心角，利用弧長(zhǎng)公式即可求解；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，得到，，再設(shè)，據(jù)此求解即可．
（1）解：四邊形為正方形．
理由：∵，分別與相切，
∴，，
∴，
又∵，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴四邊形為正方形；
（2）解：由（1）可知，四邊形為正方形，
∴，
∴劣弧的長(zhǎng)；
（3）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
??
由（1）可知，四邊形為正方形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
設(shè)，則，．
∵，
∴，
解得，
∴．
【點(diǎn)撥】本題是圓的綜合題，考查了正方形的判定，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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