解題技巧：構造隱圓
定弦定角解決問題的步驟：
（1）讓動點動一下，觀察另一個動點的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個動點的運動軌跡為一段弧。
（2）找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補角），（這個補角一般為、）
（3）找張角所對的定弦，根據(jù)三點確定隱形圓，確定圓心位置
（4）計算隱形圓的半徑
（5）圓心與所求線段上定點的距離可以求出來
（6）最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑
【典例1】如圖，已知矩形ABCD．
（1）如圖①，請在矩形ABCD的內部或邊上畫出使∠APB＝45°的點P的軌跡；
（2）如圖②，請在矩形ABCD的內部或邊上畫出使∠APB＝90°的點P的軌跡；
（3）如圖③，請在矩形ABCD的內部或邊上畫出使∠APB＝120°的點P的軌跡．
【解答】解：（1）如圖，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O為圓心，OA為半徑畫圓，
則即為所求；
（2）如圖，以AB為直徑作圓，則即為所求（不與A、B重合）；
（3）如圖，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O為圓心，OA為半徑畫圓，則即為所求（不與A、B重合）；．
【變式1-1】（秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P在矩形的內部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴點P在以AB為直徑的圓上運動，設圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值為2﹣4，
故選：C．
【變式1-2】如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，則線段DP的最小值為 ﹣1 ．
【答案】見試題解答內容
【解答】解：如圖：
，
∵動點F，E的速度相同，
∴DF＝AE，
又∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴AD＝AB，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠FAD+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵點P在運動中保持∠APB＝90°，
∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，
設AB的中點為G，連接DG交弧于點P，此時DP的長度最小，
AG＝BG＝AB＝1．
在Rt△BCG中，DG＝＝＝，
∵PG＝AG＝1，
∴DP＝DG﹣PG＝﹣1
即線段DP的最小值為﹣1，
故答案為：﹣1．
【變式1-3】（廣西模擬）如圖，AC為邊長為的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝60°，點M，N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，連接AM和BN，求△APB面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠ABM＝60°，
∵點M，N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，
∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN＝60°，
∴∠ABP+∠BAM＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∴點P在弧AB上運動，
∴當＝時，△PAB的面積最大，最大值＝×2×1＝，
故選：D．
【變式1-4】（宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個動點，D為PB上的一個動點，連接AD，當∠CBP＝∠BAD時，線段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
取AB的中點E，連接DE，CE，
∴DE＝AB＝4，
∴OC＝OB＝4，
∵CD≥CE﹣DE，
∴CD的最小值為4﹣4，
故選：D
【變式1-5】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連接AP，取AP中點Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為（ ）
A．3B．1+C．1+3D．1+
【答案】D
【解答】解：如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，
當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大（也可以通過CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值為1+，
故選：D．
【典例2】如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，點P在射線AM上運動，連BP交△APC的外接圓于D，則AD的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．4﹣3
【答案】A
【解答】解：連接CD，則∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°
∵BC＝4，
∴點D在以BC為弦的一段圓弧上運動，圓心角為90°，
設圓心為O，連接BO、CO、DO，
則△BCO為等腰直角三角形，
∴CO＝4，∠BCO＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACO＝90°，
∴AO＝＝＝5，
∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（當且僅當D是AF與圓弧的交點時取等號），
∴線段AD的長的最小值為1，
故選：A．
【變式2-1】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為 ．
【答案】2﹣2
【解答】解：連接AE，如圖1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
∴AB＝AC＝4，
∵AD為直徑，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴點E在以AB為直徑的⊙O上，
∵⊙O的半徑為2，
∴當點O、E、C共線時，CE最小，如圖2，
在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，
∴OC＝＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，
即線段CE長度的最小值為2﹣2．
故答案為2﹣2．
【變式2-1】如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點E在AB上，＝，在矩形內找一點P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（ ）
A．2﹣2B．C．4D．2
【答案】A
【解答】解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過點O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．
∵∠BPE＝∠EOB，
∴點P的運動軌跡是以O為圓心，OE為半徑的⊙O，
∴當點P落在線段OD上時，DP的值最小，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝3，AE：EB＝1：2，
∴BE＝2，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四邊形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝2，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，
故選：A．
【變式2-2】（柳南區(qū)校級模擬）如圖，在邊長為的等邊△ABC中，動點D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點P，則CP的最小值為 ．
【答案】1
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴點P的運動軌跡是，∠AOB＝120°，連接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cs30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值為1．
【變式2-3】【問題原型】如圖①，在⊙O中，弦BC所對的圓心角∠BOC＝90°，點A在優(yōu)弧BC上運動（點A不與點B、C重合），連結AB、AC．
（1）在點A運動過程中，∠A的度數(shù)是否發(fā)生變化？請通過計算說明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【問題拓展】如圖②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分別是AB、BC的中點，則線段MN的最大值為 ．
【答案】【問題原型】（1）∠A的度數(shù)不發(fā)生變化，理由見解析；（2）2；【問題拓展】．
【解答】解：【問題原型】（1）∠A的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：
∵，∠BOC＝90°，
∴；
（2）當AC為⊙O的直徑時，AC最大，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
根據(jù)勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，
∵OB＝OC，
∴，
∴，
即AC的最大值為；
【問題拓展】如圖，畫△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OC，ON，
則ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，
∴OB＝，
∵M、N分別是AB、BC的中點，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN＝AC，
∴AC為直徑時，AC最大，此時AC＝2OB＝，
∴MN最大值為，
故答案為：．
【變式2-4】（灌南縣校級月考）我們在學習圓的知識時，常常碰到題目中明明沒有圓，但解決問題時要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：
下面讓我們一起嘗試去解決：
（1）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為 ．
（2）如圖，在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC、CB上移動，連接AE和DF交于點P，由于點E、F的移動，使得點P也隨之運動．若AD＝2，則線段CP的最小值是 ．
（3）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF＝2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為多少？
【解答】解：（1）如圖1中，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值為2．
故答案為2；
（2）如圖2中，
∵動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中點O，連接OP，則OP＝AD＝×2＝1（不變），
根據(jù)兩點之間線段最短得C、P、O三點共線時線段CP的值最小，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案為：﹣1；
（3）如圖3中，
∵EF＝2，點G為EF的中點，
∴DG＝1，
∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點，
作A關于BC的對稱點A′，連接A′D，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G，
此時PA+PG的值最小，最小值為A′G的長；
∵AB＝2，AD＝3，
∴AA′＝4，
∴A′D＝5，
∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，
∴PA+PG的最小值為4，
【變式2-5】（2022秋?定海區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D為△ABC內一動點，⊙O為△ACD的外接圓，直線BD交⊙O于P點，交BC于E點，，則AD的最小值為 ．
【答案】1
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴點D在以BC為弦，∠BDC＝135°的圓弧上運動，
如圖，設D點運動的圓弧圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點N，
連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
則∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC為等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴當A、D、M三點共線時，AD最小，
此時，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案為：1．
【典例3】如圖，⊙O半徑為6，弦AB＝6，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（ ）
A．6B．9C．6D．9
【答案】B
【解答】解：連接OA、OB，作△ABC的外接圓⊙D，如圖1，
∵OA＝OB＝6，AB＝6，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝6，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，
∵∠ACB＝60°，點C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如圖2，
當點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2＝9，
∴△ABC的最大面積為9．
故選：B．
【變式3-1】如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：連接OA、OB，如圖1，
∵OA＝OB＝1，AB＝1，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝1，要使△ABC的面積最大，則點C到AB的距離最大，
∵∠ACB＝60°，點C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，
如圖2，作△ABC的外接圓D，
當點C在優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2＝，
∴△ABC的最大面積為．
故選：D
【變式3-2】如圖，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為 ．
【答案】9+9
【解答】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，過點O作OH⊥BC于H，
則BH＝HC，
由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，
當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，
由題意可知，BC邊上的高的最大值為：3+3，
∴△ABC面積的最大值為：×6×（3+3）＝9+9，
故答案為：9+9．
【變式3-3】問題提出
（1）如圖①，已知△ABC為邊長為2的等邊三角形，則△ABC的面積為 ；
問題探究
（2）如圖②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面積；
問題解決
（3）如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB＝20米，長BC＝24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發(fā)的觀測角∠AMB＝45°，請你通過所學知識進行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）存在，MC的長度為8米或12米．
【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴BD＝1，
∴AD＝＝，
∴△ABC的面積為×2×＝，
故答案為：；
（2）作△ABC的外接圓⊙O，
∵∠BAC＝120°，BC＝6，
∴點A在上運動，
當A'O⊥BC時，△ABC的面積最大，
∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，
∴OH＝3，OB＝6，
∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，
∴△ABC的最大面積為×6×3＝9；
（3）存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內部作一個等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，
過O作HG⊥AB于H，交CD于G，
∵AB＝20米，
∴AH＝OH＝10米，OA＝10米，
∵BC＝24米，
∴OG＝14米，
∵10＞14，
∴以O為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，
∴⊙O上存在點M，滿足∠AMB＝45°，此時滿足條件的有兩個點M，
過M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，
∴EF＝OH＝10米，OM1＝10米，
∴EM1＝14米，
∴OE＝＝2米，
∴CM1＝BF＝8米，
同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），
∴MC的長度為8米或12米．
【變式3-4】（1）如圖1，線段AB的長為4，請你作出一個以AB為斜邊且面積最大的直角三角形ABC．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝4，BC＝2，請你求出四邊形ABCD的面積．
問題解決：
（3）小明爸爸所在的工廠需要裁取某種四邊形的材料板，這種材料板的形狀如圖3所示，并且滿足在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，DB＝4，你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請求出此時四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由．
【答案】見試題解答內容
【解答】解：（1）如圖1，
畫法：以AB為直徑畫圓O，當點C位于半圓的中點時，直角△ABC的面積最大；
（2）如圖2，連接AC，過C作CH⊥AB，交AB的延長線于H，
在Rt△BCH中，∵BC＝2，∠CBH＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝1，HC＝＝，
∴AH＝AB+BH＝4+1＝5，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2＝52+（）2＝28，
∴S△ABC＝AB?CH＝×4×＝2，
∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴S△ADC＝AC2＝×28＝7，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝2+7＝9；
（3）能，
如圖3，連接AC，
∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ADC是等邊三角形，
將△BDC繞點D順時針旋轉60°得△HDA，連接BH，
則BD＝DH＝4，∠HDB＝60°，
∴△HDB是等邊三角形，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝S△BDH﹣S△ABH，
∵BD＝4，是定值，
∴S△BDH是定值，
∴當△ABH的面積最大時，四邊形ABCD的面積最小，
∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣75°﹣60°＝225°，
∴∠BAH＝360°﹣∠BAD﹣∠HAD＝360°﹣225°＝135°，
∵BH＝BD＝4，
∴點A在定圓⊙O（△ABH的外接圓）上運動，當O、A、D共線時，△ABH的面積最大，此時，OD⊥BH，
設OA交BH于K，則HK＝KB＝2，
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH＝22.5°，
在HK上取一點F，使FH＝AF，則△AKF是等腰直角三角形，
設AK＝FK＝x，則AF＝FH＝x，
∴2＝x+x，
∴x＝2﹣2，
∴△ABH面積的最大值＝×4×＝4﹣4，
∴四邊形ABCD的面積的最小值＝×42﹣（4﹣4）＝4﹣4+4．
【變式3-5】已知直線AB交x軸于點A（a，0），交y軸下點B（0，b），且a、b滿足|a+b|+（a+4）2＝0．
（1）如圖，若點C在第一象限，且BE⊥AC于點E，BE延長線交x軸于點G，連OE，求證：EO平分∠AEG．
（2）如圖，若點C在第一象限，且BE⊥AC丁點E，延長BE到D，使BD＝AC，連OC、OD、CD，試判斷△COD的形狀，并說明理由．
【答案】見試題解答內容
【解答】（1）證明：如圖1中，取AB的中點K，連接KE，OK．
∵AC⊥BE，
∴∠AEB＝∠AOB＝90°，
∵AK＝KB，
∴KE＝KB＝KA＝KO，
∴A，B，E，O四點共圓，
∵|a+b|+（a+4）2＝0．
又∵|a+b|≥0，（a+4）2≥0，
∴a＝﹣4，b＝4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠ABO＝45°，
∴∠AEO＝∠ABO＝45°，
∴∠AEO＝∠OEG＝45°，
∴OE平分∠AEG．
（2）解：結論：△COD是等腰直角三角形，∠COD＝90°．
理由：如圖2中，
∵∠AEG＝90°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠BOG＝90°，
∴∠EAG+∠AGE＝90°，∠OBG+∠OGB＝90°，
∴∠CAO＝∠DBO，
∴OA＝OB，AC＝BD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，
∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∴△COD是等腰直角三角形．

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