?第2章 對稱圖形——圓（單元測試·拔尖卷）
一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．如圖：已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D在半徑OA上（不與點O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度數(shù)是（　?。?br />
A．60° B．50° C．30° D．10°
2．如圖，將一塊等腰的直角頂點放在上，繞點旋轉(zhuǎn)三角形，使邊經(jīng)過圓心，某一時刻，斜邊在上截得的線段，且，則的長為（??????）

A．3cm B．207cm C．cm D．cm
3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸正半軸上有一點C，使∠ACB＝30°，則點C的橫坐標(biāo)是（　　）
A．34 B．12 C．6+3 D．6
4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，EF為⊙O直徑，點F是BC弧的中點，若∠B＝40°，∠C＝60°，則∠AFE的度數(shù)（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
5．如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點D、E分別是、的中點，設(shè)∠BAC＝α，∠DAE＝β，則（????）

A．α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．β﹣α＝60° D．2α﹣β＝60°
6．如圖，在中，為直徑，，點D為弦的中點，點E為上任意一點，則的大小可能是（????）

A． B． C． D．
7．如圖，邊長為1的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，那么經(jīng)過第2026次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標(biāo)為（????）
??
A． B． C． D．
8．如圖，已知半圓的直徑，C是半圓上一點，沿折疊半圓得到弧，交直徑于點，若、的長均不小于2，則的長可能是（????）

A．7 B．6 C．5 D．4
9．如圖，為直徑，C為圓上一點，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（???）
??
A． B． C． D．5
10．如圖，是等腰的外接圓，為弧上一點，為的內(nèi)心，過作，垂足為，若，則的值為（?。?br /> ????
A． B． C． D．
二、 填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）
11．如圖，在半徑為3的中，B是劣弧AC的中點，連接AB并延長到D，使，連接AC、BC、CD，如果，那么CD等于 ．

12．如圖，半圓O的直徑AB＝4cm，，點C是上的一個動點（不與點B，G重合），CD⊥OG于點D，CE⊥OB于點E，點E與點F關(guān)于點O中心對稱，連接DE、DF，則△DEF面積的最大值為 cm2

13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點．若在x軸正半軸上有一點C．使，則點C的橫坐標(biāo)是 ．
14．若點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，則△ABC的面積為 .
15．如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，連接，過點作，，垂足分別為點、點.則下列結(jié)論正確的是 .
①；②；③與相切；④若，，則.
??
16．如圖，在扇形AOB中，，點為半徑的中點，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點．點為弧的中點，連接．若，則陰影部分的面積為 ．
????
17．如圖，已知是的直徑，弦于點，．點是劣弧上任意一點（不與點，重合），交于點，與的延長線相交于點，設(shè)．
①則 （用含的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)時，則 ．

18．如圖，是圓O的直徑，，，點D是弦上的一個動點，那么的最小值為 ．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）
19．（8分）如圖,為的直徑,與相切于點E，于點D，交于點C，連接．
（1）求證：平分；
（2）若，求的長．







20．（8分）如圖在中，，在其內(nèi)部有一點，以為圓心，為半徑的圓與相切于點交于點，連接交于點．
（1）求證：．
（2）連接，若，且，求的半徑．








21．（10分）已知與矩形的三邊相切，邊的切點為，與交于，兩點，為的直徑，連接．
（1）求證：；
（2）若，求的值．





22．（10分）如圖，圓是的外接圓，其切線與直徑的延長線相交于點，且．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求圓的半徑．






23．（10分）如圖，在中，，，D是上的動點，以D為圓心，
的長為半徑作圓交于點E，F(xiàn)，G分別是上的點，將沿折疊，點A與點E恰好重合．
（1）如圖1，若，求證：與直線相切．
（2）如圖2，若經(jīng)過點B，連接．
①的長是___．
②判斷四邊形的形狀，并證明．




24．（12分）如圖，內(nèi)接于，連接，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，點在上，連接，點是上一點，連接，若，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長交于點，連接，若，，，求的長．





























參考答案
1．D
【分析】根據(jù)CO=AO，∠COA＝60°，可得為等邊三角形，所以可得,再根據(jù)三角形的外角等于剩余兩個內(nèi)角之和,即可求得∠ACD.
解：∵OA＝OC，∠COA＝60°，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠CAD＝60°，
又∵∠CDO＝70°，
∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°．
故選D．
【點撥】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的任意一個外角等于剩余兩個內(nèi)角之和.
2．A
【分析】利用垂徑定理得ME=DM=1，利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)得OM與DO的關(guān)系式，解得結(jié)果．
解：過O點作OM⊥AB，

∴ME=DM=1cm，
設(shè)MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45°，
∴AO=h
∵AO=7-x，
∴h＝7?x，
在Rt△DMO中，
h2=x2-1，
∴2x2-2=49-14x+x2，
解得：x=-17（舍去）或x=3，
故選A．
【點撥】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合，建立等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
3．A
【分析】如圖，作的外接圓 連接 過作軸于 作軸于 則四邊形是矩形，再證明是等邊三角形，再分別求解即可得到答案.
解：如圖，作的外接圓 連接 過作軸于 作軸于 則四邊形是矩形，



是等邊三角形，





故選：
【點撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，三角形的外接圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.
4．A
【分析】設(shè)AB交EF于點D，先求出∠BAC＝80°，再求出∠BAF＝∠CAF＝40°，再由垂徑定理易得，進(jìn)而得，再利用三角形外角定理即可求解
解：
連接AE，設(shè)AB交EF于點D
∵∠B＝40°，∠C＝60°
∴∠BAC＝80°，
∵EF為⊙O直徑，
∴∠EAF＝90°，
∵點F是BC弧的中點，
∴弧BF = 弧CF
，∠BAF＝∠CAF＝40°，

是的外角

故選：A．
【點撥】本題考查了圓中角的計算，熟練運用等弧所對圓周角相等、利用垂徑定理得出是解題關(guān)鍵．
5．B
【分析】連接DE、DC、BE，由同圓中，等弧所對的圓周角相等，得到∠ACD＝∠BCD，同弧所對的圓周角相等，∠ACD＝∠AED，即∠ACB＝2∠AED，∠ABC＝2∠ADE，在△ADE中三角形的內(nèi)角和為180°，可以得出∠ADE+∠AED＝180°﹣β，在△ABC中，∠A＝2，∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝360°﹣2β，即可以得出β與α的關(guān)系．
解：如圖，
連接DE、DC、BE，

∵D、E分別是、中點，
∴＝，＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠AED，
∴∠ACD＝∠AED＝∠BCD，
∴∠ACB＝2∠AED，
∵＝，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADE，
∴∠ABC＝2∠ADE，
在△ADE中，∠DAE＝β，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣β，
在△ABC中，
∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝2（180°﹣β）＝360°﹣2β，
∵∠BAC＝α，
∴α+360°﹣2β＝180°，
∴2β﹣α＝180°，
故選：B
【點撥】此題考查了三角形的內(nèi)心和外心，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理和三角形的內(nèi)外心性質(zhì)等．
6．C
【分析】連接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，設(shè)∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后運用等腰三角形的性質(zhì)分別求得∠OED和∠COE，最后根據(jù)線段的和差即可解答．
解：連接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵，點D為弦的中點
∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
設(shè)∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=
∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x
∴∠OED＜
∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°．
又∵∠CED＜∠ABC=40°，
故答案為C．

【點撥】本題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、構(gòu)造等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．
7．D
【分析】如圖，連接，，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，過點作軸于點，過點作軸于點，經(jīng)過第2026次旋轉(zhuǎn)后，頂點D在的位置，先求出點的坐標(biāo)，再證明即可．
解：連接，，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，過點作軸于點，過點作軸于點，
??
在正六邊形中，，，

，
，
將正六邊形繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，
，即8次旋轉(zhuǎn)一周，
余2，
，
故經(jīng)過第2026次旋轉(zhuǎn)后，頂點D在的位置，


，
即，
故選：D．
【點撥】本題考查正多邊形，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．
8．A
【分析】分如解圖①，當(dāng)點在圓心的左側(cè)且時，如解圖②，當(dāng)點在圓心的右側(cè)且時，兩種情況求出AC的長，從而確定AC的取值范圍即可得到答案．
解：如解圖①，當(dāng)點在圓心的左側(cè)且時，過作，垂足為，連接、、，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；

如解圖②，當(dāng)點在圓心的右側(cè)且時，過作，垂足為，連接、、，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴若、的長均不小于2，則，
∴的長可能是7，
故選A．

【點撥】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，無理數(shù)的估算等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
9．A
【分析】如圖，連接，，由題意知，平分，平分，則，，，，由，可得，由垂徑定理得，則，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，進(jìn)而可得，，由勾股定理得，，計算求解即可．
解：如圖，連接，，
??
由題意知，平分，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
如圖，連接交于，則，
設(shè)，則，
由勾股定理得，，即，
解得，
∴，，
由勾股定理得，，
故選：A．
【點撥】本題考查了內(nèi)心，勾股定理，垂徑定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
10．A
【分析】作于，于，連接，在上截取，連接，易證，推出是等腰直角三角形，進(jìn)而得到四邊形是正方形，推出，得到，同理得到，得到，即可得出結(jié)果．
解：作于，于，連接，在上截取，連接，
??
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的內(nèi)心，
，
，
四邊形是正方形，
，
，，
，
，
同理：，
，
，
．
故選：A．
【點撥】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓和內(nèi)心．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．
11．
【分析】如圖，連OA，OB．利用垂徑定理和勾股定理求BE，利用中位線定理求CD．
解：如圖，連OA，OB，

∵B是弧AC的中點，AB＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
由垂徑定理知，OB⊥AC，點E是AC的中點，
設(shè),則,
由勾股定理知，， ，
∴,
∵AB＝2，AO＝BO=3，
∴,
解得， ，
即
∵∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴BE∥CD，
∵點B是AD的中點，所以BE是△ACD的中位線，所以CD＝2BE＝ ．
故答案為：
【點撥】本題利用了垂徑定理，勾股定理求解
12．2
【分析】連接OC，設(shè)OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．根據(jù)S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，當(dāng)xy的值最大時，△DEF的面積最大；根據(jù)矩形的性質(zhì)，通過判定四邊形ODCE是矩形，得；根據(jù)勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)分析，可得結(jié)論．
解：連接OC，設(shè)OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．

∵
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大時，△DEF的面積最大，
∵CD⊥OG于點D，CE⊥OB于點E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∴
∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值為2，
∴△DEF的面積的最大值為2 cm2
故答案為：2．
【點撥】本題考查了圓、勾股定理、中心對稱、矩形、完全平方公式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．
13．
【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABD，以D為圓心，DA為半徑作⊙D交x軸正半軸為C，連接CA、CB，此時滿足條件．過點D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，則四邊形OJDK是矩形，求出OK、KC，即可求解．
解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABD，以D為圓心，DA為半徑作⊙D交x軸正半軸為C，連接CA、CB，此時滿足條件．

過點D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，則四邊形OJDK是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DCK中，，
∴，
∴點C的橫坐標(biāo)為
故答案為：．
【點撥】本題考查三角形外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，涉及到勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理等知識點，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造圖形解決問題，綜合性較強(qiáng)．
14．或
【分析】分兩種情形討論：①當(dāng)圓心O在△ABC內(nèi)部時．②當(dāng)點O在△ABC外時．分別求解即可．
解：①當(dāng)圓心O在△ABC內(nèi)部時，作AE⊥BC于E．
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=OC=BC=2，
∴AE=OA+OE=2+，
∴S△ABC=?BC?AE=×2×（2+）=2+．
②當(dāng)點O在△ABC外時，連接OA交BC于E．
S△ABC=?BC?AE=×2×（2-）=2-，
故答案為2+或2-．

【點撥】本題考查三角形的外接圓與外心、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考?？碱}型．
15．①③④
【分析】根據(jù)已知條件得出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出，進(jìn)而得出，根據(jù)圓周角定理即可判斷①，不能確定，即可判斷②；證明得出，根據(jù)三線合一得出，進(jìn)而根據(jù)是直徑，得出，結(jié)合已知條件即可判斷③；證明，，得出，，進(jìn)而即可求解．
解：如圖所示，連接，
??
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∴
∴
∴，
∴，故①正確
∵不能確定
∴不一定成立，故②錯誤；
如圖所示，連接，
??
∵，
∴
在中，

∴
∴
∴
∵是直徑，
∴，
即，
∵
∴
∴
∴與相切，故③正確；
∵，，,
∴
∴，
在中，

∴
∴
∵，，
∴，故④正確
故答案為：①③④．
【點撥】本題考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
16．/
【分析】連接，，交于，如圖所示，證明，求出四邊形的面積，進(jìn)而得到陰影部分面積和陰影部分面積，求和即可解決問題．
解：連接，，交于，如圖所示：
????
由點為半徑的中點可知，
由圓的性質(zhì)可知，即，
點為弧的中點，即，
，
在等腰中，，，由等腰三角形“三線合一”可知，
，點為半徑的中點，
，
在等腰中，，，
，
，則；
由圓的對稱性可知，面積等于陰影部分，
，
，
故答案為：．
【點撥】本題考查扇形的面積，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，從圖中將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來表示．
17．
【分析】①連接，先根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)，得，再根據(jù)圓周角定理，得，即可得出結(jié)果；
②在上取點，連接，使，先根據(jù)題意求出，設(shè)，，在中和中，根據(jù)勾股定理，求出即可．
解：①如圖，連接，
??
在中，，，
，
在中，，
，


，，
在中，，
故答案為：
②在上取點，連接，使，
??

由①中結(jié)論，，，
，
，設(shè)，，
由①中結(jié)論，在中，，

，



，解得：，
，
，

故答案為：．
【點撥】此題屬于圓的綜合題，考查了含直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．
18．
【分析】作，于E，于M，連接．在中，，則，根據(jù)垂線段最短可知，點E與M重合時，的值最小，最小值為．
解：作，于E，于M，連接．

∵是的直徑，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點E與M重合時，的值最小，最小值為，
∵，
∴，
∵，
∴
在中，，
∴
∴
由勾股定理得，，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)、勾股定理、直徑所對的圓周角是直角，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
19．（1）證明見分析；（2）
【分析】（1）由切于點E知, 結(jié)合于點D知, 從而得, 即可得證；
（2）連接交于點F，證四邊形是矩形，根據(jù)三角形的中位線，即可得出答案．
解：（1）證明∶∵與相切于點E，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：連接交于點F，
??
∵是的直徑，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵,點O是的中點,
，
∴
【點撥】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理及矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識點是解題的關(guān)鍵.
20．（1）見分析；（2）
【分析】（1）如圖：連接OD，由切線的性質(zhì)可得，即．再根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得等邊對等角可得，進(jìn)而說明，最后根據(jù)等角對等邊即可證明結(jié)論；
（2）如圖：過作,設(shè)的半徑為r，則．由垂徑定理可得，則，然后在中利用勾股定理列式求得r即可解答．
（1）解：如圖：連接OD，
??
∵與相切，
∴，即．
∵，即．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如圖：過作,
設(shè)的半徑為r，則．
??
∵，
∴，
∴．
∴，
∴在中，由勾股定理可得，，
∴，
∴．
【點撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活利用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
21．（1）見分析；（2）
【分析】（1）根據(jù)切線和矩形的性質(zhì)可得即，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，最后運用等量代換即可證明結(jié)論；
（2）由，，然后根據(jù)角的關(guān)系說明，設(shè)圓的半徑為r，連接，分別根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得、，進(jìn)而得到，最后代入計算即可．
解：（1）證明：如圖：連接，
??
∵邊的切點為,
∴,
∵矩形，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,即,解得：，
∴,
設(shè)圓的半徑為r，連接，
∵為的直徑，
∴,
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴
∴．
【點撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，理解圓的切線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
22．（1）；（2）2
【分析】（1）連接，設(shè)，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合，可知，，結(jié)合切點的性質(zhì)可知，利用三角形內(nèi)角和定理可求得，進(jìn)而求得，利用圓周角定理即可求得的度數(shù)；
（2）連接，設(shè)圓的半徑為，則，，由（1）可知，，則在中，可有，，再在中，由勾股定理可解得，即可獲得答案．
（1）解：如圖，連接，
??
設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵是圓的切線，
∴，即，
∴，
在中，由三角形的內(nèi)角和定理得，
即，
解得，
∴，
則由圓周角定理得，
即的度數(shù)為；
（2）如圖，連接，
設(shè)圓的半徑為，則，，
∵，
∴，
∵是圓的直徑，
∴，
由（1）可知，，
則在中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得或（不符題意，舍去），
則圓的半徑為2．
【點撥】本題主要考查了圓周角定理、切點的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
23．（1）見分析；（2）①；②菱形，證明見分析
【分析】（1）過點D作，交的延長線于點，證明即可；
（2）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出,再由弧長公式進(jìn)行計算即可；②證明四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論．
解：（1）過點D作，交的延長線于點，如圖，
??
∵
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴與直線相切；
（2）①如圖，
??
∵
∴，
∴，
∵，
∴,
∴的長是；
故答案為：；
②由折疊得，,
∴，
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形，
又,
∴四邊形是菱形
【點撥】本題主要考查了切線的判定、弧長公式以及菱形的判定，證明四邊形是平行四邊形是解答本題的關(guān)鍵．
24．（1）證明見分析；（2）證明見分析；（3）
【分析】（1）過點作，如圖所示，由垂徑定理可知：，再由得到，即可得證；
（2）延長交于，如圖所示，由（1）知，從而由等腰三角形“三線合一”得到，且，從而得到，即可有
，由內(nèi)錯角相等兩直線平行得到，進(jìn)而，即；
（3）連接，延長交于點，證明，利用勾股定理即可解答．
解：（1）證明：過點作，如圖所示：
??
由垂徑定理可知，，
在和中，
，
，
，
；
（2）證明：延長交于，如圖所示：
??
由（1）知，
根據(jù)，從而由等腰三角形“三線合一”得到，且，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：如圖，連接，延長交于點，
??
根據(jù)（2）中可得，
，
，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且為直徑，
，
．
【點撥】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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