1.四點共圓
如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”．
2．四點共圓的性質
(1)共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等．
(2)圓內接四邊形的對角互補．
(3)圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角．
3．四點共圓的判定
(1)用“角”判定：
①一組對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上；
②一個外角等于它的內對角的四邊形的四個頂點在同一個圓上；
③如果兩個三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側的兩個角相等，則這兩個三角形的四個頂點在同一個圓上．
(2)“等線段”判定：
四頂點到同一點的距離相等，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點共圓．
(3)用“比例線段”判定：
若線段AB，CD(或其延長線)交于點P，且PA·PC＝PB·PD，則A，B，C，D四點共圓.
模型解讀：
模型1：對角互補型：
若∠A+∠C=180o或∠B+∠D=180o,
則A、B、C、D四點共圓
模型2：同側等角型
（1）若∠A=∠C,
則A、B、C、D四點共圓
（2）手拉手(雙子型)中的四點共圓
條件：△OCD∽△OAB
結論：①△OAC∽△OBD
②AC與BD交于點E,必有∠AEB=∠AOB；
③點E在△OAB的外接圓上,即O、A、B、E四點共圓.同理：ODCE也四點共圓.
模型3：直徑是圓中最長的弦
1.定圓中最長的弦是直徑；
2.經(jīng)過圓中定點最短的弦是垂直于過這點直徑的弦；
3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓。

【典例1】如圖，四邊形ABCD是某高新區(qū)核心地塊用地示意圖，經(jīng)測量得如下數(shù)據(jù)：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，請計算這塊規(guī)劃用地的最大面積．
【變式1-1】如圖，已知AC＝BC＝4，點D是AB下方一點，且∠C＝∠D＝90°，求四邊形ACBD面積的最大值．
【變式1-2】如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，連接BD，CD并延長分別交AC，AB于點E和點F，若DE＝6，，則BD的長為（ ）
A．10B．12C．15D．16
【變式1-3】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，△ADC沿直線CD翻折至△ABC所在平面內得△A′DC，AA′與CD交于點E．若，，則點A′到AB的距離是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-4】如圖，正方形ABCD和正方形DEFG邊長分別為a和b，正方形DEFG繞點D旋轉，給出下列結論：①AG＝CE；②AG⊥CE；③點G、D、H、E四點共圓；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正確的結論是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③⑤
【變式1-5】如圖，AB＝AD＝6，∠A＝60°，點C在∠DAB內部且∠C＝120°，則CB+CD的最大值（ ）
A．4B．8C．10D．6
【變式1-6】如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，將該紙片翻折，使得點C落在邊AB的F處，折痕為DE，D，E分別在邊BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，則DF＝ ，△ABC的面積為 ．
【變式1-7】如圖，以C為公共頂點的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且點D在線段AB上，則∠ABE＝ ，若AC＝10，CD＝9，則BE＝ ．
【變式1-8】如圖，AB⊥BC，AB＝5，點E、F分別是線段AB、射線BC上的動點，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為 ．
【變式1-9】【問題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求證：A、B、C、D四點共圓．
小吉同學的作法如下：連結AC，取AC的中點O，連結OB、OD，請你幫助小吉補全余下的證明過程；
【問題解決】如圖②，在正方形ABCD中，AB＝2，點E是邊CD的中點，點F是邊BC上的一個動點，連結AE，AF，作EP⊥AF于點P．
（1）如圖②，當點P恰好落在正方形ABCD對角線BD上時，線段AP的長度為 ；
（2）如圖③，過點P分別作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，連結MN，則MN的最小值為 ．
【變式1-10】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將△ABC繞A點順時針旋轉得到△ADE，使D點落在BC邊上．
（1）求∠BAD的度數(shù)；
（2）求證：A，D，B，E四點共圓．

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