2.1　坐標(biāo)法 知識(shí)點(diǎn)一  平面直角坐標(biāo)系中的基本公式1.數(shù)軸上三點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)A(－1)，點(diǎn)B(2)，點(diǎn)C到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和小于4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)范圍為(　　)A．（－，）   B．（－，）C．（－，－）  D.（，）答案　A解析　設(shè)C(m)，由A(－1)，B(2)，得|AC|＋|BC|＝|m＋1|＋|m－2|<4，∴－<m<.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)范圍為（－，）.故選A.2．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，則a的值為(　　)A．4  B．－4或2C．－2  D．－2或4答案　D解析　∵ ＝5，∴a＝4或－2.3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)和C，則△ABC的形狀是(　　)A．等腰三角形  B．等邊三角形C．直角三角形  D．斜三角形答案　C解析　∵|AB|＝＝2，|BC|＝ ＝1，|AC|＝ ＝，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC為直角三角形．故選C.4．已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)C(－3，－2)的對(duì)稱點(diǎn)是B(1，y)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是(　　)A．4  B.  C.  D.答案　D解析　根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得解得∴|OP|＝＝.5．已知點(diǎn)P(a＋3，a－2)在y軸上，則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案　(0,5)解析　由點(diǎn)P(a＋3，a－2)在y軸上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5，即點(diǎn)P(0，－5)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,5)．6．若A(a)與B(－5)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為－10，則a＝______，若A與B的距離為10，則a＝______.答案　5　5或－15解析　∵向量的坐標(biāo)為xB－xA，|AB|＝|xB－xA|，∴－5－a＝－10，解得a＝5.|－5－a|＝10，解得a＝5或a＝－15.7．已知數(shù)軸上三點(diǎn)A(x)，B(2)，P(3)．(1)當(dāng)向量與2的坐標(biāo)相等時(shí)，求x；(2)當(dāng)向量與2的坐標(biāo)相等時(shí)，求x；(3)當(dāng)向量的坐標(biāo)大于向量2的坐標(biāo)時(shí)，求x的取值范圍．解　由題意，可知向量的坐標(biāo)為3－x，向量的坐標(biāo)為1.(1)當(dāng)向量與2的坐標(biāo)相等時(shí)，有3－x＝2，解得x＝1.(2)當(dāng)向量與2的坐標(biāo)相等時(shí)，有3－x＝2×(－1)，解得x＝5.(3)當(dāng)向量的坐標(biāo)大于向量2的坐標(biāo)時(shí)，有3－x＞2，解得x＜1.知識(shí)點(diǎn)二  坐標(biāo)法8.用坐標(biāo)法證明?ABCD的對(duì)角線相交且平分．證明　設(shè)AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖)．設(shè)A點(diǎn)，B點(diǎn)，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－a,0)，B(a,0)(a>0)，C(b，c)，由平行四邊形的性質(zhì)知D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2a＋b，c)．再設(shè)AC，BD的中點(diǎn)分別為E(x1，y1)，F(x2，y2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得即E（，）.即F（，）.∴點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，∴?ABCD的對(duì)角線相交且平分．9．已知0＜x＜2,0＜y＜2，求|＋＋＋|的最小值．解　根據(jù)題意，設(shè)P(x，y)，A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0，2)，若0<x<2,0<y<2，則P在矩形ABCD的內(nèi)部，則＋＋＋的幾何意義為P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和，即＋＋＋＝|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|，分析可得，當(dāng)P為矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，即(1,1)時(shí)，|PA|＋|PC|與|PB|＋|PD|同時(shí)取得最小值，此時(shí)|PA|＋|PD|＋|PB|＋|PC|取得最小值，且其最小值為|AC|＋|BD|＝4.  一、選擇題1．點(diǎn)A(2，－3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(　　)A．(3，－2)  B．(－2，－3)C．(－2,3)  D．(－3,2)答案　C解析　設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為B(x，y)，則由題意知坐標(biāo)原點(diǎn)是點(diǎn)A，B的中點(diǎn)，則解得故選C.2．已知直線上兩點(diǎn)A(a，b)，B(c，d)，且－＝0，則(　　)A．原點(diǎn)一定是線段AB的中點(diǎn)B．A，B一定都與原點(diǎn)重合C．原點(diǎn)一定在線段AB上，但不是中點(diǎn)D．以上結(jié)論都不對(duì)答案　D解析　由 －＝0得 ＝，即A，B兩點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離相等，所以原點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，故選D.3．已知A(1,3)，B(5，－2)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　)A．(4,0)  B．(13,0)C．(5,0)  D．(1,0)答案　B解析　如圖，點(diǎn)A(1,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1，－3)，連接A′B交x軸于點(diǎn)P，即為所求．利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x－，令y＝0，得x＝13.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(13,0)．4．已知A，B的坐標(biāo)分別為(1,1)，(4,3)，點(diǎn)P在x軸上，則|PA|＋|PB|的最小值為(　　)A．20  B．12C．5  D．4答案　C解析　如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(1，－1)，由平面幾何知識(shí)得|PA|＋|PB|的最小值為|BA′|＝＝＝5.5．如果一條平行于x軸的線段的長(zhǎng)為5，它的一個(gè)端點(diǎn)是(2,1)，那么它的另一個(gè)端點(diǎn)是(　　)A．(－3,1)或(7,1)  B．(2，－3)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1)  D．(2，－3)或(2,5)答案　A解析　由線段平行于x軸知，兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，都是1，故可設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)為(x,1)，則|x－2|＝5，所以x＝7或x＝－3，即另一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為(7,1)或(－3,1)．二、填空題6．已知點(diǎn)M(2,2)平分線段AB，且A(x,3)，B(3，y)，則x＝________，y＝________.答案　1　1解析　∵點(diǎn)M(2,2)平分線段AB，∴點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則解得7．已知A(1,5)，B(5，－2)，則在坐標(biāo)軸上與A，B等距離的點(diǎn)有________個(gè)．答案　2解析　若點(diǎn)在x軸上，設(shè)為(x,0)，則有(x－1)2＋25＝(x－5)2＋4，∴x＝；若點(diǎn)在y軸上，設(shè)為(0，y)，則有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y＝－.∴在坐標(biāo)軸上與A，B等距離的點(diǎn)有2個(gè)．8．已知點(diǎn)A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，則當(dāng)|AB|取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a等于________．答案　解析　|AB|2＝(a＋1－5)2＋(a－4－2a＋1)2＝2a2－2a＋25＝22＋，所以當(dāng)a＝時(shí)，|AB|取得最小值．三、解答題9．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)． 解　設(shè)點(diǎn)C(x，y)，邊AC的中點(diǎn)為D，BC的中點(diǎn)為E，則DE綊AB.線段AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，線段BC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為.由直線AB與x軸不平行可知，若點(diǎn)D在y軸上，則＝0，所以x＝－3，此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)不為零，點(diǎn)E要在坐標(biāo)軸上只能在x軸上，所以＝0，所以y＝－5，即C(－3，－5)．若點(diǎn)D在x軸上，則＝0，所以y＝－7，此時(shí)點(diǎn)E只能在y軸上，即＝0，所以x＝2，此時(shí)C(2，－7)．如圖所示．綜上可知，符合題意的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，－7)或(－3，－5)．10．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，在平面上求點(diǎn)P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值．解　以正三角形的一邊所在直線為x軸，此邊中線所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．則A，B，C.設(shè)P(x，y)，則有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝2＋(－y)2＋2＋(－y)2＋(－x)2＋2＝3x2＋3y2－ay＋a2＝3x2＋32＋a2，∴當(dāng)P時(shí)，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2. 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.1 坐標(biāo)法

版本： 人教B版 (2019)

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