2022-2023學(xué)年上海市宜川中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．設(shè)集合，則           ．【答案】【分析】根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)交集含義得，故答案為：.2．不等式的解集是           ．【答案】【詳解】 ，即不等式的解集是即答案為.3．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)．直線l的傾斜角是           ．【答案】/【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系列式求解即可.【詳解】因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線的斜率為：，因?yàn)?/span>，是直線的傾斜角，且所以直線的傾斜角為：．故答案為：.4．已知，且，則      ．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合二倍角公式即可.【詳解】，，，.,.故答案為：.5．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則           ．【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)即可求解概率.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，故答案為：.6．某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是        .【答案】32.5【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算得解.【詳解】由莖葉圖知數(shù)據(jù)小到大排列為：，因?yàn)?/span>，所以第25百分位數(shù)是，故答案為：7．如圖所示，圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為         .【答案】/【分析】由圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體積公式即可得出答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積為：，所以，所以圓錐的高.故圓錐的體積為：.故答案為：.8．“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見下表：氣溫x181310用電量y24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程來預(yù)測(cè)，則當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為      ．【答案】【分析】求出樣本中心點(diǎn)，再根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)求出，再將代入即可得解.【詳解】，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為．故答案為：.9．已知向量，且，的夾角為，，則在方向上的投影向量等于           .【答案】【分析】根據(jù)所給條件利用向量數(shù)量積運(yùn)算求出，再由投影向量的定義求解即可.【詳解】，，，，在方向上的投影向量為.故答案為：10．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列所有真命題的序號(hào)為           ．  ①函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減；   ②函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增；③函數(shù)在處取得極小值；   ④函數(shù)在處取得極小值．【答案】②④【分析】根據(jù)給定的圖象，求出或的的取值范圍，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，①錯(cuò)誤，②正確；函數(shù)在處取得極大值，③錯(cuò)誤；函數(shù)在處取得極小值，④正確，所以所有真命題的序號(hào)是②④.故答案為：②④11．若?是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為        .【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因?yàn)?/span>△ABF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點(diǎn)，，B為雙曲線上一點(diǎn)，則 ，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過條件直接得到a，c的值，這時(shí)可將或視為一個(gè)整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 或的方程，從而得到離心率的值.12．若函數(shù)的圖像上點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，除此之外，不存在函數(shù)圖像上的其它兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是            ．【答案】【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)化為在的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即轉(zhuǎn)化為方程在上有兩根，孤立參數(shù)為在上有兩根，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，作出大致圖象，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若有兩組點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則在的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．由時(shí)，；得其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的解析式為．問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩根，化簡(jiǎn)得，即與在上有兩個(gè)交點(diǎn)．對(duì)于，求導(dǎo)，令，解得：，即：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；令，解得：．即：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴為其極大值點(diǎn)，，時(shí)，；畫出其大致圖像：欲使與在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即． 二、單選題13．若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列出等量關(guān)系式，求得的值.【詳解】直線與直線垂直，則，解得，故選：B.14．“”是“的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)依次判斷充分性和必要性即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)為：；當(dāng)時(shí)，展開式的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，充分性成立；當(dāng)時(shí)，展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，如，必要性不成立；“”是“的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)”的充分不必要條件.故選：A.15．某同學(xué)上學(xué)的路上有4個(gè)紅綠燈路口，假如他走到每個(gè)紅綠燈路口遇到綠燈的概率為，則該同學(xué)在上學(xué)的路上至少遇到2次綠燈的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，遇綠燈服從二項(xiàng)分布，結(jié)合互斥事件概率的求法，即可求同學(xué)在上學(xué)的路上至少遇到2次綠燈的概率.【詳解】4次均不是綠燈的概率為，3次不是綠燈的概率為，∴至少遇到2次綠燈的概率為.故選：D.16．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示．以下四個(gè)選項(xiàng)中，可能表示函數(shù)圖像的是（    ）    A．     B．  C．   D．  【答案】B【分析】根據(jù)圖象，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】從的圖象可以看出，在區(qū)間,內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)大于0，且在區(qū)間,內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間,內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間,內(nèi)單調(diào)遞增，且的圖象在區(qū)間內(nèi),越來越陡峭，在區(qū)間,內(nèi)越來越平緩，故選項(xiàng)符合題意．故選：B． 三、解答題17．如圖，三角形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的中位線定理，利用平行四邊的判定及性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解；（2）根據(jù)已知條件、面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角的平面角的定義及向量夾角的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）連接，因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)?/span>，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因?yàn)槿切?/span>與梯形所在的平面互相垂直，，又平面平面,平面，所以平面，又平面，所以，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，,．所以，，由題意知，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.18．已知向量，，函數(shù).(1)設(shè)，且，求的值；(2)在中，，，且的面積為，求的值.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，代入數(shù)據(jù)得到，得到，根據(jù)范圍得到答案.（2）確定，根據(jù)面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，得到，再根據(jù)正弦定理得到答案.【詳解】（1）. ，得，故，，故或.（2）， 由（1）知，在中，設(shè)內(nèi)角、的對(duì)邊分別是，則，故.由余弦定理得，故.解得 或，于是，由正弦定理得 ，故.19．在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人.(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)的值；(2)每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在和的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的人數(shù)分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，(2)(3)分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的知識(shí)求得.（2）根據(jù)古典概型的知識(shí)求得所求概率.（3）根據(jù)超幾何分布的的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）.，解得.（2）已知抽取的學(xué)生有男生，則抽取的2人恰好為一男一女的概率為.（3）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在和的學(xué)生比例為，所以在的學(xué)生中抽取人，在的學(xué)生中抽取人.再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在的人數(shù)的取值為，，，，所以的分布列如下：數(shù)學(xué)期望.20．已知拋物線：．(1)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；(2)過焦點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N（均不與點(diǎn)Р重合），且以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.(2)20(3)存在， 【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線；（2）根據(jù)題意可得直線AB的方程，聯(lián)立方程，理由韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的定義分析運(yùn)算；（3）設(shè)直線MN，聯(lián)立方程，根據(jù)題意可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算.【詳解】（1）∵拋物線：，則，且焦點(diǎn)在軸正半軸，故拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.（2）由（1）可得：，可得直線，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得，可得，故.（3）存在，理由如下：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，若以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P，則，可得 ，可得或，若，則，可得直線，過定點(diǎn)，與點(diǎn)重合，不合題意；若，則，此時(shí)，可得直線，過定點(diǎn)；綜上所述：直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法定睛：存在性問題求解的思路及策略(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在．(2)策略：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時(shí)，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．21．已知函數(shù).（其中為常數(shù)）(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)(2)(3)只有1個(gè)，理由見解析 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到且，進(jìn)而求得切線方程；（2）求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，求得在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，可得，所以且，所以切線方程為，即，即曲線所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又由，令，解得，，當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：極小值↗所以函數(shù)的極小值為，也是函數(shù)的最小值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（3）解：當(dāng)時(shí)，，令，解得（舍去）所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：00↗極大值極小值↗所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的極大值為，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)；又由且函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】知識(shí)總結(jié)：解決函數(shù)極值、最值綜合問題的策略與方法：1、求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大??；2、求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過比較才能下結(jié)論；3、函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值. 

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