2022-2023學(xué)年上海市格致中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知直線(xiàn)l的一個(gè)法向量是，則此直線(xiàn)的傾斜角的大小為  ．【答案】【分析】設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，直線(xiàn)的傾斜角為．利用，即可得出．【詳解】解：設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，直線(xiàn)的傾斜角為．則，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)的方向向量與法向量、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為      ．【答案】/【分析】先計(jì)算圓錐的底面周長(zhǎng)，即為側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)而求得側(cè)面展開(kāi)圖的半徑，即為圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，再求得圓錐的高，從而求得體積即可【詳解】∵圓錐的底面半徑為1，∴側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為，又∵側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，∴側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為2，即圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，故圓錐的高為，故體積 故答案為：3．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，則      .【答案】/【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式，求得，得到，結(jié)合方差的公式，即可求解.【詳解】由題意知，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，因?yàn)?/span>，可得，解得，即，所以.故答案為：.4．已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角為，則       ．【答案】或【分析】首先判斷漸近線(xiàn)的傾斜角，再求的值.【詳解】由條件可知雙曲線(xiàn)的其中一條漸近線(xiàn)方程是， 因?yàn)閮蓷l漸近線(xiàn)的夾角是，所以直線(xiàn)的傾斜角是或，即或.故答案為：或5．已知是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，F為該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，，則      .【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線(xiàn)定義求出，進(jìn)而求出作答.【詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，而F為該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，因此，解得，則拋物線(xiàn)方程為，即有，所以.故答案為：6．設(shè)E是正方體的棱的中點(diǎn)，在棱上任取一點(diǎn)P，在線(xiàn)段上任取一點(diǎn)Q，則異面直線(xiàn)PQ與BD所成角的大小為      ．【答案】/【分析】連接，利用線(xiàn)面垂直的判定定理證得平面，再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知，即可得解.【詳解】連接，由底面為正方形，可知，由正方體的性質(zhì)，可知平面，又平面，則又，則平面，由已知可知平面，則所以異面直線(xiàn)PQ與BD所成角的大小為故答案為：7．三顆骰子各擲一次，觀察擲得的點(diǎn)數(shù).記事件A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，事件B為“至少出現(xiàn)一個(gè)2點(diǎn)”，則      .【答案】【分析】先分別計(jì)算事件和事件的情況數(shù)，在根據(jù)條件概率的定義計(jì)算.【詳解】根據(jù)條件概率的定義，的含義為在事件發(fā)生的前提下，事件發(fā)生的概率，事件的情況數(shù)為，對(duì)于事件，因?yàn)?/span>“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，則只有一個(gè)2點(diǎn)，故有種情況，所以.故答案為：.8．如圖，在平行六面體中，，，，則的長(zhǎng)為      .【答案】2【分析】可以看成空間的一個(gè)基底，由空間向量基本定理可以表達(dá)出，則，利用向量的相關(guān)知識(shí)即可求解.【詳解】，又：，，，∴.故答案為：2.9．設(shè)，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是      .【答案】【分析】先令，用導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到的極值，得到函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，由極大值大于0，極小值小于0，即可得出結(jié)果.【詳解】記，令，得或，由得或，此時(shí)為增函數(shù)，由得，此時(shí)為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，即，因?yàn)殛P(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，所以函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，因此，只需 ，即 ，解得，即關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根的范圍是 ．故答案為：.10．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，、在橢圓上，且是線(xiàn)段的中點(diǎn).若直線(xiàn)、的斜率之積為，則橢圓的離心率為      .【答案】/【分析】取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，可得出，利用點(diǎn)差法可求得的值，由此可求得橢圓的離心率的值.【詳解】如下圖所示：  由題意可知，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)、，易知點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，則，所以，，所以，，故，設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)，所以，，兩個(gè)等式作差可得，可得，所以，，所以，橢圓的離心率為.故答案為：.11．已知對(duì)于任意，不等式都成立（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的最小值是      .【答案】【分析】令，由題意可知，，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，求出的最小值，可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出的最小值.【詳解】對(duì)任意的，不等式恒成立，等價(jià)于，令，其中，則.①當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，所以，，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，故的最小值為.故答案為：.12．?dāng)?shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)被稱(chēng)為“四葉玫瑰線(xiàn)”（如圖所示）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為的正方形，使得曲線(xiàn)在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是        .【答案】①②【解析】將代入也成立得①正確；利用不等式可得，故②正確；聯(lián)立得四個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足條件的最小正方形是以為中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形，故③不正確.【詳解】對(duì)于①，將代入得成立，故曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，故②正確；對(duì)于③，聯(lián)立得，從而可得四個(gè)交點(diǎn)，，，，依題意滿(mǎn)足條件的最小正方形是各邊以為中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形，故不存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為的正方形，使得曲線(xiàn)在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界），故③不正確.故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題考查了由曲線(xiàn)方程研究曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，考查了不等式知識(shí)，考查了求曲線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題. 二、單選題13．已知事件A、B是相互獨(dú)立事件，、分別是A、B的對(duì)立事件，那么下列等式中不一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)判斷A，根據(jù)條件概率公式B，再由對(duì)立事件的性質(zhì)判斷C，根據(jù)和事件的性質(zhì)判斷D．【詳解】因?yàn)?/span>、是相互獨(dú)立事件，、分別是、的對(duì)立事件，所以、是相互獨(dú)立事件，所以，A正確；，B正確；，C正確；，D不一定成立．故選：D．14．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，有以下四個(gè)命題：①若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)； ②若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；③若為周期函數(shù)，則也為周期函數(shù)；④若為周期函數(shù)，則也為周期函數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用偶函數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可判斷選項(xiàng)A；通過(guò)舉反例可判斷選項(xiàng)B；由周期函數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可判斷選項(xiàng)C；通過(guò)舉反例可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于①，若為偶函數(shù)，則，兩邊取導(dǎo)，得，即，函數(shù)為奇函數(shù)，故①為真命題；對(duì)于②，若為偶函數(shù)，則不一定為奇函數(shù).例如，，此時(shí)為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故②為假命題；對(duì)于③，若為周期函數(shù)，即，則，得，故③為真命題；對(duì)于④，若為周期函數(shù)，則不一定為周期函數(shù).比如，但，顯然為周期函數(shù)，則不是周期函數(shù)，故④為假命題.真命題的個(gè)數(shù)有2個(gè).故選：B15．已知與是直線(xiàn)（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是（    ）A．無(wú)論k、、如何，總是無(wú)解B．無(wú)論k、、如何，總有唯一解；C．存在k、、，使之恰有兩解D．存在k、、，使之有無(wú)窮多解【答案】B【分析】根據(jù)題意，可得與不共線(xiàn)，得到，進(jìn)而得到一定有唯一解，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>與是直線(xiàn)（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且直線(xiàn)斜率存在，且不過(guò)原點(diǎn)，所以與不共線(xiàn)，可得，所以關(guān)于和的方程組，一定有唯一解.故選：B.16．如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的硬紙片沿長(zhǎng)邊所在直線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到第二個(gè)平面，再沿寬邊所在直線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到第三個(gè)平面，則第一個(gè)平面和第三個(gè)平面所成的銳二面角大小的余弦值是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】將兩個(gè)單位正方體疊放在一起可構(gòu)造模型，確定三個(gè)平面的位置后，由線(xiàn)面垂直可得兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量夾角可確定所求角的余弦值.【詳解】如圖，把兩個(gè)單位正方體疊放在一起，   平面，平面，平面分別代表第一，二，三個(gè)平面，四邊形為正方形，，平面，平面，，，平面，平面；同理可得：平面；平面的法向量為，平面的法向量為，，，，，即與的夾角為，所求銳二面角的大小的余弦值是.故選：C． 三、解答題17．如圖，在三棱錐中，平面，，，，為垂足.  (1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求四面體的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）證明出平面，可得出，由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得出，再結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出平面，并計(jì)算出的長(zhǎng)以及的面積，利用錐體的體積公式可求得四面體的體積.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，因?yàn)?/span>，，、平面，所以，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，，因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，、平面，因此，平面.（2）解：因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，則且，因?yàn)?/span>平面，則平面，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，則，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則，因此，.18．某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對(duì)去年來(lái)該機(jī)構(gòu)健身的100名會(huì)員進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作成如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，圖1為該健身連鎖機(jī)構(gòu)會(huì)員年齡等級(jí)分布圖，圖2為一個(gè)月內(nèi)會(huì)員到健身連鎖機(jī)構(gòu)頻數(shù)分布扇形圖.    若將會(huì)員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類(lèi)，將一個(gè)月內(nèi)來(lái)健身房鍛煉16次及以上的會(huì)員稱(chēng)為“健身達(dá)人”，15次及以下的會(huì)員稱(chēng)為“健身愛(ài)好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有是“年輕人”.(1)根據(jù)上圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下方列聯(lián)表，并依據(jù)顯著性水平的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析一個(gè)人是“健身達(dá)人”與這個(gè)人為“年輕人”是否有關(guān)聯(lián)？ 年輕人非年輕人總計(jì)健身達(dá)人   健身愛(ài)好者   總計(jì)  100附：，，，與k的若干對(duì)應(yīng)數(shù)值見(jiàn)下表：0.250.050.0051.3233.8417.879(2)該連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取3名會(huì)員進(jìn)行回訪(fǎng).設(shè)隨機(jī)變量X表示選取的3人中既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)，求X的分布及其期望.【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，不能(2)分布列見(jiàn)解析， 【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對(duì)比分析；（2）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合二項(xiàng)分布求分布列和期望.【詳解】（1）因?yàn)?/span>“年輕人”（20歲-39歲）所占的頻率為，人數(shù)為，“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）的人數(shù)為，“健身達(dá)人”所占的頻率為，人數(shù)為，“健身愛(ài)好者”的人數(shù)為，其中“年輕人”且“健身達(dá)人”的人數(shù)為，據(jù)此列聯(lián)表為 年輕人非年輕人總計(jì)健身達(dá)人501060健身愛(ài)好者301040總計(jì)8020100可得，所以“健身達(dá)人”與這個(gè)人為“年輕人”沒(méi)有關(guān)聯(lián).（2）由題意可知：既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的頻率，用頻率估計(jì)概率，可得，則有：，，則X的分布為X0123P期望.19．已知橢圓的離心率為，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積；(3)已知r為正常數(shù)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作圓的切線(xiàn)PQ、PR，記直線(xiàn)PQ、PR的斜率分別為、，是否存在r，使得為定值？若存在，求出r及的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)題意可得，解得，，，即可得出答案．（2）設(shè)，，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，由基本不等式可得取得最小值，可得取得最大值，即點(diǎn)為短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，再計(jì)算，即可得出答案．（3）設(shè)，，，根據(jù)是圓的切線(xiàn)，可得，同理可得，進(jìn)而可得，為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，由橢圓的定義可得，又，，因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以，即，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，取得最大值，即點(diǎn)為短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，所以．（3）設(shè)，，則直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，又是圓的切線(xiàn)，所以，即，同理可得，所以，為方程的兩個(gè)根，所以，因?yàn)?/span>，為動(dòng)點(diǎn)，所以，不存在定值．  【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法，根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．20．已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿(mǎn)足對(duì)任意的都有.(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若存在，對(duì)任意，成立，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)若存在a、，使得，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)、，都有.【答案】(1)(2)1個(gè)，理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依條件求解不等式，參變分離求出a的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)值域可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)的定義得，再由不等式的性質(zhì)，適當(dāng)放縮得證.【詳解】（1）若，則，由題意，對(duì)任意的都有，則，即，所以，由于的最小值為，的最大值為，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）依題意，，所以，在上為減函數(shù)，所以至多一個(gè)零點(diǎn)；，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以存在零點(diǎn)，綜上存在1個(gè)零點(diǎn)；（3）因?yàn)?/span>，由導(dǎo)數(shù)的定義得 ，即，不妨設(shè)若，則若，則 .命題得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形．（2）構(gòu)造新的函數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值．（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題． 

相關(guān)試卷

2023-2024學(xué)年上海市格致中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年上海市格致中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案，共11頁(yè)。試卷主要包含了填空題，單選題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年上海市格致中學(xué)高二下學(xué)期第二次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2022-2023學(xué)年上海市格致中學(xué)高二下學(xué)期第二次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含答案，共14頁(yè)。試卷主要包含了填空題，單選題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

上海市格致中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題：

這是一份上海市格致中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題，共15頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開(kāi)；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以?xún)?nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線(xiàn)客服

    官方
    微信

    添加在線(xiàn)客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開(kāi)微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部