2022-2023學(xué)年上海市建平中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知，則，        .【答案】【分析】由對(duì)立事件的概率求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.2．為了了解同學(xué)們的作業(yè)量，學(xué)校決定采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三學(xué)生中選取150人進(jìn)行調(diào)查，已知高一學(xué)生有400人，高二學(xué)生有500人，高三學(xué)生有600人，則應(yīng)抽取的高三學(xué)生人數(shù)為        .【答案】60【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求解即可.【詳解】由題可知，三個(gè)年級(jí)共有人，抽樣比例為，則抽取的學(xué)生中，高三年級(jí)有人.故答案為：60.3．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則        .【答案】2【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算作答.【詳解】隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.故答案為：24．甲和乙在五分鐘內(nèi)獨(dú)立復(fù)原魔方的概率分別為0.7和0.5，則甲、乙兩人在五分鐘內(nèi)均獨(dú)立復(fù)原魔方的概率為        .【答案】0.35/【分析】利用獨(dú)立事件概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)榧缀鸵以谖宸昼妰?nèi)獨(dú)立復(fù)原魔方的概率分別為： 0.7、0.5，所以甲、乙兩人在五分鐘內(nèi)均獨(dú)立復(fù)原魔方的概率為：，故答案為：0.35.5．5個(gè)乒乓球，其中3個(gè)新的，2個(gè)舊的，每次取一個(gè)，不放回地取兩次，則在第一次取到新球的條件下第二次取到新球的概率是      ．【答案】/0.5【詳解】設(shè)第一次取到新球?yàn)槭录?/span>，第二次取到新球?yàn)槭录?/span>，則.故答案為：.6．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是              .【答案】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通式，令的次數(shù)為即可.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，故常數(shù)項(xiàng)是．故答案為：．7．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則      ．【答案】【分析】根據(jù)中位數(shù)相等可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而利用平均值相等構(gòu)造方程求得，加和即可.【詳解】由莖葉圖可知：甲組工人產(chǎn)量的中位數(shù)為，則乙組工人產(chǎn)量的中位數(shù)應(yīng)為，解得：，乙組工人產(chǎn)量的平均值為，則甲組工人產(chǎn)量的平均值為，解得：，.故答案為：.8．已知隨機(jī)變量的分布為，且隨機(jī)變量，則        .【答案】29【分析】由數(shù)學(xué)期望和方差的公式求出，，再由方差的的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布為，所以，所以，所以.故答案為：29.9．從一副不含大小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有1張牌的概率為        .（精確到0.1%）【答案】34.1%【分析】本題首先可求出任意抽出張有多少種可能事件，然后求出有張牌有多少種可能事件，利用對(duì)立事件的概率即可求出至少有張牌的概率.【詳解】從張撲克牌中任意抽出張，共有種可能事件，從張撲克牌中任意抽出張，有張牌，有種可能事件，故至少有1張牌的概率.故至少有1張牌的概率為34.1%.故答案為：34.1%.10．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，，則        .【答案】/【分析】由題意可得，由可求出，而與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求出.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以，又，所以，所以，而與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以.故答案為：11．人群中患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有10%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.5%，則不吸煙者中患肺癌的概率是        .（用分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】設(shè)患肺癌為事件A，吸煙為事件B，由題有，即可得答案.【詳解】設(shè)患肺癌為事件A，吸煙為事件B，則，不吸煙者中患肺癌的概率為.又由全概率公式有，則，解得．故答案為：.12．已知函數(shù)存在4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是        .【答案】【分析】將化為，換元，令，將方程化為，根據(jù)函數(shù)的圖象，化為方程在內(nèi)有兩個(gè)互不相同的根，利用二次函數(shù)知識(shí)列式可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)楹瘮?shù)存在4個(gè)零點(diǎn)，所以存在4個(gè)正實(shí)根，即存在4個(gè)正實(shí)根，即存在4個(gè)正實(shí)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如圖：  則，，化簡(jiǎn)得，結(jié)合的圖象，知道方程在內(nèi)有兩個(gè)互不相同的根，記，利用根的分布得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 二、單選題13．經(jīng)檢測(cè)一批產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則以下選項(xiàng)正確的是（    ）A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．C．的概率最大 D．服從超幾何分布【答案】C【分析】的可能取值包括0可判斷A；可判斷B；隨機(jī)變量，，若取得最大值時(shí),則有，，求出的值可判斷C；服從二項(xiàng)分布可判斷D.【詳解】對(duì)于A，的可能取值為0，1，2，3，4，5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意，隨機(jī)變量，故D不正確；對(duì)于C，隨機(jī)變量，，若取得最大值時(shí)，則:  ，則，解得，則．故的概率最大，所以C正確；故選：C.14．已知有8個(gè)數(shù)據(jù)：1，2，3，3，4，5，5，6，則以下選項(xiàng)正確的是（    ）A．眾數(shù)為 B．第25百分位數(shù)為C．極差為 D．平均數(shù)為4【答案】B【分析】根據(jù)眾數(shù)、百分位數(shù)、極差和平均數(shù)的概念及計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)眾數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的眾數(shù)為和，所以A不正確；對(duì)于B中，由，所以數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為，所以B正確；對(duì)于C中，根據(jù)極差的定義，可得數(shù)據(jù)的極差為，所以C不正確；對(duì)于D中，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以D錯(cuò)誤.故選：B.15．從總體容量為240的研究對(duì)象中挑選10個(gè)樣本，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將所有研究對(duì)象按001，002，，240進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第4行第5個(gè)數(shù)開(kāi)始向右讀，則選出的第4個(gè)編號(hào)是（注：下面為隨機(jī)數(shù)表的第3~5行）（    ）91685307    17337298    29849526    37515923    03886191    1467905449042443    36160865    53317333    03570684    57173171    8435701217355239    47454753    01644305    44017425    26545229    10694745A．865 B．086 C．173 D．171【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表第4行第5個(gè)數(shù)開(kāi)始向右讀，找出滿(mǎn)足條件的編號(hào)即可.【詳解】從隨機(jī)數(shù)表第4行第5個(gè)數(shù)開(kāi)始向右讀，符合條件的有160，173，068，171，則選出的第4個(gè)編號(hào)是171.故選: D16．若存在實(shí)數(shù)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)，使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式等價(jià)于，原命題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，，不等式成立，分別討論，，，的情況，先求出，再求出即可解決問(wèn)題.【詳解】不等式等價(jià)于即，原命題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，，不等式成立，記，則，（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，即在上單調(diào)遞減①當(dāng)，即時(shí)，，②當(dāng)，即時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（2）當(dāng)時(shí)，令，解得， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，    當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，， 則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以；令，則，，記，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，即；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，即在上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，，②當(dāng)，即時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；綜上所述，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ． 三、解答題17．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；(2)若函數(shù)在上嚴(yán)格增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求導(dǎo)，由題意，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，利用分離參數(shù)法，求出函數(shù)最值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1），，所以，，即切線(xiàn)的斜率，切點(diǎn)，所以切線(xiàn)方程為：，即，故切線(xiàn)方程為；（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上嚴(yán)格增，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，所以小于等于的最小值，因?yàn)?/span>，所以，故的取值范圍為.18．某箱子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.從箱子中每次隨機(jī)取出1個(gè)球，如果取出的是紅球，則不放回；如果取出的是白球，則放回，每一次操作，稱(chēng)為一次取球.記兩次取球后，箱子中小球的個(gè)數(shù)為.(1)求兩次取球都是紅球的概率；(2)求的分布、期望和方差.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，， 【分析】（1）求出的概率即可；（2）根據(jù)求分布列的步驟求出分布列，根據(jù)期望公式、方差性質(zhì)求解可得結(jié)果.【詳解】（1）兩次取球都是紅球的概率即為；（2）由題意知的所有可能取值為3，4，5，則，，，所以的分布為，，.19．某中學(xué)為了加強(qiáng)食堂用餐質(zhì)量開(kāi)展“美食”工作，后勤部門(mén)需了解學(xué)生對(duì)“美食”工作的認(rèn)可程度，若學(xué)生的認(rèn)可系數(shù)（認(rèn)可系數(shù)）不低于0.95，“美食”工作按原方案繼續(xù)實(shí)施，否則需進(jìn)一步整改.為此該部門(mén)隨機(jī)調(diào)查了600名學(xué)生，根據(jù)這600名學(xué)生對(duì)“美食”工作認(rèn)可程度給出的評(píng)分，分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.  (1)為了了解部分學(xué)生給“美食”工作評(píng)分較低的原因，該部門(mén)從評(píng)分低于80分的學(xué)生中用分層抽樣的方法隨機(jī)選取30人進(jìn)行座談，求出應(yīng)選取評(píng)分在的學(xué)生人數(shù)；(2)判斷“美食”工作是否需要進(jìn)一步整改，并說(shuō)明理由.【答案】(1)10人(2)需要進(jìn)一步整改，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）先通過(guò)頻率分布直方圖求出的值，然后由低于80分的學(xué)生中三組學(xué)生的人數(shù)比例進(jìn)行計(jì)算；（2）由頻率分布直方圖求出平均值以及求出第60百分位數(shù)后，根據(jù)題意求出認(rèn)可系數(shù)，比較即可．【詳解】（1）由題意有：，解得，評(píng)分低于80分的頻率為：，因此評(píng)分低于80分的人數(shù)為：，評(píng)分在的學(xué)生總數(shù)為，因此分層抽樣時(shí)應(yīng)選取評(píng)分在的學(xué)生人數(shù)為：人.（2）認(rèn)可程度平均分為：，設(shè)認(rèn)可程度評(píng)分第60百分位數(shù)為，則，解得，因此認(rèn)可系數(shù)，所以需要進(jìn)一步整改.20．已知橢圓：，，，是橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，原點(diǎn)為的重心.  (1)求橢圓的離心率；(2)如果直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率都存在，求證為定值；(3)試判斷的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)為定值， 【分析】（1）利用條件直接求出，從而求出橢圓的離心率；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立橢圓方程得，設(shè)，，，由結(jié)合重心坐標(biāo)公式可得，，表示出，由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可得出答案；（3）分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況討論，利用條件分別求出的面積，從而判斷出是否為定值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又，所以，解得，所以橢圓E的的離心率.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，，則，，因?yàn)樵c(diǎn)為的重心，所以，，所以.（3）因?yàn)樵c(diǎn)為的重心，所以當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，必有或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，將或者代入橢圓方程，均求得，又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離均為3，因此.當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由（2）知，，，，因?yàn)?/span>在橢圓上，代入橢圓方程可得，化簡(jiǎn)得，又，到直線(xiàn)AB的距離為：，所以為定值.綜上所述，的面積是為定值.21．給定函數(shù)，若點(diǎn)是的兩條互相垂直的切線(xiàn)的交點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“正交點(diǎn)”.記函數(shù)所有“正交點(diǎn)”所組成的集合為.(1)若，判斷集合是否為空集，并說(shuō)明理由；(2)若，證明：的所有“正交點(diǎn)”在一條定直線(xiàn)上，并求出該直線(xiàn)；(3)若，記圖像上的所有點(diǎn)組成的集合為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)不存在，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析，(3) 【分析】（1）假設(shè)存在，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出矛盾，即可判斷；（2）設(shè)“正交點(diǎn)”是在和處的切線(xiàn)的交點(diǎn)，求出切線(xiàn)方程，即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由切線(xiàn)互相垂直求出，即可得解；（3）依題意不存在圖像上的點(diǎn)，使得該點(diǎn)是“正交點(diǎn)”，先利用反證法證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若圖像上的點(diǎn)是“正交點(diǎn)”，則該點(diǎn)本身一定是切點(diǎn)，假設(shè)，處切線(xiàn)互相垂直，不妨令是兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)，即可得到方程對(duì)無(wú)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）假設(shè)存在“正交點(diǎn)”，則存在兩條相互垂直的切線(xiàn)，設(shè)為和處的切線(xiàn)，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以不存在“正交點(diǎn)”，所以.（2）設(shè)“正交點(diǎn)”是在和處的切線(xiàn)的交點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，所以在和處的切線(xiàn)方程為：，，聯(lián)立，解得，即，因?yàn)閮蓷l切線(xiàn)互相垂直，所以，所以，所以的所有“正交點(diǎn)”在一定直線(xiàn)上.（3）因?yàn)?/span>，所以不存在圖像上的點(diǎn)，使得該點(diǎn)是“正交點(diǎn)”.先證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若圖像上的點(diǎn)是“正交點(diǎn)”，則該點(diǎn)本身一定是切點(diǎn).反證法：假設(shè)該點(diǎn)不是切點(diǎn)，則存在切線(xiàn)，它與函數(shù)圖像交于點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>，所以，同理可得，所以，所以?xún)蓷l切線(xiàn)重合，矛盾！所以該點(diǎn)本身一定是切點(diǎn).假設(shè)，處切線(xiàn)互相垂直，不妨令是兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)，則由前文可知，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，設(shè)，則有，由題意可知圖像上的點(diǎn)都不是“正交點(diǎn)”，也即不存在這樣的點(diǎn)，所以方程對(duì)無(wú)解.設(shè)，其對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，要使得無(wú)解，只要，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是理解定義，利用導(dǎo)數(shù)、反證法相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答，以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的. 

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