2022-2023學(xué)年上海市金山中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．設(shè)集合，，則        ．【答案】【分析】利用補集、交集的定義直接求解作答.【詳解】由，得或，又，所以.故答案為：2．若不等式的解集為，則實數(shù)等于         .【答案】3【分析】求出絕對值符號的不等式解集，再比對作答.【詳解】不等式，化為，因此不等式的解集為，依題意，，于是，解得，所以實數(shù)等于3.故答案為：33．在復(fù)平面內(nèi)，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)z，則           【答案】【分析】由點的坐標寫出復(fù)數(shù)，再計算。【詳解】由題意，∴。故答案為：。【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題。4．圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，底面圓的半徑為1，則圓錐的側(cè)面積為        ．【答案】【分析】根據(jù)扇形弧長與底面半徑關(guān)系得，解出弧長，最后利用側(cè)面積公式即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線為,則,所以,則圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.5．已知，則的值為        ．【答案】10【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理直接列式計算作答.【詳解】依題意，.故答案為：106．已知函數(shù)，其中，則曲線在點處的切線方程為      ．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出，即可得出切線方程.【詳解】因為，所以，則，，所以所求切線的方程為.故答案為：.7．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則          ．【答案】1【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得正態(tài)分布的圖像對稱軸為，據(jù)此得到關(guān)于a的方程，解方程可得a的值.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得正態(tài)分布的圖像對稱軸為，結(jié)合題意有：.故答案為1．【點睛】關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.8．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙至少一人入選的概率為    ．【答案】/0.9【分析】把另3 編號，用列舉法寫出從5人中任選3人的所有基本事件，可得出甲、乙至少一人入選的基本事件，記數(shù)后由概率公式計算概率．【詳解】另三名同學(xué)記為1，2，3，由從5人中選3名同學(xué)基本事件有：甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23，123共10個，其中甲、乙至少一人入選的基本事件有甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23共9個，所以所求概率為．故答案為：．9．已知拋物線(其中)的焦點為，點在拋物線上，若，且的最小值為，則點到拋物線的準線的距離為        【答案】【分析】設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)已知條件列方程組，由此求得進而求得正確答案.【詳解】設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，則①，，當(dāng)時等號成立，所以②，由①②解得或，因為，所以，即到拋物線的準線的距離為.故答案為：.10．已知偶函數(shù)在上有且僅有一個極大值點，沒有極小值點，則的取值范圍為        ．【答案】【分析】首先利用輔助角公式得，根據(jù)其奇偶性和的范圍求出，則，令，利用余弦函數(shù)圖象得，解出即可.【詳解】為偶函數(shù),所以,即,因為,所以，所以,令,由得,所以轉(zhuǎn)化為,如圖:在上有且僅有一個極大值點沒有極小值點時,則,所以,即的取值范圍為.故答案為：.11．已知函數(shù)f(x)＝，若存在x∈，使得f(x)<2，則實數(shù)a的取值范圍是        ．【答案】(－1,5)【解析】由題意f(x)<2可得－2<x3－ax<2，得到x2－<a<x2＋，即分別判斷不等式左右兩邊函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，解不等式得到a的范圍.【詳解】解法1 當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)<2，等價于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即x3－2<ax<x3＋2，得到x2－<a<x2＋，即，設(shè)，因此在單調(diào)遞增，，設(shè)，因此在單調(diào)遞增，，得到－1<a<5.解法2 原問題可轉(zhuǎn)化為先求：對任意x∈[1,2]，使得f(x)≥2時，實數(shù)a的取值范圍．則有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥.（1）當(dāng)a≥4時，a≥x2＋≥22＋＝5，得到a≥5.（2）當(dāng)a≤1時，x2－a≥，有a≤x2－≤1－＝－1，得到a≤－1.（3）當(dāng)1<a<4時，|a－x2|≥0，與>0矛盾．那么有a≤－1或a≥5，故原題答案為－1<a<5.對于存在性問題，可以直接轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的最值問題，也可以參數(shù)和變量分離后再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(如解法1)；也可以轉(zhuǎn)化為命題的否定即恒成立問題來處理(如解法2)．【點睛】本題考查了雙變量的不等式恒成立問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，分類討論，數(shù)學(xué)運算能力，屬于較難題.12．函數(shù)，數(shù)列，滿足，，若要使成等差數(shù)列，則的取值范圍為        【答案】【分析】由絕對值的意義可得的分段函數(shù)式，根據(jù)為等差數(shù)列，對分，，進行討論，結(jié)合函數(shù)解析式和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【詳解】，因為為等差數(shù)列，(1)若，此時， 滿足條件.(2)若，則①若，則，由，得，解得，不合題意.②若，則由，得解得：，不合題意；(3)若，，①若，則由，得解得：，不合題意.②若，則，由，得解得：，符合題意，此時，，，， ，符合題意.綜上，的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式以及等差數(shù)列的增減性，解答本題的關(guān)鍵是分類討論思想的準確應(yīng)用，屬于難題. 二、單選題13．下列函數(shù)中，既是定義域內(nèi)單調(diào)增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】對于A，利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；對于B，由單調(diào)區(qū)間不能合并判斷；對于C，利用函數(shù)的奇偶性定義判斷；對于D，利用奇偶性定義及導(dǎo)數(shù)法判斷.【詳解】解：對于A，為奇函數(shù)，在定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合題意；對于B，，定義域為，，所以為奇函數(shù)，在和上分別單調(diào)遞增，不符合題意；對于C，定義域為R，關(guān)于原點對稱，但，故函數(shù)不是奇函數(shù)，不符合題意；對于D，定義域為R，關(guān)于原點對稱，又，則是奇函數(shù)，，則單調(diào)遞增，符合題意.故選：D.14．下列關(guān)于統(tǒng)計概率知識的判斷，正確的是（    ）A．將總體劃分為層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為、和，且已知，則總體方差B．在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)越接近于C．若，，則事件、相互獨立D．某醫(yī)院住院的位新冠患者的潛伏天數(shù)分別為、、、、、、、，則該樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為【答案】C【分析】利用方差公式可判斷A選項；利用相關(guān)系數(shù)與線性相關(guān)關(guān)系可判斷B選項；利用條件概率公式以及獨立事件的定義可判斷C選項；利用百分位數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設(shè)層數(shù)據(jù)分別為、、、；、、、，因為，所以，總體平均數(shù)為，所以，，，所以，總體方差為，則，所以，當(dāng)或時，，否則，A錯；對于B選項，在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，B錯；對于C選項，由條件概率公式可得，所以，，所以，，故，所以，事件、相互獨立，C對；對于D選項，將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列分別為、、、、、、、，所以，該樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，D錯.故選：C.15．已知正四面體的棱長為6，設(shè)集合，點平面，則表示的區(qū)域的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作平面于點，利用正四面體的特點求出的長，從而得到，即得到其表示圓及其內(nèi)部，則得到其表示的區(qū)域面積.【詳解】過點作平面于點，則，因為，則，則表示的區(qū)域為以為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部，面積為，故選：C.16．已知在中，，則的最大值是（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，再利用余弦定理化角為邊可得，再根據(jù)結(jié)合柯西不等式可求得的最大值，即可得解.【詳解】解：因為在中，，即，所以，所以，即，即，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最大值為，即的最大值是.故選：B. 三、解答題17．如圖，在正三棱柱中，，異面直線與所成角的大小為.(1)求正三棱柱的體積；(2)求直線與平面所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知可得，又，求得正三棱柱的底面邊長為.再求出底面積，代入棱柱體積公式可得正三棱柱的體積；（2）在底面三角形中，過作，垂足為，則為直線與平面所成角，求解三角形得答案.【詳解】（1）解：∵異面直線與所成角的大小為，且，∴，又，∴，即正三棱柱的底面邊長為.∴.則；（2）解：在底面三角形中，過作，垂足為，則為中點，在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，連接，則為直線與平面所成角，，，∴，∴，即直線與平面所成角的大小為.18．在數(shù)列{an}中，已知，()．.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列.(2)記bn=，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求Sn.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，即轉(zhuǎn)化變形方向為與的關(guān)系.首先分離與，然后兩邊同取倒數(shù)，再同減去1，即可得證；（2）先由(1)結(jié)論求出，再化簡bn=，再由分組求和法即可得出答案.【詳解】（1）證明：由，得，從而，，又，故數(shù)列為等比數(shù)列；（2）由(1)得，，故，所以，則.19．一場始于煙火，歸于真誠的通邂逅，讓無數(shù)人赴山趕海“進淄趕烤”，淄博某燒烤店趁機推出150元燒烤套餐．某同學(xué)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，燒烤店成本(單位：千元，包含人工成本、原料成本、場地成本、設(shè)備損耗等各類成本)與每天賣出套餐數(shù)(單位：份)的關(guān)系如下：1346756.577.58與可用回歸方程(其中為常數(shù))進行模擬．參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)，則：0.546.81.530.45線性回歸直線中，．  (1)試預(yù)測該燒烤店一天賣出100份的利潤是多少元(利潤=售價一成本，結(jié)果精確到1元)(2)據(jù)統(tǒng)計，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增．4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為淄博配送的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖，用這16天的情況來估計相應(yīng)的概率．供貨商擬購置輛小貨車專門運輸該品牌飲料，一輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利500元;若不發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元．若或4，請從每天的利潤期望角度給出你的建議．【答案】(1)3236元；(2)購置3輛小貨車的利潤更高，建議購買3輛車. 【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出，即可求出回歸方程，再代入求出預(yù)測值，即可得到利潤；根據(jù)頻率分布直方圖，得到送貨箱數(shù)得概率分布表，設(shè)該運輸戶購輛車和購輛車時每天得利潤為，求出分布列，計算出期望，即可判斷.【詳解】（1）根據(jù)題意，所以所以，議，所以，所以時，(千元)，即賣出100份的成本為11764元，故利潤(元)（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可知送貨箱數(shù)的概率分布表為：箱數(shù)設(shè)該運輸戶購3輛車和購4輛車時每天的利潤分別為元，則的可能取值為，其分布列為：1500800100故，的可能取值為，其分布列為：故，即購置3輛小貨車的利潤更高，建議購買3輛車.20．已知橢圓：的左焦點為，左、右頂點分別為，，上頂點為.(1)若為直角三角形，求的離心率；(2)若，，點，是橢圓上不同兩點，試判斷“”是“，關(guān)于軸對稱”的什么條件？并說明理由；(3)若，，點為直線上的動點，直線，分別交橢圓于，兩點，試問的周長是否為定值？請說明理由.【答案】(1)(2)必要不充分條件，理由見解析(3)是，理由見解析 【分析】（1）利用為直角三角形得到，轉(zhuǎn)化為即可得.（2）根據(jù)橢圓的對稱性可證必要性，又反例可知不滿足充分性.（3）先證直線過橢圓的右焦點，可得的周長為【詳解】（1）  如圖，，，，，由題意，即，故，解得離心率（2）必要不充分條件.必要性：根據(jù)橢圓的對稱性可知，當(dāng)，關(guān)于軸對稱時，成立；充分性：橢圓方程為，設(shè)，，在上不單調(diào)，所以可舉反例：分別取，，即，使得，但，不關(guān)于軸對稱.（3）  由題意，，，橢圓方程為，設(shè)，則直線的斜率為，方程為：，聯(lián)立橢圓方程得，，故，代入得，所以，同理直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程得，，故，代入得，所以，所以，直線方程為，令，可得，即直線恒過橢圓的右焦點.所以的周長為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．對于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對任意、，都有，則稱為的“和諧數(shù)組”．(1)若，判斷數(shù)組是否為的“和諧數(shù)組”，并說明理由；(2)若，求函數(shù)的極值點；(3)證明：若為的“和諧數(shù)組”，則對任意，都有．【答案】(1)是的“和諧數(shù)組”，理由見解析；(2)為函數(shù)的一個極大值點,為的一個極小值點.(3)見解析 【分析】（1）代入有，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)可得，再將代入即可證明；（2）代入值有，直接求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0即可得到其極值點；（3）假設(shè)存在,使得,通過和諧數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對任意恒成立，設(shè)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立.【詳解】（1）是的“和諧數(shù)組”,理由如下：當(dāng)時,.根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),對任意,都有.對任意,代入,得: 是的“和諧數(shù)組”.（2）當(dāng),于是可列表如下:00極大值極小值為函數(shù)的一個極大值點,為的一個極小值點.（3）反證法:假設(shè)存在,使得,則對任意,都有.對任意恒成立.令，則在上恒成立,由二次函數(shù)性質(zhì)可知,必存在使得當(dāng)時,恒成立,且此時,當(dāng)時有，其中，由二次函數(shù)性質(zhì)可知,必存在使得當(dāng)時，.這與在上恒成立矛盾.對任意,都有【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3問的關(guān)鍵是運用反證法，首先假設(shè)存在,使得,根據(jù)和諧數(shù)組的定義轉(zhuǎn)化得存在,使得,設(shè)，通過二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可推理出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，最后即得到證明. 

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