2022-2023學年上海市洋涇中學高二下學期期末數(shù)學試題 一、填空題1．設集合，集合，則         .【答案】【解析】結合交集的概念，直接求出兩個集合的交集即可.【詳解】∵集合，，∴.故答案為：.2．不等式的解集是      .【答案】【分析】根據(jù)分式的運算性質(zhì)分類討論求出不等式的解集.【詳解】或，得.故答案為：.3．在的二項展開式中，含有項的系數(shù)為      .【答案】160【分析】利用二項式的通項公式直接求解即可.【詳解】因為的通項公式為：，所以令，項的系數(shù)為.故答案為：160.4．甲和乙下中國象棋，若甲獲勝的概率為0.4，甲不輸?shù)母怕蕿?/span>0.9，則甲、乙和棋的概率為      .【答案】/【分析】利用互斥事件概率加法公式直接進行求解【詳解】甲約乙下中國象棋，甲獲勝的概率為，甲不輸?shù)母怕蕿?/span>甲乙和棋的概率為：故答案為：.5．已知春季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為與，且兩地同時下雨的概率為，則在春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為          ．【答案】【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解.【詳解】記事件A為“甲地下雨”，B為“乙地下雨”，所以，，所以.故答案為：.6．2023年杭州亞運會需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的5名志愿者中任意選出3名，分別擔任語言服務、人員引導、應急救助工作，其中甲不能擔任語言服務工作，則不同的選法共有      種.（結果用數(shù)值表示）【答案】48【分析】先從除甲外的4人選1人擔任語言服務工作，然后從剩下的4人中選2人分別去擔任人員引導和應急救助工作即可.【詳解】由題意可知，先從除甲外的4人選1人擔任語言服務工作，有種方法，然后從剩下的4人中選2人分別去擔任人員引導和應急救助工作，有種方法，所以由分步乘法原理可知不同的選法共有種，故答案為：487．已知隨機變量，且，則的最小值為      ．【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得到，再利用基本不等式計算可得.【詳解】因為隨機變量，且，所以，即，因為，所以，所以，當且僅當時取等號.故答案為：8．若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是      .【答案】【分析】根據(jù)絕對值三角不等式得到，即可得到，解得即可.【詳解】因為，當且僅當時取等號，因為不等式恒成立，所以，即或，解得或，即.故答案為：9．如圖所示的莖葉圖記錄著甲、乙兩支籃球是各6名球員某份比賽的得分數(shù)據(jù)（單位：分）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則      .  【答案】【分析】根據(jù)莖葉圖進行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y即可求解.【詳解】由題意，甲的中位數(shù)為：，故乙的中位數(shù)①，，因為平均數(shù)相同，所以②，由①②可得，，所以，故答案為：.10．近五年來某草原羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關系如表所示，繪制相應的散點圖，如圖所示：年份12345羊只數(shù)量/萬只1.40.90.750.60.3草地植被指數(shù)1.14.315.631.349.7  若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關系數(shù)為，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關系數(shù)為，則      （填，，，）【答案】【分析】根據(jù)散點圖可知兩個量呈負相關，且去掉數(shù)據(jù)后相關性變強，結合相關系數(shù)的概念判斷即可.【詳解】根據(jù)散點圖可知，羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)呈負相關，則相關系數(shù)，，當去掉第一年數(shù)據(jù)后，數(shù)據(jù)的線性相關性變強，所以，所以．故答案為：11．設，為兩個隨機事件，①若，是互斥事件，，則；②若，是對立事件，則；③若，是獨立事件，，，則；④若，，且，則，是獨立事件.以上命題正確的序號為      .（填寫序號）【答案】②③④【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式，對立事件的性質(zhì)以及獨立事件的概率乘法公式，可得答案.【詳解】①：由是互斥事件，則，故①錯誤；②：由是對立事件，則為必然事件，即，故②正確；③：由是獨立事件，則也是互相獨立的，即，故③正確；④：由，，則相互獨立，即相互獨立，故④正確.故答案為：②③④.12．設函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍為         ．【答案】【分析】設，，利用導數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，即可求出其最大值，依題意有且僅有兩個整數(shù)滿足，即可得到且，從而求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】設，，則，，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，時函數(shù)取極大值即最大值，又，，，直線恒過定點且斜率為，要使有且僅有兩個整數(shù)滿足，即有且僅有兩個整數(shù)滿足，且，解得，即.故答案為：． 二、單選題13．對于實數(shù)，，，且是的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】若“且”則“”成立，當，時，滿足，但且不成立，故且”是“”的充分非必要條件．故選：A．14．用最小二乘法求回歸方程是為了使（    ）A． B．C．最小 D．最小【答案】D【分析】由最小二乘法的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)最小二乘法的求解可知：回歸方程是為了使得每個數(shù)據(jù)與估計值之間的差的平方和最小，即殘差平方和最小.故選：D15．函數(shù)的大致圖像為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，先利用函數(shù)值正負的分布判斷B錯誤，再利用特殊值判斷D錯誤,根據(jù)極值點確定C錯誤，即得答案.【詳解】函數(shù)中，，當時,,看圖像知B選項錯誤；函數(shù)中，，當時,, 看圖像知D選項錯誤；解得，故為函數(shù)的極值點，故C選項不符合，A選項正確. 故選：A.16．已知定義在上的函數(shù)，，其導函數(shù)分別為，，且，，且為奇函數(shù)，則下列等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】將用代入已知等式可構造方程組得到，由此可得關于對稱；結合為偶函數(shù)可推導得到是周期為的周期函數(shù)，則可得D正確；令，代入中即可求得A錯誤；令，由可推導得到B錯誤；設，由可知，結合可知，由此可得，知C錯誤.【詳解】由得：，，關于中心對稱，則，為奇函數(shù)，，左右求導得：，，為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，，是周期為的周期函數(shù)，，D正確；，，又，，A錯誤；令，則，，又，，，即，B錯誤；，，設，則，，又為奇函數(shù)，，，即，C錯誤.故選：D【點睛】結論點睛：本題考查利用抽象函數(shù)關系式求解函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性的問題；對于與導數(shù)有關的函數(shù)性質(zhì)，有如下結論：①若連續(xù)且可導，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若連續(xù)且可導，那么若關于對稱，則關于點對稱；若關于對稱，則關于對稱. 三、解答題17．設函數(shù).（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）當時，對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為不等式的解集是，所以是方程的解由韋達定理得：，故不等式為. 解不等式得其解集為. （2）時，據(jù)題意，恒成立，則可轉化為 設，則，關于遞減， 所以，∴.18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，為中點，.  (1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接交于點，連接，即可得到，從而得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）連接交于點，連接，由四邊形為正方形，可知為中點，為中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則 ，所以，設平面的法向量為，則，令，則， 設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．  19．某大學學院共有學生1000人，其中男生640人，女生360人.該學院體育社團為了解學生參與跑步運動的情況，按性別分層抽樣，從該學院所有學生中抽取若干人作為樣本，對樣本中的每位學生在5月份的累計跑步里程進行統(tǒng)計，得到下表.跑步里程男生（人數(shù)）12105女生（人數(shù)）6642(1)求的值，并估計學院學生5月份累計跑步里程在中的男生人數(shù)；(2)從學院樣本中5月份累計跑步里程不少于的學生中隨機抽取3人，其中男生人數(shù)記為，求的分布及期望.【答案】(1),人.(2)答案見解析,  【分析】（1）首先求出男女生人數(shù)之比，即可得到方程，求出a的值，再由樣本求出估計值；（2）依題意的可能取值為，，，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望；【詳解】（1）依題意，男女生人數(shù)之比為，所以，解得，故計學院學生月份跑步里程在中的男生人數(shù)為人.（2）依題意的可能取值為,所以，，，所以X的分布列為所以20．已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；（2）設，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到，代入的表達式，即可得出為定值；（3）根據(jù)（1）中的結論，設，則，求出直線AP、BQ的方程，聯(lián)立即可求出點M的坐標，從而可知其在定直線上．【詳解】（1）依題可得，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）設，，因為直線過點且斜率不為，所以可設的方程為，代入橢圓方程得，其判別式，所以，. 兩式相除得，即．因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，． 從而．（3）由（1）知，設，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點的坐標為，所以點在定直線上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.21．已知函數(shù)，，.(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)令當，若函數(shù)有兩個零點，，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見詳解 【分析】（1）先求導，利用導數(shù)可得切線斜率，由點斜式方程可得；（2）利用導數(shù)討論單調(diào)性及極值，最值，找到不等式，解不等式，求出實數(shù)a的取值范圍；（3）構造差函數(shù)，證明極值點偏移問題.【詳解】（1）定義域為，，所以切線斜率為，又，所以切線方程為，即.（2），定義域為，，①當時，有恒成立，在上單調(diào)遞增，函數(shù)不可能有兩個零點；②當時，由，解得，由，解得，故函數(shù)在上遞增，在上遞減．因為，故，設，，則，當時，，當時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，所以，故，即，取，則.因此，要使函數(shù)且兩個零點，只需，即，化簡，得，令，因為，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，故不等式的解為，因此，使求實數(shù)a的取值范圍是：.（3）因為，所以，根據(jù)（2）的結果，不妨設，則只需證明，因為在時單調(diào)遞增，且，，于是只需證明，因為，所以即證，記，，，所以在單調(diào)遞增，則，即證得，原命題得證.【點睛】關鍵點睛：極值點偏移問題，可以通過構造差函數(shù)進行解決，也可以變多元為多元求解，利用對數(shù)平均不等式也能解決，選擇哪種方案，需要結合函數(shù)特點進行選擇. 

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