2023屆上海市宜川中學(xué)高三5月模擬數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知，，若與互相平行，則實數(shù)的值是__________．【答案】【分析】由向量共線的坐標公式，列出方程求解即可．【詳解】因為，所以，解得，故答案為：．2．雙曲線的離心率為_______【答案】【詳解】思路分析：由題可得，故離心率【解析】此題考查雙曲線離心率的計算.點評：簡單題，知道離心率的計算公式即可解答.3．已知數(shù)列滿足：，若為等差數(shù)列，則通項公式為__________．【答案】/【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由求出和，即可寫出通項公式．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，所以，解得，所以，故答案為：．4．在中，已知，則此三角形最大內(nèi)角度數(shù)為______．【答案】【分析】利用正弦定理角化邊可得三邊比例關(guān)系，由大邊對大角知所求角為，利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】在中，利用正弦定理可得：，的最大內(nèi)角為，不妨設(shè)，，，則，，.故答案為：.5．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是實系數(shù)方程的一個解，則實數(shù)__________．【答案】13【分析】由實系數(shù)方程復(fù)數(shù)根的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系即可求得．【詳解】由題意，方程的另一個根為，則，故答案為：．6．如圖，在正四棱錐中，，則正四棱錐的體積為__________.    【答案】【分析】首先求四棱錐的高，再根據(jù)體積公式，即可求解.【詳解】作平面，垂足為點，點為正方形的中心，連結(jié)，，，所以，  所以四棱錐的體積.故答案為：7．如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第10行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的數(shù)值之比為__________（用最簡分數(shù)表示）.【答案】【分析】第行從左至右依次為，由二項式系數(shù)性質(zhì)可得答案.【詳解】觀察知第行從左至右依次為，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得最大，其次為，所以第10行中最大的數(shù)與第二大的數(shù)的數(shù)值之比為.故答案為：.8．函數(shù)的最大值為__________．【答案】/【分析】首先求得，設(shè)，，得出的單調(diào)區(qū)間，即可得出最大值．【詳解】，設(shè)，，令，得或， 所以當時，，即在和上單調(diào)遞減，當時，，即在上，單調(diào)遞增，又因為，，所以的最大值為，故答案為：．9．某校高中三年級600名學(xué)生參加了區(qū)模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為__________.【答案】75【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可求得，即可求得答案.【詳解】由題意可知，且,則，故此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為，故答案為：7510．定義符號函數(shù)則方程的解集為__________.【答案】/【分析】由方程定義域，按照分段函數(shù)分類討論即可.【詳解】由方程定義域，當時，原式等價于；當時，原式等價于,故答案為：.11．在平面直角坐標系中,已知圓,點在圓上,且則的取值范圍是_______.【答案】.【分析】本題可利用中點去研究,先通過坐標關(guān)系,將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)得到點的軌跡,由圖形的幾何特征,求出模的最值,得到本題答案.【詳解】設(shè),中點.∵∴,∵圓,∴,圓心,半徑.∵點在圓上,,∴,即.點在以為圓心,半徑的圓上.∴,.∴,∴.故答案為:.【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程的思想,圓的平面幾何性質(zhì)，向量的坐標運算，屬于中檔題.12．投票評選活動中，經(jīng)常采用簡單多數(shù)原則或積分原則.簡單多數(shù)原則指個評委對個候選人進行一次表決，各自選出認為最佳的人選，按每個候選人所得票數(shù)不同決定不同名次；積分原則指每個評委先對個候選人排定順序，第一名得分，第二名得分，依此類推，最后一名得1分，每個候選人最后的積分多少決定各自名次.下表是33個評委對A?B?C?D四名候選人作出的選擇，則按不同原則評選，名次不相同的候選人是__________.           選票數(shù)名次 6753931stCACABD2ndACDDAA3rdBBBBDC4thDDACCB【答案】和.【分析】根據(jù)題意，分別按用簡單多數(shù)原則或積分原則，求得的排名，再按不同的原則評選，即可求得名次不相同的候選人.【詳解】由題意，按簡單多數(shù)原則排名，的得票數(shù)為，的得票數(shù)為，的得票數(shù)為，的得票數(shù)為，所以第一名為，第二名為，第三名為，第四名為，按積分原則排名，的得分為，的得分為，的得分為，的得分為，所以第一名為，第二名為，第三名為，第四名為，按不同的原則評選，名次不相同的候選人是，.故答案為：和. 二、單選題13．“”是“”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】根據(jù)分數(shù)不等式求解答范圍，即可根據(jù)集合間的關(guān)系求解.【詳解】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A14．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項，則（    ）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【分析】觀察要求解的式子，根據(jù)給的數(shù)列的通項公式，計算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【詳解】由已知，數(shù)列通項，所以，所以，所以.故選：C.15．已知平面所成角為為兩平面外一點，則過點且與平面所成角均為的直線有（    ）條.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作出兩平面所成二面角的平面角，先考慮二面角內(nèi)符合題意的直線，再考慮在二面角的鄰補的二面角內(nèi)符合題意的直線，綜合可得答案.【詳解】如圖，作出兩平面所成二面角的平面角，則，  設(shè)為的平分線，則，當以O為中心，在二面角的角平分面上旋轉(zhuǎn)時，與兩平面的夾角變小，此時與平面所成角均為的直線僅這一條；設(shè)為的補角的角平分線，則，當以O為中心，在二面角的鄰補的二面角的角平分面上旋轉(zhuǎn)時，與兩平面的夾角變小， 此時在的兩側(cè)會各出現(xiàn)一條與兩平面成的直線，可設(shè)為，故過點P可作一條與平行的直線，符合題意；可作與平行的直線各一條，符合題意，故過點且與平面所成角均為的直線有3條，故選：C16．如果函數(shù)的圖像上存在兩點，使得函數(shù)的圖像在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)具有性質(zhì)的含義，可得存在，使得，由此一一求得各選項中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其是否滿足該性質(zhì)，即得答案.【詳解】由題意知具有性質(zhì)，即存在，使得；對于A，，存在，使得，A正確；對于B，定義域為，，故不存在，使得，B錯誤；對于C，，故不存在，使得，C錯誤；對于D，，故不存在，使得，D錯誤；故選：A 三、解答題17．某迷宮有三個通道,進入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達此門,系統(tǒng)會隨機(即等可能)為你打開一個通道.若是1號通道,則需要1小時走出迷宮;若是2號、3號通道,則分別需要2小時、3小時返回智能門,再次到達智能門時,系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道,直至走出迷宮為止.令ξ表示走出迷宮所需的時間.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)分布列見解析.（2）E(ξ)=(小時).【詳解】解：（1）的所有可能取值為：1，3，4，6，，，，所以的分布列為：1 3 4 6 P  （2）（小時） 18．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，.  (1)證明：平面；(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）設(shè)圓 的半徑為 1 , 求出各線段的長度, 利用勾股定理即可得到 , , 進而得證;（2）建立空間直角坐標系, 求出平面PBC及平面PCE的法向量, 利用向量的夾角公式即可得解.【詳解】（1）由題設(shè)知為等邊三角形，設(shè)圓錐底面半徑為1，則，所以，又為等邊三角形，則，即為等腰直角三角形，故同理，又，平面，平面,所以平面；（2）過O作交于點，因為平面，以O為坐標原點，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，  則，，可求得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為故，二面角為銳角，故其大小為.19．某公司按銷售額給銷售員提成作獎金，每月的基本銷售額為20萬元，超額中的第一個5萬元（含5萬元以下），按超額部分的提成作獎金；超額中的第二個5萬元，按超額部分的 提成作獎金；……后每增加5萬元，其提成比例也增加一個．如銷售員某月銷售額為27萬元，則按照合約，他可得獎金為元．試求：(1)銷售員某月獲得獎金7200元，則他該月的銷售額為多少？(2)若某銷售員、月份的總銷售額為60萬元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個月的總獎金的最大、最小值分別是多少？【答案】(1)3.65萬元(2)最高1萬元，最低0.6萬元 【分析】（1）由題分析出銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，設(shè)超額部分比15萬多元，列出方程，求解即可；（2）設(shè)兩個月的總獎金為，某銷售員月份的銷售額為萬元，則銷售員月份的銷售額為萬元，分類討論的范圍，得出關(guān)于的分段函數(shù)，畫出圖像即可得解．【詳解】（1）超額第一個5萬元可得獎金1000元，超額第二個5萬元可得獎金2000元，超額第三個5元可得獎金3000元，超額第四個5萬元可得獎金4000元，所以當銷售員的銷售額超額部分為15萬元時，可得獎金3000元，當銷售員的銷售額超額部分為20萬元時，可得獎金7000元，因為銷售員某月獲得獎金7200元，所以銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，設(shè)超額部分比15萬多元，提成比例為，則，可得，故他該月的銷售額為萬元．（2）設(shè)兩個月的總獎金為，某銷售員月份的銷售額為萬元，則銷售員月份的銷售額為萬元，則，①當時，則，，②當時，則，，③當時， 則，④當時， 則，綜上所述，，作出圖像，  由圖可知，當，即7月份銷售額為30萬元，獎金最低為0.6萬元；當或時，即7月份銷售額為20或40萬元，獎金最高為1萬元．20．已知雙曲線，點為雙曲線上的動點.(1)求以為焦點且經(jīng)過點的橢圓的標準方程；(2)若直線經(jīng)過點且與雙曲線恰好有一個公共點，求直線的方程；(3)點在什么位置時，取得最大？求出最大值及點的坐標.【答案】(1)(2)和(3)或，最大為. 【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意求得，即可求得答案；（2）討論l斜率不存在情況是否符合題意，斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，并聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合判別式即可求得答案.（3）利用雙曲線對稱性，先設(shè)點在第一象限，坐標為，利用到角公式求得，結(jié)合基本不等式求得最大值，可得答案.【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓方程為，則，又因為為橢圓焦點，故，故橢圓方程為.（2）由于直線經(jīng)過點，直線斜率不存在時與雙曲線無公共點；可設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立整理后得當，得，當時，直線為雙曲線的一條漸近線，不符題意，舍去；當時，直線為，與雙曲線的另一條漸近線平行，與雙曲線只有一個交點；當時，令，即解得，（舍去），此時l方程為為；綜上，滿足要求的直線有兩條，分別為和.（3）根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，，則，  于是，為銳角，因為，當且僅當等號成立，此時，此時，則，根據(jù)雙曲線的對稱性，當或時，取得最大為.【點睛】方法點睛：求解直線與雙曲線只有一個交點時，聯(lián)立方程后要注意討論，將直線與雙曲線漸近線進行比較，從而取舍；求解角的最大值時，要注意結(jié)合直線的斜率，利用到角公式并結(jié)合基本不等式求解.21．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的最小值；(2)過點的直線與交于A?B兩點，求證：為定值；(3)求證：有且只有兩條直線與函數(shù)的圖像都相切．【答案】(1)2(2)證明見解析(3)證明見解析 【分析】（1）由求出其單調(diào)區(qū)間，即可得出最小值；（2）由題可知，直線的斜率存在，設(shè)，，，直線方程與聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得出和，代入，化簡即可證明；（3）設(shè)直線與函數(shù)的圖像都相切，設(shè)直線與函數(shù)相切于點，得出，再由直線與函數(shù)相切，則，則，兩式聯(lián)立，得，設(shè)，，由得出的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合，，，即可證明．【詳解】（1），定義域為，則，易得為增函數(shù)，令，得，當時，，則在單調(diào)遞增；當時，，則在單調(diào)遞減；故時，取得最小值2．（2）由題可知，直線的斜率存在，且，設(shè)，，，不妨設(shè)，則，消去得，顯然，，，，所以為定值4．（3）設(shè)直線與函數(shù)的圖像都相切，故不等式，在定義域內(nèi)恒成立，且兩個等號都能取到，因為，當時，，所以，設(shè)直線與函數(shù)相切于點，則，，消去得，又直線與函數(shù)相切，于是，得，故，與聯(lián)立，得，設(shè)，， 則，顯然單調(diào)遞增，令，得，即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，又，，，即函數(shù)恰有兩個零點，一個在區(qū)間內(nèi)，一個在區(qū)間內(nèi)，綜上，有且只有兩條直線與函數(shù)的圖像都相切． 

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