2022-2023學(xué)年上海市徐匯中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．拋物線的準(zhǔn)線方程為          .【答案】【分析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由此得到題目所求準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是.故答案為：.2．已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角            ．【答案】【分析】根據(jù)直線的方程求得直線的斜率為，得到，進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意，直線的方程為，可得直線的斜率為，即，又因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.3．已知隨機(jī)事件，則          .【答案】【分析】由條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】由條件概率可得,所以.故答案為：4．已知雙曲線的離心率，實(shí)半軸長(zhǎng)為4，則雙曲線的方程為          .【答案】【分析】由離心率求出，再由求出可得雙曲線方程．【詳解】由已知可得 ,即得,所以雙曲線方程為:.故答案為: .5．已知函數(shù)，則          ．【答案】【分析】首先計(jì)算，當(dāng)時(shí)，即可求值.【詳解】，，.故答案為：6．受新冠肺炎的影響，部分企業(yè)轉(zhuǎn)型生產(chǎn)口罩，如表為某小型工廠2~5月份生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)（單位：萬(wàn)）23452.23.85.5若與線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則表格中實(shí)數(shù)的值為      .【答案】/7.1【分析】根據(jù)線性回歸直線方程經(jīng)過(guò)樣本中心，將代入求解.【詳解】，故，故，故，故答案為：7.17．某校高中三年級(jí)1600名學(xué)生參加了區(qū)第一次高考模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)量服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?/span>80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為      人.【答案】200【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求得，即可求得答案.【詳解】由題意可知，且,則，故此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為，故答案為：200.8．若圓與直線x＋y＋1＝0相交于A、B兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為      .【答案】【分析】確定圓心和半徑，計(jì)算圓心到直線的距離為，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算得到答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，故.故答案為：9．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，則      .【答案】0.6【分析】由題意知，，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率、方差公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，該群體的10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，所以，所以或．由，得，即，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二項(xiàng)分布問(wèn)題，根據(jù)二項(xiàng)分布求概率，再利用方差公式求解即可．10．若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為      .【答案】2【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系求的值，并代入原函數(shù)結(jié)合單調(diào)性檢驗(yàn).【詳解】由題意可得： ，因?yàn)?/span>，解得或，若，則，令，解得或；令，解得；則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是極小值點(diǎn)，符合題意；若，則，令，解得或；令，解得；則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是極大值點(diǎn)，不符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的值為2.故答案為：2.11．端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.一盤(pán)中放有10個(gè)外觀完全相同的粽子，其中豆沙粽3個(gè)，肉粽3個(gè)，白米粽4個(gè)，現(xiàn)從盤(pán)子任意取出3個(gè)，則取到白米粽的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為        .【答案】/1.2【分析】設(shè)取到白米粽的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求出對(duì)應(yīng)的概率，利用期望公式求解.【詳解】設(shè)取到白米粽的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則，所以，，，，所以故答案為：12．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，且，，則在下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)為      ．①雙曲線的離心率為2；②雙曲線的一條漸近線的斜率為；③線段AB的長(zhǎng)為 ；④的面積為．【答案】①④【分析】利用雙曲線定義結(jié)合可得，利用，求得，繼而可得，即可求得額離心率，判斷①，由離心率可得，判斷②，利用，求得，判斷③，計(jì)算的面積判斷④.【詳解】如圖示：不妨設(shè)A在第一象限，則，由于，可得： ，由于，所以 ，故 ，可得： ，故 ，而,故，所以由可得 ，即，所以①雙曲線的離心率 ，①正確；由可得，故 ，則雙曲線的漸近線的斜率為，②錯(cuò)誤；由以上分析可知，③錯(cuò)誤；在 中， ， 故 ，④正確，故答案為︰①④﹒【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線定理的理解和應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于利用雙曲線定義結(jié)合已知求得后，要注意推出 ，從而 ，即可求得相關(guān)線段長(zhǎng)，則離心率漸近線斜率和弦長(zhǎng)以及面積問(wèn)題即可解決. 二、單選題13．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)直線一般式中平行滿足的關(guān)系即可求解.【詳解】若直線與直線平行，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或時(shí)兩直線平行．故“”能得到“直線與直線平行”，但是 “直線與直線平行”不能得到“”故選：A14．已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（    ）A．當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，的取值范圍是B．當(dāng)時(shí)，曲線表示一條直線C．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．存在，使得曲線為等軸雙曲線【答案】C【分析】根據(jù)直線、橢圓以及雙曲線方程的特征逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：曲線表示雙曲線時(shí)，則，解得或，所以的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，則，解得，所以曲線表示兩條直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則，即，可得，曲線：表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若曲線為等軸雙曲線，且方程可整理為，可得，則，無(wú)解，所以不存在，使得曲線為等軸雙曲線，故D錯(cuò)誤；故選：C.15．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線：上，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn).①拋物線的準(zhǔn)線為；②直線與拋物線相切；③；④.以正結(jié)論中正確的是（    ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)題意求出拋物線C方程，再假設(shè)出直線AB的直線方程，聯(lián)立方程和利用韋達(dá)定理即可判斷得出答案．【詳解】對(duì)于①：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，則，解得，所以拋物線：，其準(zhǔn)線為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：令，則，可得，即拋物線在A點(diǎn)處切線斜率與直線AB斜率相同，所以直線AB與拋物線C相切，故②正確；對(duì)于③：由題意可知，直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為 ，聯(lián)立方程，消去y得：，可得，即，且，因?yàn)?/span>因?yàn)?/span>，所以，故③正確；對(duì)于④：由題意可知，因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，則，所以，故④錯(cuò)誤故選：B．    【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題的求解方法（1）涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．（2）在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用． 三、解答題17．記關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分式不等式化為，結(jié)合分式不等式解法的結(jié)論，即可得到解．（2）由含絕對(duì)值不等式的解法，得，并且集合是的子集，由此建立不等式關(guān)系，即可得到的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，即，所以， 所以不等式的解集為，由此可得．（2），可得,，得，再解，即①當(dāng)時(shí)，無(wú)解，，滿足；②當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，由此可得，即a的取值范圍是．③當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，由此可得，即a的取值范圍是．綜上所述，a的取值范圍是18．李先生是一名上班族，為了比較上下班的通勤時(shí)間，記錄了20天個(gè)工作日內(nèi)，家里到單位的上班時(shí)間以及同路線返程的下班時(shí)間（單位：分鐘），如下莖葉圖顯示兩類時(shí)間的共40個(gè)記錄：(1)求出這40個(gè)通勤記錄的中位數(shù)M，并完成下列2×2列聯(lián)表： 超過(guò)M不超過(guò)M上班時(shí)間  下班時(shí)間  (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)問(wèn)上下班的通勤時(shí)間是否有顯著差異？并說(shuō)明理由．附：，，【答案】(1)，填表見(jiàn)解析(2)無(wú)顯著差異；理由見(jiàn)解析 【分析】(1)根據(jù)莖葉圖求出中位數(shù)，列表即可；(2)將表格中數(shù)據(jù)代入公式即可.【詳解】（1）由莖葉圖可知，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故列出2×2列聯(lián)表如下： 超過(guò)M不超過(guò)M上班時(shí)間812下班時(shí)間713（2）由2×2列聯(lián)表可知，，故上下班的通勤時(shí)間不存在顯著差異.19．：，，：.(1)求，有交點(diǎn)的概率；(2)設(shè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)詳解， 【分析】（1）聯(lián)立方程利用判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并結(jié)合古典概型運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果求分布列，進(jìn)而可求期望.【詳解】（1）聯(lián)立方程，消去y得，顯然，可得，因?yàn)?/span>，則的符號(hào)如下表所示：12345120345共有25個(gè)基本事件，其中：（沒(méi)有交點(diǎn)）有6個(gè)基本事件，概率為；（有1個(gè)交點(diǎn)）有1個(gè)基本事件，概率為；（有2個(gè)交點(diǎn)）有18個(gè)基本事件，概率為；所以，有交點(diǎn)的概率.（2）由題意可知：的可能取值有，由（1）可得：，則的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望.20．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）參考解析；（3）【詳解】試題分析：第一問(wèn)，將代入中確定函數(shù)的解析式，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，確定在時(shí)，函數(shù)有極小值，但無(wú)極大值，在解題過(guò)程中，注意函數(shù)的定義域；第二問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，的根為和，所以要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需對(duì)和的大小進(jìn)行3種情況的討論；第三問(wèn)，由第二問(wèn)可知，當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值，所以的最大值可以求出來(lái)，因?yàn)?/span>對(duì)任意的恒成立，所以，將的最大值代入后，，又是一個(gè)恒成立，整理表達(dá)式，即對(duì)任意恒成立，所以再求即可.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，由,解得. ∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù). ∴的極小值為，無(wú)極大值. （2）. ①當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； ②當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)； ③當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù). （3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知在上是減函數(shù)，∴. 由對(duì)任意的恒成立，∴即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立， 由于當(dāng)時(shí)，，∴. 【解析】1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；4.不等式的性質(zhì).21．已知橢圓C：的焦距為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)），點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．①若點(diǎn)P在直線上，求證：線段的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②求證：當(dāng)的面積最大時(shí)，直線OM與ON的斜率之積為定值．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析，；②直線OM與ON的斜率之積為. 【分析】（1）根據(jù)焦距和所過(guò)點(diǎn)聯(lián)立方程組求解即可；（2）設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，①根據(jù)中點(diǎn)公式及垂直平分線方程化簡(jiǎn)即可證明并得到定點(diǎn)；②利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式，表示出三角形面積，并借助重要不等式得到三角形面積最大時(shí)，直線方程中的參數(shù)滿足的條件，由此化簡(jiǎn)直線OM與ON的斜率之積即可得出定值.【詳解】（1）因?yàn)榻咕酁?/span>，即，所以，又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓C的方程為.（2）由題意知，直線l斜率存在，設(shè)直線l方程為，設(shè).由得，，.①因?yàn)辄c(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，所以，即，.所以.所以線段MN的垂直平分線方程為，即，即.故線段的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn).②由弦長(zhǎng)公式得，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以.所以直線OM與ON的斜率之積為定值. 

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