2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則（   ）A．// B． C． D．與相交【答案】B【分析】根據(jù)與平行，即可判斷直線和平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)?/span>，，故可得，即//，則直線.故選：B.2．若有5名實(shí)習(xí)學(xué)生到甲、乙、丙、丁4個(gè)公司學(xué)習(xí)，每人限報(bào)一個(gè)公司，則不同的報(bào)名方式有（    ）A．625 B．1024 C．120 D．24【答案】B【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】依題意，每位實(shí)習(xí)學(xué)生均有4種報(bào)名方式，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的報(bào)名方式有種.故選：B3．的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（    ）A．15 B．16 C．120 D．124【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)特征，結(jié)合乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，中含的項(xiàng)為，所以的常數(shù)項(xiàng)為，因此的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為為，故選：D4．在正四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題知，在正四面體中，因?yàn)?/span>平面，所以是的中心，連接，則，所以.  故選：B5．徐州有很多春游踏青的景點(diǎn)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)學(xué)校準(zhǔn)備從彭園、九頂山、園博園、云龍湖、潘安湖5個(gè)旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)組織學(xué)生去春游. 設(shè)事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇園博園”，事件B為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇園博園”，事件B為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，可得，又由事件B為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”， 可得，所以.故選：A.6．兩組各有3人獨(dú)立的破譯某密碼，組每個(gè)人成功破譯出該密碼的概率為，組每個(gè)人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數(shù)分別為，若，則下列關(guān)系正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意分析，均服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的均值和方差公式直接求得.【詳解】由題意可知：服從二項(xiàng)分布，所以.同理：服從二項(xiàng)分布，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以.對(duì)于二次函數(shù)，對(duì)稱軸，所以在上函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，即.故選：C7．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說(shuō)法中正確的是（    ）  A．B．直線與所成角的正弦值為C．向量與的夾角是D．平面【答案】D【分析】利用基底向量，結(jié)合向量模長(zhǎng)公式即可判斷A,利用向量的夾角公式即可判斷BC,由向量垂直即可得線線垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判斷即可判斷D.【詳解】由題意可得,,又，則，故A錯(cuò)誤，由于，則，，又，則，故B錯(cuò)誤，由于 ,所以向量與的夾角即為與的夾角，由于等邊三角形，故為，進(jìn)而與的夾角為的補(bǔ)角，故與的夾角為，故C錯(cuò)誤，,所以,進(jìn)而可得 平面 ,故 平面,故D正確，故選：D8．已知空間直角坐標(biāo)系中，，三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界）的個(gè)數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立不等式，再根據(jù)方程有正整數(shù)解，借助隔板法列式作答.【詳解】設(shè)三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為，  依題意，，，則，令，，，于是，令，即方程有正整數(shù)解，因此三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)（不包括邊界）的個(gè)數(shù)即為方程的正整數(shù)解個(gè)數(shù)，把8個(gè)相同小球排成一列，形成7個(gè)間隙，用3塊板子插入其中的3個(gè)間隙，將8個(gè)小球分成4部分，每種分法的各部分小球數(shù)即為方程的一個(gè)正整數(shù)解，共有種不同分法，所以三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)（不包括邊界）的個(gè)數(shù)為.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及形如不等式一正整數(shù)解個(gè)數(shù)問(wèn)題，可以增加變量轉(zhuǎn)化為方程的不定解個(gè)數(shù)問(wèn)題，再借助隔板法求解即可. 二、多選題9．設(shè)，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，已知，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．B．C．若A，B是相互獨(dú)立事件，則D．若A，B是互斥事件，則【答案】AC【分析】計(jì)算得AC正確；當(dāng)A，B是相互獨(dú)立事件時(shí)，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>A，B是互斥事件，得，而，故D錯(cuò)誤．【詳解】解：，故A正確；當(dāng)A，B是相互獨(dú)立事件時(shí)，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>A，B是相互獨(dú)立事件，則，所以，故C正確；因?yàn)?/span>A，B是互斥事件，，則根據(jù)條件概率公式，而，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．下列命題正確的是（    ）A．若共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得B．若存在實(shí)數(shù)使得，則四點(diǎn)共面C．若共線，則D．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若 ，其中且，則四點(diǎn)共面【答案】BD【分析】A由向量共線定理即可判定；B由平面向量基本定理可判定；C由向量共線分類討論即可；D由平面向量基本定理推廣即可.【詳解】對(duì)于A 選項(xiàng)，若，則不存在，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，共線時(shí)，則四點(diǎn)共線，合題；不共線時(shí)，由平面向量基本定理，可判定四點(diǎn)共面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若同向，則不成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，,則，所以,所以四點(diǎn)共面，故D選項(xiàng)正確；故選：BD.11．已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為B．常數(shù)項(xiàng)為C．二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為D．系數(shù)最大項(xiàng)為【答案】ABD【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和為64可求出的值，由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可判斷A；寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為0可判斷B；根據(jù)的值可得二項(xiàng)式系數(shù)最大值，從而判斷C；由展開(kāi)式的系數(shù)可知系數(shù)最大時(shí)為偶數(shù)，可逐一計(jì)算為偶數(shù)時(shí)的系數(shù)的值，比較大小即可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，所以，所以，所以二項(xiàng)式為，由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可知，所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是二項(xiàng)式系數(shù)和的一半，故A正確；二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，故常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；顯然當(dāng)時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，展開(kāi)式系數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，展開(kāi)式系數(shù)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)展開(kāi)式系數(shù)最大，這一項(xiàng)為，故D正確.故選：ABD12．在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．存在唯一一點(diǎn)，使得B．存在唯一一點(diǎn)，使得直線與平面所成角取到最小值C．若直線平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若 ，則三棱錐的體積為【答案】BCD【分析】可證得平面，則當(dāng)在線段上時(shí)都滿足，即可判斷A；可得是直線與平面所成的角，當(dāng)直線與平面所成角取到最小時(shí)，最大，亦有最大，即可判斷B；可證平面平面，所以若直線平面，則點(diǎn)在線段上，求出的長(zhǎng)度即可判斷C；用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，再求出的面積即可計(jì)算三棱錐的體積，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，，，，所以平面，所以當(dāng)在線段上時(shí)，都滿足，此時(shí)點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中，平面，所以是直線與平面所成的角，因?yàn)?/span>，且，，所以當(dāng)直線與平面所成角取到最小時(shí)，最大，亦有最大，所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，最大，故B正確；  對(duì)于C，分別取的中點(diǎn)為，連接，在正方形中，因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，平面，，所以平面平面，所以若直線平面，則點(diǎn)在線段上，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度即為線段的長(zhǎng)度，在中，，故C正確；  對(duì)于D，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，  則，由得，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，在中，，，則等腰底邊上的高，，所以三棱錐的體積，故D正確.故選：BCD 三、填空題13．已知隨機(jī)變量，若，則       .【答案】/【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，結(jié)合，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量，可得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?/span>，則.故答案為：.14．甲罐中有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，先從甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出1個(gè)球，則從乙罐中取出的球是紅球的概率為  .【答案】【分析】根據(jù)題意，分為甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球?yàn)榧t球和甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球?yàn)榘浊?，兩種情況，結(jié)合概率的乘法公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，甲罐中有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，當(dāng)甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球?yàn)榧t球時(shí)，此時(shí)乙罐中有5個(gè)紅球，1個(gè)白球，其概率為；當(dāng)甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球?yàn)榘浊驎r(shí)，此時(shí)乙罐中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，其概率為，所以從乙罐中取出的球是紅球的概率為.故答案為：.15．如圖是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有      種.  【答案】【分析】把5個(gè)區(qū)域，分為①②③④⑤，分①③或②④中，恰有一個(gè)處同色和①與③同色，且②與④同色時(shí)，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】如圖所示，把5個(gè)區(qū)域，分為①②③④⑤，當(dāng)①③或②④中，恰有一個(gè)處同色時(shí)，此時(shí)用4中顏色涂色，共有種涂法；當(dāng)①與③同色，且②與④同色時(shí)，此時(shí)用你3中顏色涂色，共有種涂法，由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有中不同的涂色方法.故答案為：.   四、雙空題16．已知一個(gè)質(zhì)子在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)一個(gè)單位.若移動(dòng)次，則當(dāng)時(shí)，質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為        ，當(dāng)    時(shí)，質(zhì)子位于6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大.【答案】     /     或【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率，再求質(zhì)子位于對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率表達(dá)式并求其最值.【詳解】設(shè)第次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率為，事件時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)等價(jià)于事件前次移動(dòng)中有且只有次向左移動(dòng)，所以事件時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為，事件第次移動(dòng)后質(zhì)子位于對(duì)應(yīng)點(diǎn)處等價(jià)于事件質(zhì)子在次移動(dòng)中向右移了次，所以第次移動(dòng)后質(zhì)子位于對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率，設(shè)，則，令可得，化簡(jiǎn)可得，所以，，所以，令可得，，所以，又，所以或，即或時(shí)，質(zhì)子位于對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大.故答案為：；或. 五、解答題17．用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)(1)在組成的五位數(shù)中，所有偶數(shù)有多少個(gè)？(2)在組成的五位數(shù)中，大于31000的數(shù)有多少個(gè)？(3)在組成的五位數(shù)中，數(shù)字2和數(shù)字4不相鄰的數(shù)有多少個(gè)？【答案】(1)60(2)42(3)60 【分析】（1）根據(jù)當(dāng)末位是0和末位是2或4，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解；（2）分萬(wàn)位是4、萬(wàn)位為3千位為2,4和萬(wàn)位為3千位為1，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解；（3）先排0,1,3，根據(jù)0排在三個(gè)數(shù)的第一位和0不排在三個(gè)數(shù)的第一位，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，當(dāng)末位是0共有個(gè)，當(dāng)末位是2或4共有個(gè),所以共有偶數(shù)為個(gè).（2）解：由題意，萬(wàn)位是4共有個(gè)，萬(wàn)位為3千位為2或4共有個(gè)，萬(wàn)位為3千位為1共有個(gè)，所以大于31000的數(shù)共有個(gè).（3）解：先排0,1,3,第一種：0排在三個(gè)數(shù)的第一位，共有個(gè)；第二種0不排在三個(gè)數(shù)的第一位，共有個(gè)所以數(shù)字2和4不相鄰的數(shù)共有個(gè).18．如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).  (1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）利用三角形的中位線定理及線面平行的判定定理即可求解；（2）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用棱錐的體積公式，求出及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與二面角的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）在正四棱錐中，連接，四邊形為正方形 為的中點(diǎn)   又點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中位線              又平面，平面，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，  因?yàn)檎睦忮F的體積為，所以正四棱錐的體積，所以，，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則 ，即，令，則，所以.設(shè)二面角的所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.19．甲乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行羽毛球比賽，規(guī)定每一局比賽中獲勝方記分，失敗方記分，沒(méi)有平局，誰(shuí)先獲得分就獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.(1)求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了局的概率；(2)若現(xiàn)在是甲以的比分領(lǐng)先，記表示結(jié)束比賽還需要打的局?jǐn)?shù)，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析， 【分析】（1）比賽打了6局結(jié)束的情況有兩種，甲勝或乙勝，即可解出.（2）分析可知，可能的取值為2,3,4,5，分別求出對(duì)應(yīng)的概率即可.【詳解】（1）記比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局為事件A若甲勝，則 ,若乙勝，則.     所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為 ；（2）所有可能的取值為2,3,4,5                                   .2345.20．已知，其中實(shí)數(shù)，且的系數(shù)為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)計(jì)算：（i）；（ii）.（結(jié)果用冪的形式表示）【答案】(1)3(2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可得答案；（2）利用賦值法，結(jié)合方程思想，可得答案.【詳解】（1）的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，                  又，，；（2）（i）由（1）得，令得①，令得②，①②得，，①②得，，;（ⅱ）令，則，，           的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，21．某校為了提高教師身心健康號(hào)召教師利用空余時(shí)間參加陽(yáng)光體育活動(dòng).現(xiàn)有名男教師，名女教師報(bào)名，有慢跑、游泳、瑜伽三個(gè)可選項(xiàng)目，本周隨機(jī)選取人參加，每名女教師至多從中選擇參加項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加項(xiàng)或項(xiàng)的可能性均為；每名男教師至少?gòu)闹羞x擇參加項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加項(xiàng)或項(xiàng)的可能性也均為.每人每參加項(xiàng)活動(dòng)可獲得“體育明星” 積分分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，求：(1)在有女教師參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女教師參加活動(dòng)的概率；(2)記隨機(jī)選取的兩人得分之和為，參加活動(dòng)的女教師人數(shù)為，（i）求與的關(guān)系；（ii）求兩人得分之和的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)（i）；（ii）42.5 【分析】（1）由條件概率的計(jì)算公式即可求解，（2）根據(jù)一名女教師以及一名男教師參加活動(dòng)獲得分?jǐn)?shù)的期望，即可得，利用的分布列即可求解,由期望的性質(zhì)即可得，或者利用分類加法以及概率乘法公式也可求解分布列,進(jìn)而由期望公式求解.【詳解】（1）記有女教師參加活動(dòng)為事件A，恰有1名女教師參加活動(dòng)為事件B     ，              ，         故在有女教師參加活動(dòng)的條件下，恰有1名女教師參加活動(dòng)概率為（2）根據(jù)題意，一名女教師參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望為，一名男教師參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望為      設(shè)恰有Y名女教師參加活動(dòng)，則男教師有名參加活動(dòng)，，則，，．所以Y的分布列為Y012P則有，       所以．       法二：設(shè)恰有Y名女教師參加活動(dòng)，則男教師有名參加活動(dòng)，則，，． 2030405060 22．如圖，圓臺(tái)的下底面圓的直徑為，圓臺(tái)的上底面圓的直徑為，是弧上一點(diǎn)，且.   (1)求證：；(2)若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)為，則可證明，，從而可證得；（2）以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法求出直線與平面所成角的正弦的函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)的知識(shí)即可求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，，又是以為直徑的圓上一點(diǎn)，，，平面，平面，，平面，平面，，  又，為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，在圓臺(tái)中，平面，，又因?yàn)樵趫A臺(tái)中，圓圓，，所以四邊形為平行四邊形， 且，在中，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，又，.    （2）如圖以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，  ，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，，取，，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，，，，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，則，所以的取值范圍為，即，又，所以，所以直線與平面所成角的取值范圍. 

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