2022-2023學年江蘇省宿遷市高二下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．設，化簡（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項式定理化簡即可．【詳解】，故選：C．2．已知平面α的一個法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關系為（　?。?/span>.A． B．C． D．l與α相交但不垂直【答案】A【分析】由向量與平面法向量的關系判斷直線與平面的位置關系.【詳解】因為，所以，即，所以.故選：A3．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的計算公式求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選:C.4．由0，1，2，3，5組成的無重復數(shù)字的五位偶數(shù)共有（    ）．A．42個 B．48個 C．54個 D．120個【答案】A【分析】分為五位數(shù)的個位數(shù)是,五位數(shù)的個位數(shù)是兩類，依據(jù)兩個計數(shù)原理求解.【詳解】若五位數(shù)的個位數(shù)是，則有種情形；若五位數(shù)的個位數(shù)是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個位置有種情形，依據(jù)分步計數(shù)原理，可得種情形．由分類計數(shù)原理可得所有無重復五位偶數(shù)的個數(shù)為.故選：A．5．已知空間四面體中，對空間內(nèi)任一點，滿足下列條件中能確定點共面的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間中四點共面定理求解即可.【詳解】根據(jù)空間中四點共面可知，解得.故選：D6．如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（     ）種．A．12 B．36 C．48 D．72【答案】C【分析】根據(jù)使用顏色的數(shù)量進行分類計算即可.【詳解】如果只用了3種顏色，則ABD三塊區(qū)域顏色必兩兩不同，C區(qū)域必與A相同，則涂法有種；如果用了全部4種顏色，則涂法有種；所以總共有種涂法.故選：C.7．當時，將三項式展開，可得到如圖所示的三項展開式和“廣義楊輝三角形”：……第0行第1行第2行第3行第4行廣義楊輝三角形11   1   11   2   3   2   11   3   6   7   6   3   11   4   10   16   19   16   10   4   1若在的展開式中，的系數(shù)為75，則實數(shù)a的值為（    ）．A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)廣義楊輝三角形的信息找出第五行的規(guī)律，然后根據(jù)題意求得.【詳解】由題意可得廣義楊輝三角形第五行的前兩個數(shù)字為1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，所以在的展開式中，的系數(shù)為解得.故答案為：C.8．如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點P的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（    ）．  A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，寫出相應點、的坐標，求出平面的法向量，最后求出與平面所成角的正弦值.【詳解】平面，，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，..易知平面的法向量.設與平面所成角為，則.故選：C.   二、多選題9．若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)x的值可能為（    ）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【分析】依題意可得且與不同向，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到不等式，求解即可.【詳解】因為與的夾角為銳角，所以，解得，當與共線時，，解得，所以實數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗，選項C、D符合題意.故選：CD10．甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項活動后合影留念，則（    ）．A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C．5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法【答案】BCD【分析】對A：根據(jù)分步計數(shù)原理：先排前排，再排后排；對B：甲、乙看作一個元素排列即可；對C：根據(jù)分步計數(shù)原理：先排兩端，再排中間；對D：利用間接法：先將5人排隊，再排除不符合題意的情況.【詳解】對A：甲、乙、丙站前排，有種排法，丁、戌站后排，有種排法，共有種排法，故A錯誤；對B：甲、乙看作一個元素，則5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有種排法，故B正確；對C：5人站成一排，甲不在兩端，共有種排法，故C正確；對D：5人站成一排，有種排法，則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.故選：BCD.11．設，則下列結論中正確的是（    ）．A．B．C．，，，，中最大的是D．當時，除以16的余數(shù)是1【答案】ABD【分析】由二項式定理及二項展開式可解，觀察式子特點可進行適合的賦值簡化計算.【詳解】① ；對A，對題給式子進行賦值，令，則，故A正確；對B，由①式知，故B正確；對C，，當時，；，,最大的為，故C不正確；對D，當時，除以16的余數(shù)是1，故D正確.故選：ABD12．已知正方體的棱長為1，點P為側(cè)面內(nèi)一點，則（    ）．A．當時，異面直線與所成角的正切值為B．當時，四面體的體積為定值C．當點P到平面的距離等于到直線的距離時，點P的軌跡為拋物線的一部分D．當時，四面體的外接球的表面積為【答案】BC【分析】A選項，建立空間直角坐標系，得到異面直線與所成角的余弦值，進而得到正切值；B選項，證明線面平行，得到四面體的體積為定值；C選項，作出輔助線，得到的長即為點P到平面的距離，即為點到直線的距離，設，，建立方程，得到答案；D選項，作出輔助線，找到球心位置，求出外接球半徑，進而求出表面積.【詳解】A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，則，則異面直線與所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的正弦值為，正切值為2，A錯誤；B選項，當時，點在上，又，平面，平面，所以平面，故點到平面的距離為定值，故四面體的體積為定值，B正確；C選項，過點作⊥于點，因為⊥平面，平面，所以⊥，因為平面，，則⊥平面，的長即為點P到平面的距離，連接，則⊥，故即為點到直線的距離，設，，則，故，兩邊平方后得到，為拋物線的一部分，故當點P到平面的距離等于到直線的距離時，點P的軌跡為拋物線的一部分，C正確；D選項，當時，為的中點，取中點，則四面體的外接球的球心在平面的投影為，找到球心，連接，取的中點，連接，過點作⊥于點，設，則，，，，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，故表面積為，D錯誤.故選：BC【點睛】思路點睛：解決與球有關的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑 三、填空題13．在的展開式中含的項的系數(shù)為          ．【答案】4【分析】利用二項式定理展開，并合并同類項即可.【詳解】由二項式定理展開式得，所以展開式中含的項的系數(shù)為4.故答案為：4.14．若，則與向量同方向的單位向量的坐標為            .【答案】【分析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因為，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標為，故答案為：.15．將3位教師分到6個班級任教，每位教師教2個班，共有          種不同的分法．【答案】90【分析】先將6個班分成3組，然后分配給3個教師，從而可求得結果.【詳解】由題意可得先將6個班分成3組，然后分配給3個教師，所以共有種不同的分法，故答案為：90 四、雙空題16．在空間直角坐標系中，經(jīng)過且法向量的平面方程為，經(jīng)過且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：給出平面的方程，經(jīng)過點的直線l的方程為，則直線l的一個方向向量是          ，直線l與平面所成角的余弦值為          ．【答案】          /【分析】根據(jù)題意，結合已知條件求得平面的法向量，以及直線的方向向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】因為平面的方程，不妨令，可得，所以過點，設其法向量為，根據(jù)題意得，即，由平面的方程為，則，不妨取，可得，則平面的一個法向量為，經(jīng)過點的直線的方程為，不妨取，則，則該直線的一個方向向量為，則直線與平面所成的角為，則，由，所以.故答案為：；. 五、解答題17．（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用組合數(shù)和排列數(shù)公式和性質(zhì)直接求解即可；（2）利用組合數(shù)和排列數(shù)公式列方程求解即可.【詳解】（1）原式；（2）因為，所以化簡得，解得或，又因為，所以18．如圖，在棱長為1的正方體中，P是底面ABCD的中心，M是的中點．(1)求點到直線MP的距離；(2)求點C到平面的距離．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明，從而只需求線段的長即可；（2）由（1）得為平面的一個法向量，利用向量法根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】（1）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，所以，所以，所以點到直線MP的距離為線段的長，又因為是邊長為的等邊三角形，為中點，所以.即點到直線MP的距離.（2），所以，，，因為，所以，又由（1）知，所以為平面的一個法向量.所以點C到平面的距離.19．在下面三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解．條件①：第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；條件②：只有第5項的二項式系數(shù)最大；條件③：所有項的二項式系數(shù)的和為256．問題：在展開式中，(1)求的值與展開式中各項系數(shù)之和；(2)這個展開式中是否存在有理項？若存在，將其一一列出；若不存在，請說明理由．【答案】(1)選三個中的任意一個，；展開式中各項系數(shù)之和為1．(2)存在，展開式中有理項分別為；；． 【分析】（1）利用二項展開式的性質(zhì)列方程即可求得的值，利用賦值法即可求得展開式中各項系數(shù)之和；（2）利用二項展開式的通項公式，由x的冪次為整數(shù)列方程即可求得展開式中有理項.【詳解】（1）選①，第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則，所以；令，則，則展開式中各項系數(shù)之和為1．選②，只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以，解得；令，則，則展開式中各項系數(shù)之和為1．選③，所有項的二項式系數(shù)的和為256，則，解得：．令，則，則展開式中各項系數(shù)之和為1．（2）二項式展開式的通項公式為：．依題意可知，當，3，6時，二項展開的項都是有理項．所以：當時，；當時，；當時，．所以展開式中有理項分別為；；．20．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AA1的長度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的長；(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量模的計算公式和向量的數(shù)量積的運算即得出BD1的長；（2）分別求出 的值，代入數(shù)量積求夾角公式，即可求得異面直線BD1與AC所成角的余弦值．【詳解】（1）∵，＝24，∴的長為，（2）∵，∴，∴，∵，，∴＝，所以直線BD1與AC所成角的余弦值為．21．（1）5個不同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，一共有多少種不同的放法？（結果以數(shù)字作答）（2）5個不同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，至少有2個空盒的放法有多少種？（結果以數(shù)字作答）【答案】（1）1024；（2）184【分析】（1）根據(jù)每一個小球有4種放法，利用分步計數(shù)乘法原理求解即可；（2）分成2類：2個空盒子，；3個空盒子；先分組再排列即可.【詳解】（1）有5個不同的小球，放入4個不同的盒子里，由于每一個小球有4種放法，故不同的放法共計種（2）有5個不同的小球，放入4個不同的盒子里，至少有2個空盒子，分成2類：2個空盒子，；3個空盒子；．先分組再排列:第一類：；第二類：根據(jù)分類計數(shù)原理共有種22．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點，M在上，且．  (1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)點F是線段PD上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線與所成角為，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3) 【分析】（1）由題意建立空間直角坐標系，利用向量法即可證明.（2）求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量法并結合同角三角函數(shù)關系式即可求出.（3）設，其中，利用向量法求出異面直線所成角為，從而求出的值，解出點坐標，即可求出的長.【詳解】（1）證明：因為平面，，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，                                           則，，，，，，，，，，又直線與直線不在同一條直線上， ，又平面，平面，平面（2）設平面與平面夾角為，設平面的法向量為，，，則，令，可得，又平面的一個法向量為，所以，.所以平面與平面夾角的正弦值為．（3）設，其中，則， ，，由題意可得，.整理可得，或，，（舍去），則，所以點為線段的中點，則點，所以．所以若異面直線與所成角為，則． 

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