2022-2023學年廣東省茂名市第一中學奧林匹克學校高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡集合，利用分式不等式化簡集合，再根據(jù)集合交集的定義求解即可.【詳解】由得，故，所以，由，得，故，所以，所以.故選：D2．“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由時，結(jié)合奇函數(shù)定義可判斷為奇函數(shù)，舉反例說明函數(shù)為奇函數(shù)時，可能是，不能得出一定是，由此可判斷答案.【詳解】當時，，其定義域為關(guān)于原點對稱，且滿足，故為奇函數(shù)；當時，，其定義域為關(guān)于原點對稱，且滿足，故為奇函數(shù),即函數(shù)為奇函數(shù)不能推出，還可能是，故“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件，故選：A3．已知函數(shù)，則的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由時的單調(diào)性排除兩個選項，當時，利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，因為函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，因此函數(shù)在上遞增，BD錯誤；當時，，求導得：在上遞增，，，而，即有，則存在，使得，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C選項不滿足，A選項符合要求.故選：A4．已知則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，借助中間量進行比較大小.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞減， 則，因為函數(shù)單調(diào)遞減，由有： ，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，由有：，所以.故選：C.5．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且，則（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性及計算可得.【詳解】解：由題可知，當時，，且，由題意知為奇函數(shù)，則，又，，則.故選：A.6．定義函數(shù)迭代：已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，可得，證明數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求即可.【詳解】對于，設，則，且，所以，所以是以為首項，公比為3的等比數(shù)列.，即.所以，故選：A.7．如果方程所對應的曲線與函數(shù)對的圖像完全重合，那么對于函數(shù)有如下兩個結(jié)論：①函數(shù)的值域為；②函數(shù)有且只有一個零點.對這兩個結(jié)論，以下判斷正確的是（    ）A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①②都正確 D．①②都錯誤【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再分段求解函數(shù)的值域、零點判斷作答.【詳解】當時，，則，當時，，則，因此，當時，，當或時，因此函數(shù)的值域為，①錯誤；由得，當時，，解得，當或時，，此方程無解，因此函數(shù)有且只有一個零點，②正確.故選：B8．已知函數(shù)，若有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知時，函數(shù)至多有一個零點，進而可得時，要使得有兩個零點，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】當時，單調(diào)遞增且，此時至多有一個零點， 若有三個零點，則時，函數(shù)有兩個零點；當時，，故；當時，要使有兩個零點，則， 所以，又，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C. 二、多選題9．下列說法正確的是(    )A．命題“，”的否定是“，”B．已知，則“”是“”的必要不充分條件C．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是D．，【答案】AB【分析】對于，根據(jù)存在性命題否定的方法可以判定；對于，先求解不等式，再進行判斷；對于，求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)利用對數(shù)函數(shù)的二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于，結(jié)合圖象可以進行判斷．【詳解】對于，命題“，”的否定是“，”，故A正確；對于，由得，∴“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，由得函數(shù)的定義域為，由在時單調(diào)遞增及在時單調(diào)遞增可知，的增區(qū)間為，故C錯誤；對于，作出函數(shù)和的圖象，∵，故在上，恒成立，∴，不成立，不正確；故選：AB．10．關(guān)于函數(shù)，正確的說法是（    ）A．有且僅有一個零點 B．的定義域為C．在單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】ABD【解析】先求得函數(shù)的定義域，由此判斷B選項的正確性；然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此判斷C選項的正確性；根據(jù)函數(shù)零點判斷A選項的正確性；根據(jù)關(guān)于點的對稱點是否在圖像上，判斷D選項的正確性.【詳解】函數(shù)的定義域為，B選項正確；，所以在和上遞減，C選項錯誤.令，解得，所以有且僅有一個零點，A選項正確.設點是函數(shù)圖象上的任意一點，則，且關(guān)于的對稱點為，而，且，所以點在函數(shù)的圖象上，所以D選項正確.故選：ABD【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性、零點、對稱中心等知識，屬于基礎題.11．已知，且，則（    ）A．的最小值為4 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】結(jié)合已知等式，運用基本不等式、配方法逐一判斷即可.【詳解】，當且僅當，即時取等號，則正確；，即，當且僅當，即時取等號，則B錯誤；，當，即時，，則C正確；，當且僅當時取等號，則D正確.故選：ACD12．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】證明，放縮可判斷A，由，放縮可判斷B，先證出，再放縮，根據(jù)再放縮即可判斷C，可得，令，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導數(shù)判斷單調(diào)性求函數(shù)最小值即可判斷D.【詳解】由，可得，，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，即，由知，A正確；由可得，可得（時取等號），因為，所以，B正確；時，，則，，C錯誤；，令，則，，在單調(diào)遞增，，，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：比較式子的的大小，要善于對已知條件變形，恰當變形可結(jié)合，，放縮后判斷AB選項，變形，再令，變形，是判斷D選項的關(guān)鍵，變形到此處，求導得最小值即可. 三、填空題13．已知，則______;【答案】3【分析】由指對數(shù)關(guān)系可得，再應用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡求目標式的值.【詳解】由題設，，則.故答案為：314．定義開區(qū)間的長度為．經(jīng)過估算，函數(shù)的零點屬于開區(qū)間____________（只要求寫出一個符合條件，且長度不超過的開區(qū)間）．【答案】（不唯一）【分析】利用函數(shù)的零點存在定理求解.【詳解】解：因為都是減函數(shù)，所以是減函數(shù)，又，即，所以函數(shù)在上有零點，且，故答案為（不唯一）15．對于任意，當時，有成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】變換得到，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到在上恒成立，計算得到答案.【詳解】，即設，則在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即恒成立，，故.故答案為：16．已知,則的最大值為__________．【答案】【分析】將代入中,展開化簡,即可得,再將代入中,結(jié)合即可得關(guān)于的等式,根據(jù)基本不等式求出最值即可.【詳解】解:由題知,所以有:,即: ,化簡可得,即,所以,因為,所以, 所以,當且僅當,即時取等,此時,所以的最大值為.故答案為: 四、解答題17．在中，，點D在邊上，.(1)若，求的值，(2)若，且點D是邊的中點，求的值.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；（2）作出輔助線，得到，由余弦定理求出，從而求得答案.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，所以，解得或，經(jīng)檢驗均符合要求；（2）在中，過D作的平行線交于E，因為點D是邊的中點，所以點E為AC的中點，在中，，又，所以.由余弦定理得：，所以，所以或（舍去），故.18．某中學組織學生進行地理知識競賽，隨機抽取500名學生的成績進行統(tǒng)計，將這500名學生成績分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若a，b，c成等差數(shù)列，且成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為120．(1)求a，b，c的值；(2)估計這500名學生成績的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(3)若用頻率估計概率，從該中學學生中抽取5人，成績在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望．【答案】(1)，，(2)中位數(shù)估計為73，平均數(shù)為(3) 【分析】（1）根據(jù)直方圖性質(zhì)總面積為1和題意列式計算；（2）直方圖平均數(shù)估算為各區(qū)間中點乘對應區(qū)間頻率之和；以中位數(shù)為界，直方圖左半部分面積等于右半部分面積；（3）根據(jù)二項分布性質(zhì)計算即可.【詳解】（1）依題意可得：又a，b，c成等差數(shù)列，且，解得：，．（2）設估計中位數(shù)為t，則，，解得：，即中位數(shù)估計為73，估計平均數(shù)為：．（3）由題意可知：成績在區(qū)間內(nèi)概率為，X的取值為0，1，2，3，4，5根據(jù)條件可知，，．19．已知數(shù)列和數(shù)列滿足：，其中.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）解方程組得與的通項公式，再解方程組可得、的通項公式.（2）求得的通項公式，運用分組求和、等差數(shù)列求和公式、錯位相減求和可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，① ，②①+②得：，∴是以為首項，公差為0的等差數(shù)列，∴，③①-②得：，∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列，∴，④∴由③④得：，.（2）∴，令∴③④由③-④得：∴∴.20．如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，．（Ⅰ）求的長度；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】(1) .(2) .【詳解】分析：（Ⅰ）取中點，連，得, 再由平面，得,進而得，即可求解的長； （Ⅱ）由題意，得出直線與平面所成的角，在直角中，即可求解．詳解：（Ⅰ）取中點，連，是等邊三角形，,  又  平面，平面，, ∴（Ⅱ）平面 ，平面∴平面⊥平面．作交于，則平面，交于，直線與平面所成的角．由題意得, 又， ，．點睛：本題考查了立體幾何中的線面位置關(guān)系的判定與證明，以及線面角的求解，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，明確角的構(gòu)成.同時利用線面角的定義確定角為直線與平面所成的角是解答的難點．21．已知橢圓過點.(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點，若經(jīng)過M，N兩點的直線與圓相切，求線段的最大值.【答案】(1)(2)2 【分析】（1）把點代入橢圓方程，可得，由，可求b的取值范圍；（2）由離心率和（1）中結(jié)論，求得橢圓方程，分類討論直線的位置，聯(lián)立方程組，利用弦長公式結(jié)合不等式的性質(zhì)求的最大值.【詳解】（1）∵在橢圓，∴，有，所以，又∵，所以，∵，∴；（2）由（1）可知，又，所以，橢圓.因為直線與相切，故.若直線的斜率不存在，不妨設直線為：，代入橢圓方程可得此時線段.若直線的斜率存在，可設直線的方程為：.由直線與相切，故，可得：.聯(lián)立得，所以，線段.又因為，所以.當且僅當，故當時，的最大值為2.綜上所述：當時，線段的最大值2.22．已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上有2個零點；(2)若函數(shù)有兩個極值點：，且．求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）記函數(shù)，再對求導，得出的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理即可證明；（2）由題意記，先證明，轉(zhuǎn)化為證明，再證明，設，對求導，求出的單調(diào)性，可證得當時，；當時，，設方程的兩個根為，由韋達定理即可證明.【詳解】（1）記函數(shù)，由，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又．根據(jù)零點存在定理，存在時，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．而，，所以函數(shù)在區(qū)間上有一個零點，在區(qū)間上有一個零點，故函數(shù)在區(qū)間上有2個零點．（2）由函數(shù)有兩個極值點，則時，方程有兩個不等實根．記，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．因此有極大值，且時，時，，于是，且．先證明，只要證，即證，設，則，因為，所以，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，于是，所以．再證明．先證當時，；當時，．設，則，于是，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，即當時，；當時，，于是，當時，；當時，，設方程的兩個根為，則，即方程的兩個根為，于是故．【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點和不等式的證明，考查了利用求導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)解題能力和分類討論思想的應用，第一問借助零點存在性定理證明函數(shù)在區(qū)間上有2個零點；第二問通過構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，最終達到證明不等式成立的目的，因此正確構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵. 

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