?2022-2023學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．已知隨機(jī)變量，且，，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正態(tài)分布的對稱性即可.
【詳解】隨機(jī)變量，且，，
，，
.
故選：A.
2．已知兩條異面直線a，b上分別有4個點和7個點，則這11個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為（????）
A．4 B．7 C．11 D．126
【答案】C
【分析】由題意，第1類，直線a分別與直線b上的7個點可以確定7個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的4個點可以確定4個不同的平面，再根據(jù)分類計數(shù)原理，即可求解．
【詳解】分兩類情況討論：
第1類，直線a分別與直線b上的7個點可以確定7個不同的平面；
第2類，直線b分別與直線a上的4個點可以確定4個不同的平面．
根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定7＋4＝11個不同的平面.
故選：C．
3．若的展開式中不含項，則實數(shù)m的值為（????）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)展開式中的項與項系數(shù)結(jié)合條件即得.
【詳解】，
二項式展開式的通項為：，
令時，；令時，，
所以的展開式中的系數(shù)為，
因為的展開式中不含項，
所以，解得：.
故選：D.
4．在4次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率是，則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率是，根據(jù)對立事件的概率求得事件A一次都不發(fā)生的概率，即可得，即可求得答案.
【詳解】設(shè)事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率是，由事件A至少發(fā)生次的概率為，
可知事件A一次都不發(fā)生的概率為，
由獨立事件同時發(fā)生的概率知，則，
故選：C ．
5．將邊長為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角，則點到邊的距離是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在三棱錐中，取線段的中點，連接、，由題意可得，推導(dǎo)出，并計算出線段的長，即為所求.
【詳解】翻折前，因為是邊長為的等邊三角形，是邊上的高線，則為的中點，
且，，且，
翻折后，則有，，
在三棱錐中，由二面角的定義可得，
如下圖所示：
??
取線段的中點，連接、，
因為，，，、平面，
所以，平面，
因為平面，所以，，
在中，，，則，
因為為的中點，則，且，
所以，，
因為，為的中點，所以，，
因此，點到的距離為.
故選：A.
6．某考生回答一道四選一的單項選擇考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.6，知道正確答案時，答對的概率為，而不知道正確答案時，猜對的概率為0.2，那么他答對題目的概率為（????）
A．0.8 B．0.68 C．0.6 D．0.2
【答案】B
【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式求解即可.
【詳解】解：設(shè)“考生答對題目”為事件A，“考生知道正確答案”為事件B，
則，，，
．
故選：B．
7．學(xué)校環(huán)保節(jié)活動期間，某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加了志愿者工作．將這四名學(xué)生分配到A，B，C三個不同的環(huán)保崗位，每個崗位至少分配一名學(xué)生，若甲要求不分配到B崗位，則不同的分配方案的種數(shù)為（????）
A．30 B．24 C．20 D．18
【答案】B
【分析】分兩種情況：一是有一個人與甲在同一個崗位，另一個是沒有人與甲在同一個崗位，再利用分類加法原理可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可得有兩種情況：
①有一個人與甲在同一個崗位，則有種分配方案；
②沒有人與甲在同一個崗位，則種分配方案；
所以由分類加法原理可知共有不同的分配方案，
故選：B
8．如圖，長方體中，，P為線段上的動點，則以下結(jié)論中不正確的是（????）
??
A．當(dāng)時，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為
B．當(dāng)時，若平面的法向量記為，則
C．當(dāng)時，二面角的余弦值為
D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示各點的坐標(biāo)，然后利用空間向量求解二面角、線面角的方法計算各選項即可.
【詳解】如下圖所示：
??
以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系；由，可知，
則，
設(shè)，，
選項A，當(dāng)時，，所以，
所以，平面ABCD的法向量為，
所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為：，故A正確；
選項B，當(dāng)時，，所以，
所以，
平面的法向量記為，由.,
由可知，，所以可取，
所以，故B正確；
選項C，當(dāng)時，，所以，
平面的法向量記為，
設(shè)平面的法向量記為，由.,
由可知，，所以可取，
所以二面角的余弦值為，
所以，故C錯誤；
選項D，若，，，
因為，
所以，所以，，
由，解得，所以，即，故D正確.
故選：C

二、多選題
9．在江蘇新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理共六門，學(xué)生根據(jù)高校要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門學(xué)科中選擇1門，再從化學(xué)、生物、政治、地理4門學(xué)科中選擇2門，選中的3門學(xué)科作為選擇性考試科目參加考試．則下列說法正確的是（????）
A．若任意選科，則選法總數(shù)為
B．若政治必選，則選法總數(shù)為
C．若化學(xué)、地理至少選一門，則選法總數(shù)為
D．若歷史必選，生物、政治至多選一門，則選法總數(shù)為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意利用分步計數(shù)原理與組合知識逐項分析判斷即可.
【詳解】在物理、歷史2門學(xué)科中選擇1門有種，在化學(xué)、生物、政治、地理4門學(xué)科中選擇2門有種，若任意選科，則選法總數(shù)為種，A正確；
若政治必選，還需從化學(xué)、生物、地理3門學(xué)科中選擇1門有，則選法總數(shù)為種，B錯誤；
若化學(xué)、地理至少選一門，兩門都選有1種，只選一門有，則選法總數(shù)為，C正確；
若歷史必選有種，生物、政治至多選一門有種，則選法總數(shù)為種，D正確.
故選：ACD.
10．設(shè)，則結(jié)論正確的是（????）
A． B．
C． D．，，，，，，中最小的是
【答案】ABD
【分析】賦值法可判斷A，B；求出的通項可判斷C，D.
【詳解】對于A，令，則①，故A正確；
對于B，令，則②，
則②減①可得：，則，故B正確；
對于C，的通項為，
令，則，
令，則，所以，故C錯誤；
對于D，的通項為，
所以當(dāng)時，即，而，
又，
故，，，，，，中最小的是，故D正確.
故選：ABD.
11．“信息熵”是信息論中的一個重要概念，設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說法中正確的是（????）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)且時，
C．若，則隨著n的減小而減小
D．當(dāng)時，隨著的增大而減小
【答案】ABC
【分析】根據(jù)給定的定義，逐項計算判斷作答.
【詳解】對于A，當(dāng)時，,，A正確；
對于B，當(dāng)時，，，B正確；
對于C，，，則隨著n的減小而減小，C正確；
對于D，當(dāng)時，，當(dāng)時，
，當(dāng)時，，兩者相等，D錯誤.
故選：ABC
12．在棱長為的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為的二面角，若折成的四面體的四個頂點均在球O的球面上，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．折成的四面體體積的最大值為
B．當(dāng)折成的四面體表面積最大時，
C．當(dāng)時，球O的體積為
D．當(dāng)時，球O的表面積為
【答案】BD
【分析】選項A，根據(jù)菱形的性質(zhì)，求得邊長，結(jié)合二面角的定義，表示出四面體的高，結(jié)合三棱錐的體積公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
選項B，由題意，只需求側(cè)面兩個全等三角形的面積最大值，利用面積公式求得夾角，根據(jù)余弦定理，可得答案；
選項C、D，根據(jù)外接球的性質(zhì)，確定球心，利用幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，求得半徑，可得答案.
【詳解】由題意，可作圖如下：
??
選項A，，，則為等邊三角形，
取的中點，則，同理可知，為等邊三角形，，
且，，
二面角的平面角為，
設(shè)點到平面的距離為，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即四面體的體積的最大值是，故A不正確；
選項B，，
，，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
此時四面體的表面積最大，最大值為，此時，
在中，由余弦定理可得，
，解得，故B正確；
選項C，設(shè)分別為的外心，則，
在平面內(nèi)過點作的垂線與過點作的垂線交于點，如下圖：
??
，，，平面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
同理可得平面，則為四面體的外接球球心，
連接，，，，，
，，
平面，平面，，
，即球心的半徑為，
球的體積為，故C不正確；
選項D，由C可得當(dāng)時，，，
平面，平面，，
，即球的半徑為，
球的表面積為，故D正確.
故選：BD.

三、填空題
13．若能被13整除，則m的最小正整數(shù)取值為 ．
【答案】12
【分析】由于，利用二項式定理展開可求得結(jié)果.
【詳解】

因為能被13整除，
所以是13的倍數(shù)時，能被13整除，
所以m的最小正整數(shù)取值為12，
故答案為：12

四、雙空題
14．隨機(jī)變量的分布列如表所示，設(shè)，則 ， ．


0
1




【答案】
【分析】先由的分布列求得，再利用期望與方差的性質(zhì)即可得解.
【詳解】依題意，得，

因為，
所以，.
故答案為：；.

五、填空題
15．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有 個．
【答案】21
【分析】首位為1，則后三位數(shù)字之和為5，然后分類排列即可求解.
【詳解】由題知后三位數(shù)字之和為5，
當(dāng)一個位置為5時有005，050，500，共3個;
當(dāng)兩個位置和為5時有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個;
當(dāng)三個位置和為5時有113 ， 131 ， 311 ， 122 ， 212，221，共6個;
所以一共有21個.
故答案為: 21.
16．如圖，三棱柱的各條棱長均為是2，側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°，側(cè)面底面ABC，點P在線段上，且平面平面，則 ．
??
【答案】
【分析】取中點，連接，，由已知可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面與平面的一個法向量，可求得結(jié)論．
【詳解】側(cè)面底面，則點在平面上的射影在直線上，
為直線與底面所成的角，
，三棱柱的各條棱長均為2，
是等邊三角形，
取中點，連接，，則，
∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，
所以面，
如圖所示，以為坐標(biāo)原點，建立的空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
設(shè)，則，
設(shè)平面的一個法向量為， 則，令，則，，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，
平面的一個法向量為，
平面平面，∴，
，，
．
故答案為：．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：取中點，證明，，兩兩垂直，是解決本題的關(guān)鍵.

六、解答題
17．有甲、乙兩只不透明的袋子，其中甲袋放有3個紅球，2個白球，乙袋放有2個紅球，3個白球，且所有球的大小和質(zhì)地均相同．
(1)先隨機(jī)取一只袋子，再從該袋中隨機(jī)取1個球，求取出的該球是白球的概率；
(2)先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從乙袋中任取2個球，求從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用條件概型和全概率公式求解即可；
（2）由全概率公式求解即可；
【詳解】（1）先隨機(jī)取一只袋子，記“取到的是甲袋”為事件，“取到的是乙袋”為事件，
再從袋中隨機(jī)取1個球，“取出的該球是白球”為事件B，
則事件B有兩類：取到的是甲袋且從中取出的是白球，
取到的是乙袋且從中取出的是白球，即，
因為與互斥，所以，
由概率的乘法公式得，
又因為，，，，
所有
先隨機(jī)取一只袋子，
再從該袋中隨機(jī)取1個球，取出的該球是白球的概率為
（2）記“從甲袋中取出2個紅球”為事件，“從甲袋中取出2個白球”為事件，“從甲袋中取出1個紅球和1個白球”為事件，“從乙袋中取出的2個球均為紅球”為事件D，
顯然，事件，，兩兩互斥，且正好為“從甲袋中任取2個球”的樣本空間，
由全概率公式得
，
先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從之乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率為
18．有5名男運(yùn)動員和3名女運(yùn)動員，從中選出5名運(yùn)動員，參加“籃球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”這5種不同的球類競賽，每名運(yùn)動員只能參加一個球類項目競賽，且每個球類項目競賽都要有人參加，求符合下列條件的選法種數(shù)．（用數(shù)字作答）
(1)有女運(yùn)動員參賽，且參賽的女運(yùn)動員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動員人數(shù)；
(2)女運(yùn)動員指定參加排球競賽，男運(yùn)動員必須參賽但不能參加足球競賽．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）（2）利用分步乘法計數(shù)原理與排列組合的知識，先選再排即可得解，注意考慮特殊運(yùn)動員的安排情況.
【詳解】（1）因為有女運(yùn)動員參賽，且參賽的女運(yùn)動員人數(shù)必須少于參賽的男運(yùn)動員人數(shù)，
所以選出的5名運(yùn)動員可以是2名女運(yùn)動員和3名男運(yùn)動員，也可以是1名女運(yùn)動員和4名男運(yùn)動員，
則有種情況，
再將選出來的運(yùn)動加分配到各個項目中，則有種方法，
所以符合要求的選法種數(shù)為.
（2）因為女運(yùn)動員指定參加排球競賽，男運(yùn)動員必須參賽但不能參加足球競賽，
所以先從除去該女運(yùn)動員和該男運(yùn)動員的6人中任選3人，有種情況，
再安排男運(yùn)動員參賽的項目，有種情況，
最后選出的3人對余下的3個項目進(jìn)行全排列，有種情況，
則符合要求的選法種數(shù)為.
19．已知在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．
(1)求展開式中的有理項；
(2)求展開式中系數(shù)最大的項．
【答案】(1)，，
(2)，

【分析】（1）利用二項式展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列得出，然后利用通項公式即可求出有理項；
（2）由（1）設(shè)展開式中第項的系數(shù)最大，則滿足，求解不等式組即可.
【詳解】（1）在的展開式中，
前三項的系數(shù)分別依次為，，，
前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，
整理得，解得或（不合題意舍去），
則展開式中的通項為：
，
要求有理項，則需為整數(shù)，即，4，8，
則有理項分別為：，
，.
（2）由（1）知，此二項式為，
設(shè)展開式中第項的系數(shù)最大，
則，即，解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以第項和第項的系數(shù)同時達(dá)到最大，
故展開式中系數(shù)最大的項為，.
20．如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．
??
(1)求證：；
(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；
(3)線段PA上是否存在點E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)存在；.

【分析】（1）取AB的中點為O，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理作答.
（2）以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦作答.
（3）確定點E的位置，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理判斷作答.
【詳解】（1）取AB的中點為O，連接DO，PO，由，得，
又四邊形ABCD為直角梯形，且，，，，
則四邊形OBCD為正方形，，又，平面POD，
因此平面POD，又平面POD，
所以.
??
（2）且平面PAB，又平面平面ABCD，且平面平面，
則平面ABCD，平面，有，即有OA，OD，OP兩兩垂直，
以點O為原點，OD、OA、OP分別為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，
由等腰直角，，，得，
則，
即，平面PAB的一個法向量為，設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，
因此，即，
所以所求直線PC與平面ABP所成角的余弦值為.
（3）線段PA上存在點E，且當(dāng)時，使得平面EBD.
由，得，則，，
設(shè)平面EBD的法向量為，則，令，得，
又，則，而平面EBD，因此平面EBD，
所以點E滿足時，有平面EBD．
21．某校為了普及科普知識，增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，在全校組織了一次科普知識競賽．經(jīng)過初賽、復(fù)賽，甲、乙兩個代表隊（每隊3人）進(jìn)入了決賽．規(guī)定每人回答一個問題，答對者為本隊贏得10分，答錯者得0分．假設(shè)甲隊中3人答對的概率分別為，，，乙隊中每人答對的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊的總得分．
(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)求甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率．
【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)

【分析】（1）由題意知的所有可能取值為0，10，20，30，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（2）記“甲隊得30分，乙隊得0分”為事件A，“甲隊得20分，乙隊得10分”為事件B，根據(jù)A，B為互斥事件，求得和，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）解：由題意知的所有可能取值為0，10，20，30，
可得，
，
，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為

0
10
20
30
P




所以數(shù)學(xué)期望.
（2）解：記“甲隊得30分，乙隊得0分”為事件A，“甲隊得20分，乙隊得10分”為事件B，則A，B為互斥事件，
可得，
，
則，
所以甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率為.
22．如圖，三角形ABC是圓柱底面圓的內(nèi)接三角形，PA為圓柱的母線，M，N分別是AC和PA的中點，平面平面PAB，．
??
(1)求證：；
(2)求三棱錐和圓柱的體積之比；
(3)求平面PBC與平面MBN所成的銳二面角的大?。?br /> 【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面PBC，結(jié)合線面垂直的判斷定理和性質(zhì)分析證明；
（2）根據(jù)體積公式運(yùn)算求解；
（3）建系，利用空間向量求二面角的大小.
【詳解】（1）因為PA為圓柱的母線，則平面ABC，平面ABC，可得，
取PB邊的中點為D，連接AD，因為，則，
平面PAB，且平面平面PAB，平面平面，
所以平面PBC，
且平面PBC，則
，且AD，平面PAB，
所以平面PAB，
且平面PAB，所以.
（2）因為平面ABC，則，
又因為，則為底面圓的直徑，則，
所以
（3）以B點作為坐標(biāo)原點，直線BA、BC分別為x、y軸，過點B作平面ABC的垂線，并以此垂線作為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
???
則，，，，，，
可得，，，．
設(shè)平面PBC和平面MBN的法向量分別為，，
可得，取，則，，即
可得，取，則，，即
設(shè)平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為，
則，
又因為，所以，即平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為.

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