2022-2023學(xué)年海南省瓊海市嘉積中學(xué)高二下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)虛部的概念求解即可.【詳解】復(fù)數(shù),故的虛部為.故選：B.2．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，結(jié)合集合的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，根據(jù)集合交集的運(yùn)算，可得.故選：A.3．已知為等比數(shù)列，是方程的兩根，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)韋達(dá)定理判斷、的正負(fù)，從而求出求出的正負(fù)，并求出，根據(jù)即可求出﹒【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>是方程的兩根，所以，，所以，，又為等比數(shù)列，所以，，則﹒故選：A.4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)l與太陽(yáng)天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)等于表高與太陽(yáng)天頂距的正切值的乘積，即．若對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，“晷影長(zhǎng)”分別是“表高”的和，相應(yīng)的太陽(yáng)天頂距為和，則的值為（    ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】依題意可得，，利用兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】由題設(shè)，“晷影長(zhǎng)”分別是“表高”的倍和倍時(shí)，，，所以.故選：D．5．已知直線平面，則“直線”是“”的（    ）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】結(jié)合空間線面位置關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷．【詳解】若直線平面， ，則直線平面或；若直線平面，直線，則，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．6．對(duì)于數(shù)據(jù)組，如果由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的對(duì)應(yīng)自變量的估計(jì)值是，那么將稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的殘差．某商場(chǎng)為了給一種新商品進(jìn)行合理定價(jià)，將該商品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下所示數(shù)據(jù)：單價(jià)x/元8.28.48.68.8銷量y/件848378m根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到銷量y（單位：件）與單價(jià)x（單位：元）之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)計(jì)算，樣本點(diǎn)處的殘差為1，則（    ）．A．76 B．75 C．74 D．73【答案】B【分析】利用樣本點(diǎn)處的殘差為1，求得250，再由，求得，進(jìn)而可得答案.【詳解】由條件知當(dāng)時(shí)，，代入，解得，于是，又，所以，即，解得，故選：B．7．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，得到不等式在恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)根的分布，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在恒成立，所以即解得：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用二次函數(shù)根的分布求參數(shù)取值范圍，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要充分利用二次函數(shù)的圖象特征，把恒成立問題轉(zhuǎn)化成只要研究?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值正負(fù)問題.8．設(shè)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B在橢圓上且滿足，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)及橢圓對(duì)稱性，若下頂點(diǎn)為，則直線必過下頂點(diǎn)，且，進(jìn)而有，設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量關(guān)系的坐標(biāo)表示求坐標(biāo)，再由點(diǎn)在橢圓上得到參數(shù)關(guān)系，即可求離心率.【詳解】由且A為橢圓的上頂點(diǎn)，則，，若下頂點(diǎn)為，根據(jù)橢圓對(duì)稱性知：直線必過下頂點(diǎn)，且，故不可能為下頂點(diǎn)，  所以，如上圖有，而，若，則，故，即在橢圓上，所以，可得，而，則.故答案為：D 二、多選題9．對(duì)于的展開式，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．展開式共有8項(xiàng)B．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是70C．展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0D．展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64【答案】BC【分析】利用二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).【詳解】的展開式共有9項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；令，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故C正確；展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知圓：與圓：外切，則的值可以為（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由兩圓外切可得圓心距等于半徑之和，從而可得答案.【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，因?yàn)閳A：與圓：外切，所以，即，解得或.故選：AC.11．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量，且，則C．一組數(shù)據(jù)11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位數(shù)為19D．若，，，則事件與事件相互獨(dú)立【答案】CD【分析】對(duì)A，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求解即可；對(duì)B，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可；對(duì)C，根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷即可；對(duì)D，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，結(jié)合事件與事件相互獨(dú)立事件滿足判斷即可.【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若隨機(jī)變量，且，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，數(shù)據(jù)組共10個(gè)數(shù)據(jù)，故第80百分位數(shù)為從小到大第8，9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故C正確；對(duì)D，，故，故事件與事件相互獨(dú)立，故D正確；故選：CD12．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.B．命題“”的否定是“”C．已知.若p假q真，則D．若關(guān)于的方程有一正一負(fù)兩個(gè)根，則【答案】CD【分析】對(duì)于A，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可；對(duì)于B，利用命題的否定解決；對(duì)于C，利用命題的否定，結(jié)合二次不等式恒成立和基本不等式即可；對(duì)于D，利用二次方程根的分布即可.【詳解】對(duì)于A，由解得或，即的定義域?yàn)?/span>.設(shè)，則它在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，命題“”的否定是“”，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若p假，則為真，所以，解得.若q真,則，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以.從而若p假q真，則，所以C正確；對(duì)于D，若關(guān)于的方程有一正一負(fù)兩個(gè)根，則，解得，所以D正確；故選：CD 三、填空題13．函數(shù)在取得極值，則      ．【答案】/【分析】由在取得極值，得，求出的導(dǎo)數(shù)，代入求解，再檢驗(yàn)即可．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在取得極值，所以，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)取得極大值，故答案為：．14．在如圖所示的三角形邊上的9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，可構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)是          .【答案】69【分析】先求出從9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)的全部組合數(shù)為，然后減去三角形三個(gè)邊上三點(diǎn)共線的組合數(shù)，即可得出答案.【詳解】從9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)的全部組合數(shù)為，三角形三個(gè)邊上三點(diǎn)共線的組合數(shù)為，所以能構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為.故答案為：.15．設(shè)隨機(jī)變量的分布列，則      .【答案】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，可得，解得，因此.故答案為：. 四、雙空題16．若隨機(jī)變量X～N(10，σ2)，P(X＞12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，則m＋n＝        ，的最小值為        ．【答案】          /【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得到，再變換，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，，得，，故，且，故當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最小值為.故答案為：；. 五、解答題17．?dāng)?shù)列中，，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可得答案；（2）先找出數(shù)列正負(fù)的分界線，分類討論，去掉絕對(duì)值，把轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以，.（2）令得，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上可得，18．如圖所示，有兩個(gè)興趣小組同時(shí)測(cè)量一個(gè)小區(qū)內(nèi)的假山高度，已知該小區(qū)每層樓高4.(1)興趣小組1借助測(cè)角儀進(jìn)行測(cè)量，在假山水平面C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，在六樓A點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的俯角為45°，求假山的高度（精確到0.1）；(2)興趣小組2借助測(cè)距儀進(jìn)行測(cè)量，可測(cè)得AB=22，BC=16，求假山的高度（精確到0.1）.附：.【答案】(1)4.2m(2)4.3m 【分析】（1）令假山的高度為.根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求得，則，再根據(jù)即可求解.【詳解】（1）令假山的高度為.由題意可知，，則，根據(jù)正弦定理可得，，即，所以，而，所以故假山的高度大約為4.2m.（2）根據(jù)余弦定理，可得，則，所以故假山的高度大約為4.3m.19．旅游承載著人們對(duì)美好生活的向往.隨著近些年人們收入和消費(fèi)水平不斷提高，對(duì)品質(zhì)生活的需求也日益升級(jí)，旅游市場(chǎng)開啟了快速增長(zhǎng)的時(shí)代.某旅游景區(qū)為吸引旅客，提供了?兩條路線方案.該景區(qū)為進(jìn)一步了解旅客對(duì)這套路線的選擇情況和滿意度評(píng)價(jià)（“好”或“一般”），對(duì)300名的旅客的路線選擇和評(píng)價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表： 路線路線合計(jì)好一般好一般男10205535120女90302040180合計(jì)100507575300(1)根據(jù)收集的信息，完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)，兩條路線的選擇與性別有關(guān)？性別路線合計(jì)男   女   合計(jì)   (2)某人計(jì)劃到該景區(qū)旅游，預(yù)先在網(wǎng)上了解兩條路線的評(píng)價(jià)，假設(shè)他分別看了兩條路線各三條評(píng)價(jià)（評(píng)價(jià)好或一般的可能性以前面統(tǒng)計(jì)的比例為參考），若評(píng)價(jià)為“好”的計(jì)5分，評(píng)價(jià)為“一般”的計(jì)2分，以各條路線得分的期望值作為參考，那么你認(rèn)為這個(gè)人會(huì)選擇哪一條線路.請(qǐng)用計(jì)算說(shuō)明理由.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能認(rèn)為對(duì)A，兩條路線的選擇與性別有關(guān).(2)選A線路，理由見解析. 【分析】（1）先填表，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)求解即可；（2）的可能取值為6,9,12,15，分別求出概率，找到期望即可.【詳解】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如圖所示：性別路線合計(jì)男3090120女12060180合計(jì)150150300所以，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為對(duì)A，兩條路線的選擇與性別有關(guān).（2）設(shè)兩條線路的得分分別為，則的可能取值為6,9,12,15.，因?yàn)?/span>,所以選擇A路線.20．已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點(diǎn)，現(xiàn)在將沿著CD進(jìn)行翻折，使得翻折后S點(diǎn)在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點(diǎn)，如圖乙所示.(1)證明：平面SBC；(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取SB的中點(diǎn)為N，連接MN，CN，先證MNCD為平行四邊形，可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）易得平面SBC的法向量，根據(jù)平面法向量的求法求出平面ADS的法向量，代入向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：取SB的中點(diǎn)為N，連接MN，CN，如圖所示：在圖甲中，∵C，D分別為SB，SA上的中點(diǎn)，∴，，又∵M，N分別為SA，SB的中點(diǎn)，∴，，∴MNCD為平行四邊形，∴，又∵平面SBC，平面SBC，∴平面SBC.（2）∵，∴，，，∴平面SBC，又平面ABCD，平面平面ABCD，因?yàn)?/span>S點(diǎn)在底面的投影H在線段BC上，∴平面ABCD，∴.SC與平面ABCD所成角的平面角為，，過H作，則HP，HB，HS兩兩互相垂直，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，易知為平面SBC的一個(gè)法向量；設(shè)為平面ADS的一個(gè)法向量，則有，可取，設(shè)平面ADS與平面SBC所成銳二面角的大小為，則，所以平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值為.21．已知點(diǎn)在軸右側(cè)，點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，直線、的斜率之積是．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若拋物線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)為 【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，利用斜率公式結(jié)合已知條件化簡(jiǎn)可得出點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)、，將拋物線的方程與曲線聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線的方程并化簡(jiǎn)，即可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)橹本€、的斜率之積是，所以，．整理可得，因此，點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）解：設(shè)、，由得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?/span>，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，直線的方程為，即，所以，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.22．已知函數(shù)，（其中）．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)于任意，都有成立，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為(2) 【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，結(jié)合不等式的恒成立問題可得答案.【詳解】（1）若，則，，令，可得或，令，可得，所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)閷?duì)于任意，都有成立，所以對(duì)于任意，都有成立,即對(duì)于任意，；因?yàn)?/span>，所以對(duì)于任意，.設(shè)，其中，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，因此在單調(diào)遞增，所以，所以，即，故的取值范圍為. 

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