2022-2023學(xué)年海南省瓊海市嘉積中學(xué)高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，那么（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求解一元二次不等式從而求解集合，再根據(jù)并集的定義求解.【詳解】由，得，結(jié)合，可知.故選：B.2．已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【分析】計算，根據(jù)純虛數(shù)的概念，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算，可得結(jié)果.【詳解】為純虛數(shù)，，，故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)中純虛數(shù)的理解以及復(fù)數(shù)的模的計算，審清題干，細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇偶性和單調(diào)性逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，即為奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：因為是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤，對于選項C：是偶函數(shù)，且當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于選項D：是偶函數(shù)，注意到，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：C.4．已知函數(shù)，則（    ）A．3 B．1 C．2 D．-2【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)運算直接運算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：C.5．某單位為了落實“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標(biāo)，隨機(jī)選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，由散點圖可知用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：℃）之間具有相關(guān)關(guān)系，已知，，由數(shù)據(jù)得線性回歸方程：，并預(yù)測當(dāng)氣溫是5℃的時候用電量為（    ）A．40 B．50 C．60 D．70【答案】B【分析】根據(jù)題意可知樣本中心為，又回歸方程必過樣本中心可知，，再將代入回歸方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，，所以樣本中心為，由回歸方程必過樣本中心可知，所以，得，所以，當(dāng)時，.故選：B.6．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足（其中），則的最小值為（    ）.A．6 B．16 C． D．2【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入化簡可得，則，化簡后利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得，則，因為，所以（），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為2，故選：D7．某同學(xué)買了一打一次性錫紙烘焙模具，如圖，模具為圓臺狀的托盤，高為，下底部直徑為，上面開口圓的直徑為，若該同學(xué)用此模具烘焙一個蛋糕，烘焙成型后，模具開口圓上方的蛋糕膨脹，膨脹部分視為半球形，半球底面大小與模具開口圓大小相同（烘焙前后模具形狀大小不發(fā)生變化，模具厚度不計），則烘焙成型后蛋糕的總體積約為（    ）  A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可知烘焙成型后蛋糕的總體積等于圓臺的體積加上半球的體積即可【詳解】由題意可知烘焙成型后蛋糕是由一個圓臺和一個半球組成的，且圓臺上、下底面半徑分別為20mm，30mm，高為20mm，半球的半徑為30mm，所以烘焙成型后蛋糕的總體積為，故選：B8．命題“”為假命題，則命題成立的充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件知，對，恒成立，從而求出的取值范圍，再根據(jù)選項即可得出結(jié)果.【詳解】因為命題“”為假命題，所以，對，恒成立，當(dāng)時，在上恒成立，所以滿足條件，當(dāng)時，令，對稱軸，且，所以，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，顯然有不恒成立，故對，恒成立時，，所以則命題成立的充分不必要條件是選項C.故選：C. 二、多選題9．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】對于AC，利用不等式的性質(zhì)分析判斷，對于B，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析，對于D，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于A，因為，所以由不等的性質(zhì)可得，所以A正確，對于B，因為在上遞減，且，所以，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，得，所以C錯誤，對于D，因為在上遞增，，所以，所以D正確，故選：AD10．已知圓和圓相交于A，B兩點，下列說法正確的是（    ）A．圓M的圓心為，半徑為1B．直線的方程為C．線段的長為D．取圓M上的點，則的最大值為36【答案】BD【分析】A選項，將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓心和半徑，A正確；B選項，兩圓相減得到直線的方程；C選項，由垂徑定理得到線段的長；D選項，設(shè)，利用三角恒等變換得到最值.【詳解】A選項，變形為，圓心為，半徑為1，A錯誤；B選項，圓和圓相減得，故直線的方程為，B正確；C選項，由B可知，直線的方程為，圓心到的距離為，故線段的長為，C錯誤；D選項，由題意得，設(shè)，則，其中，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為，D正確.故選：BD11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（    ）  A．的最小正周期是B．的值為C．若為偶函數(shù)，則最小值為D．在上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的最小周期，可判定A錯誤；結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，求得函數(shù)，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，且函數(shù)的最小正周期為，所以A錯誤；又由，所以函數(shù)，因為，所以該函數(shù)的一條對稱軸為，則，即，可得，解得，所以，所以，所以B正確；若為偶函數(shù)，即為偶數(shù)，所以，解得，當(dāng)時，取得最小時，最小值為，所以C正確；令，解得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以D錯誤.故選：BC.12．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)（其中），則下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)關(guān)于點中心對稱B．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)C．當(dāng)時，函數(shù)恰有2個不同的零點D．當(dāng)時，函數(shù)恰有3個不同的零點【答案】BCD【分析】利用遞推關(guān)系得，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)易得，即可判斷A、B；對于的零點，轉(zhuǎn)化為研究與的交點，數(shù)形結(jié)合法判斷零點的個數(shù)即可判斷C、D.【詳解】由，即，則關(guān)于對稱，A錯；又是定義在上的奇函數(shù)，則，而，則，故，所以，即是以4為周期的周期函數(shù)，B對；當(dāng)，對于的零點，只需研究與的交點，若，則，顯然，，且在上遞增，上遞減，結(jié)合對稱軸、周期性、奇函數(shù)，的圖象及部分圖象如下：  由圖知：與有且僅有2個交點，即恰有2個不同的零點，C對；若，則，如下圖示，  由圖知：與有且僅有3個交點，即恰有3個不同的零點，D對；故選：BCD 三、填空題13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則          .【答案】-1【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，，結(jié)合條件求的值.【詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得，，又當(dāng)時，，所以，所以故答案為：-1.14．已知平面向量，，若，則        .【答案】/【分析】根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)表示即可計算出.【詳解】利用兩向量平行可知，，解得.故答案為：15．2023年國家公務(wù)員考試筆試于1月8日結(jié)束，公共科目包括行政職業(yè)能力測驗和申論兩科，滿分均為100分，行政職業(yè)能力測驗中，考生成績X服從正態(tài)分．若，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，恰有2名考生的成績高于85的概率為      ．【答案】/【分析】先根據(jù)正態(tài)分布求考生的成績高于85的概率，再根據(jù)獨立事件求恰有2名考生的成績高于85的概率即可.【詳解】由正態(tài)分布可得：考生的成績高于85的概率，所以恰有2名考生的成績高于85的概率.故答案為：.16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且傾斜角為的直線與的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若，則的離心率為      .【答案】【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)出直線的方程，之后與雙曲線的漸近線聯(lián)立，分別求出A，B兩點的坐標(biāo)，之后根據(jù)題中條件，得出A是的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，得出其坐標(biāo)間的關(guān)系，借助雙曲線中的關(guān)系，求得該雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)直線的方程為，兩條漸近線的方程分別為和，分別聯(lián)立方程組，求得，由，為的中點得A是的中點，所以有，整理得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，可以的到，故答案為：. 四、解答題17．等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】(1)運用等差中項求出 ，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出 ；(2)根據(jù)條件求出 的通項公式，再分組求和.【詳解】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，， ， 解得， ；（2）， . ；綜上，18．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知，，且的面積為.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)面積公式和余弦定理運算求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果求得，進(jìn)而利用余弦定理求，再結(jié)合倍角公式運算求解.【詳解】（1）因為，則角為鈍角，所以，因為，解得，又因為，即，所以.（2）由（1）可得，解得或（舍去），可得，所以.19．某學(xué)校長期堅持以人為本，實施素質(zhì)教育，每年都會在校文化節(jié)期間舉行詩詞知識和環(huán)保知識兩項競賽，競賽成績分為五個等級，等級分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.設(shè)該校某班學(xué)生兩項知識競賽都參加，且兩項知識競賽的成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中環(huán)保知識競賽的成績?yōu)?/span>A的學(xué)生有4人.  (1)求該班學(xué)生詩詞知識競賽成績?yōu)?/span>A的人數(shù)以及詩詞知識競賽的平均分；(2)若該班兩項競賽成績總得分超過8分的學(xué)生共有7人，其中有3人10分，4人9分，從這7人中隨機(jī)抽取三人，記三人的成績之和為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)詩詞知識競賽成績?yōu)?/span>A的人數(shù)為人，詩詞知識競賽的平均分分(2)分布列見詳解， 【分析】（1）根據(jù)環(huán)保知識競賽的成績?yōu)?/span>A的學(xué)生有4人，頻率是0.08，可求得班級總?cè)藬?shù)，根據(jù)詩詞知識競賽中A的頻率，即可求得詩詞知識競賽成績?yōu)?/span>A的人數(shù)，代入平均數(shù)公式，即可求得詩詞知識競賽的平均分；（2）由題意可知X的所有取值為27，28，29，30，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【詳解】（1）由題意可知：環(huán)保知識競賽的成績?yōu)?/span>A的頻率為，則該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)為人，因為詩詞知識競賽的成績?yōu)?/span>A的頻率為，可得詩詞知識競賽成績?yōu)?/span>A的人數(shù)為人，詩詞知識競賽的平均分（分）.（2）由題意可知：的可能取值為30，29，28，27，則有：，，可得的分布列為30292827所以的數(shù)學(xué)期望.20．如圖所示，在梯形CDEF中，四邊形ABCD為正方形，且，將沿著線段AD折起，同時將沿著線段BC折起，使得E，F兩點重合為點P．求證：平面平面ABCD；求直線PB與平面PCD的所成角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】利用折疊前后AD與AB，AE的垂直關(guān)系不變?nèi)菀鬃C明；取AB中點O，利用的結(jié)果，容易建立空間坐標(biāo)系，得到各點坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量，法向量，代入公式計算即可．【詳解】證明：四邊形ABCD為正方形，，，，平面PAB，平面平面PAB；以AB中點O為原點建立空間坐標(biāo)系如圖，，，，0，，，，，，，設(shè)是平面PCD的一個法向量，則，，取，則，設(shè)直線PB與平面PCD的所成角為，則，故直線PB與平面PCD的所成角的正弦值為：．【點睛】此題考查了線面垂直，斜線與平面所成角等，難度適中．利用平面與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵點：（1）通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題，（2）證明平面與平面垂直，只要在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個平面內(nèi)的直線垂直即可．求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．21．已知橢圓：的右焦點在直線上，分別為的左、右頂點，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是否存在過點的直線交于，兩點，使得直線，的斜率之和等于-1?若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，其方程為： 【分析】（1）先求出點的坐標(biāo)，得出橢圓的，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可出答案.（2）設(shè)直線的方程為：，,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由題意，將韋達(dá)定理代入可出答案.【詳解】（1）設(shè)右焦點直線與軸的交點為，所以橢圓右焦點的坐標(biāo)為故在橢圓中 ，由題意，結(jié)合，則所以橢圓的方程為：（2）當(dāng)直線的斜率為0時，顯然不滿足條件當(dāng)直線的傾斜角不為時，設(shè)直線的方程為：，由，可得由題意則由化簡可得，由，即故存在滿足條件的直線，直線的方程為：  22．已知函數(shù)，（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)，再求出的值，由直線方程的點斜式寫出切線方程并化簡，即可得結(jié)果.(2)將不等式進(jìn)行化簡，移項，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，最后證得結(jié)果.【詳解】（1），在點處的切線方程為，（2）當(dāng)時，令，，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以.【點睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的定義和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，在解題的過程中，注意曲線在某個點處的切線方程的求解步驟，以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立的解題思路，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，通過最值所滿足的條件，求得結(jié)果. 

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