2022-2023學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．歡歡同學(xué)從4本漫畫書和5本繪本書中各任選1本出來參加義賣活動(dòng)，則不同的選法共有（    ）A．7種 B．9種 C．12種 D．20種【答案】D【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法共有種.故選：D.2．某物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為，則在這段時(shí)間內(nèi)，該物體的平均速度為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由位移與時(shí)間之間的關(guān)系為，根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，可得在這段時(shí)間內(nèi)，該物體的平均速度為：故選：B.3．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為，則的分布列為（    ）A． X12P B． X01P C．  X012P                         D．   X012P               【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列，即可寫出答案.【詳解】因?yàn)槊棵恩蛔优紨?shù)點(diǎn)朝上的概率為，且相互獨(dú)立，的取值可能為0，1，2.，，，所以的分布列為：XP故選：C.4．一排有7個(gè)空座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（    ）A．120種 B．60種 C．40種 D．20種【答案】B【分析】根據(jù)題意，由插空法即可得到結(jié)果.【詳解】首先拿出4個(gè)空座位，則四個(gè)空座位之間一共有5個(gè)空位置，包括兩端，從5個(gè)空位置中選出3個(gè)空位置，即，然后3人全排列為,所以不同的坐法共有種，故選:B5．某校有，等五名高三年級(jí)學(xué)生報(bào)名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試，每人限報(bào)一所高校，每所高校均有人報(bào)考，其中，兩名學(xué)生相約報(bào)考同一所高校，則這五名學(xué)生不同的報(bào)考方法共有（    ）A．9種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】D【分析】分報(bào)考三所高校的人數(shù)為3:1:1和報(bào)考三所高校的人數(shù)為2:2:1兩種情況求解，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果.【詳解】若報(bào)考三所高校的人數(shù)為3:1:1，則不同的報(bào)考方法有種.若報(bào)考三所高校的人數(shù)為2:2:1，則不同的報(bào)考方法有種.故這五名學(xué)生不同的報(bào)考方法共有36種.故選：D6．被3除的余數(shù)為（    ）A．2 B．1 C．0 D．不確定【答案】A【分析】由于，利用二項(xiàng)式定理將其展開，由于246被3整除，從而可求出結(jié)果.【詳解】.因?yàn)?/span>246被3整除，所以被3除的余數(shù)為.故選：A7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致如圖所示，則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）  A．無極大值點(diǎn) B．有2個(gè)零點(diǎn)C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】D【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)，可得出的單調(diào)性和極值可判斷ACD；的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不能準(zhǔn)確判斷，可判斷B.【詳解】如圖，繪制函數(shù)的圖象，可知當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由圖可知，,，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不能準(zhǔn)確判斷.故選：D.  8．已知集合，集合滿足，且中恰有三個(gè)元素，其中一個(gè)元素是另外兩個(gè)元素的算術(shù)平均數(shù)，則滿足條件的共有（    ）A．380個(gè) B．180個(gè) C．90個(gè) D．45個(gè)【答案】C【分析】設(shè)，，，則由題意可得，然后分，同為奇數(shù)或同為偶數(shù)兩種情況討論求解即可.【詳解】設(shè)，，，且是與的算術(shù)平均數(shù)，則，所以，同為奇數(shù)或同為偶數(shù).當(dāng)，同為奇數(shù)時(shí)，則必存在唯一確定的數(shù)，此時(shí)滿足條件的共有個(gè).當(dāng)，同為偶數(shù)時(shí)，則也必存在唯一確定的數(shù)，此時(shí)滿足條件的共有個(gè).故滿足條件的共有90個(gè).故選：C 二、多選題9．隨機(jī)變量的分布列為234若，則（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由分布列的性質(zhì)列方程可求出，再由方差的公式可求出.【詳解】由題可知，解得，則.故選：AD.10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)C．若為增函數(shù)，則 D．若為增函數(shù)，則【答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用零點(diǎn)的定義直接求解即可，對(duì)于B，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由，可得有兩個(gè)零點(diǎn)，再由極值點(diǎn)的定義判斷，對(duì)于C，由于導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，所以其不可能為增函數(shù)，對(duì)于D，由判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，則或.由，可知有兩個(gè)非零實(shí)根，故有3個(gè)零點(diǎn)，A正確.由，得.因?yàn)?/span>，所以恰有2個(gè)零點(diǎn)，且在這兩個(gè)零點(diǎn)周圍的符號(hào)發(fā)生改變，所以有2個(gè)極值點(diǎn)，B正確.因?yàn)?/span>是二次函數(shù)，所以不可能是增函數(shù)，C不正確.若為增函數(shù)，則恒成立，則，解得，D正確.故選：ABD11．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】令，求得，可判定A正確；化簡(jiǎn)二項(xiàng)式為，求得其展開式為，結(jié)合選項(xiàng)B、C、D，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，令，可得，所以A正確；又由，根據(jù)二項(xiàng)展開式可得：，由，可得，所以B不正確；由，可得，所以C正確；由，可得，所以D正確.故選：ACD.12．已知，且恒成立，則k的值可以是（    ）A．－2 B．0 C．2 D．4【答案】ABC【分析】先對(duì)不等式變形得，發(fā)現(xiàn)是與雙變量之間的關(guān)系，然后再根據(jù)已知的等式把雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，從而構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最小值即可得出結(jié)果.【詳解】由知，，，令，則，令，則，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以存在使得，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以可取，故選：ABC. 三、填空題13．已知隨機(jī)變量的期望為3，則      .【答案】【分析】根據(jù)滿足線性關(guān)系的變量間的期望的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意知，所以.故答案為：.14．設(shè)，為兩個(gè)事件，若事件和事件同時(shí)發(fā)生的概率為，在事件發(fā)生的前提下，事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為      .【答案】/ 【分析】根據(jù)條件概率概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，，因?yàn)?/span>，所以.故答案為： 四、雙空題15．展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024，則      ，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為      .（用數(shù)字作答）【答案】     1     210【分析】令，由題意可得，解方程即可求出；求出的通項(xiàng)，令和，即可求出展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】令，由題意可得，解得.，則的通項(xiàng)為：，令，得，令，得，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：1；210 五、填空題16．已知直線與曲線相切，則的最小值是      ．【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，得到方程組，得到，故，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求出最小值，得到答案.【詳解】直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，又，，故，將代入得，，解得，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時(shí)最小值，故，故的最小值為-1.故答案為：-1【點(diǎn)睛】當(dāng)已知切點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可得到切線的斜率，再利用求出切線方程；當(dāng)不知道切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合切點(diǎn)既在函數(shù)圖象上，又在切線方程上，列出等式，進(jìn)行求解. 六、解答題17．已知的展開式中第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.(1)求的值；(2)求展開式中，含項(xiàng)的系數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題設(shè)知，根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果；（2）寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，即知含項(xiàng)的，進(jìn)而求其系數(shù).【詳解】（1）由展開式中第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，則.（2）由（1）知：原二項(xiàng)式為，則，故時(shí)，，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.18．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最值.【答案】(1)(2)最大值為8，最小值為 【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線方程為求解；.（2）由（1）得到，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】（1）解：，又函數(shù)的圖象在處的切線方程為，所以，解得.（2）由（1）可知，令，解得，或.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故的增區(qū)間為和的減區(qū)間為因?yàn)?/span>，所以在上的最大值為8，最小值為.19．甲箱子中有4個(gè)黑球、3個(gè)白球，乙箱子中有4個(gè)黑球、5個(gè)白球，各球除顏色外沒有其他差異．(1)從甲、乙兩個(gè)箱子中各任取1個(gè)球，求至少有1個(gè)白球被取出的概率；(2)從甲箱子中任取1個(gè)球放入乙箱子中，再從乙箱子中任取1個(gè)球，求取出的球是白球的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意分為：甲箱子摸出白球且乙箱子摸出黑球、甲箱子摸出黑球且乙箱子摸出白球、甲箱子摸出白球且乙箱子摸出白球三類情況，結(jié)合互斥事件的概率加法公式，即可求解；（2）由題意分為：甲箱子中摸出的是黑球和甲箱子中摸出的是白球，兩種情況，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可分為三類：當(dāng)甲箱子摸出白球且乙箱子摸出黑球時(shí)，可得；當(dāng)甲箱子摸出黑球且乙箱子摸出白球時(shí)，可得；當(dāng)甲箱子摸出白球且乙箱子摸出白球時(shí)，可得，由互斥事件的概率加法公式，可得.（2）解：由題意，可分為兩類：當(dāng)甲箱子中摸出的是黑球時(shí)，再從乙箱子中任取1個(gè)球是白球的概率為；當(dāng)甲箱子中摸出的是白球時(shí)，再從乙箱子中任取1個(gè)球是白球的概率為，由互斥事件的概率加法公式，可得.20．甲、乙兩位圍棋選手進(jìn)行圍棋比賽，比賽規(guī)則如下：比賽實(shí)行三局兩勝制（假定沒有平局），任何一方率先贏下兩局比賽時(shí)，比賽結(jié)束，圍棋分為黑白兩棋，第一局雙方選手通過抽簽的方式等可能的選擇棋色下棋，從第二局開始，上一局的敗方擁有優(yōu)先選棋權(quán).已知甲下黑棋獲勝的概率為，下白棋獲勝的概率為，每位選手按有利于自己的方式選棋.(1)求甲選手以2:1獲勝的概率；(2)比賽結(jié)束時(shí)，記這兩人下圍棋的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）由題意可知甲選手以2:1獲勝必須前兩局雙方各勝一局，且第三局甲獲勝，則分第一局甲下黑棋和第一局甲下白棋兩種情況求出概率，然后利用互斥事件的概率公式求解，（2）由題意可知的取值可能為2，3，7，然后求出各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出的分布列與期望.【詳解】（1）甲選手以2:1獲勝，則前兩局雙方各勝一局，且第三局甲獲勝.若第一局乙選棋，則所求概率為；若第一局甲選棋，則所求概率為.故甲選手以2:1獲勝的概率為.（2）由題可知，的取值可能為2，3，則，.則的分布列為23.21．已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)，，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值(2) 【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可求出的極值；（2）將題意轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令，求出，即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，.令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為，無極大值.（2）因?yàn)?/span>，所以等價(jià)于.令，，則.令，，則，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故，從而，即的取值范圍為.22．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，(2)證明見解析 【分析】（1）求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，令，得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）證明：由不等式，可得，要證，需證，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.由，得，故要證，需證，即.令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，即，得證. 

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