2022-2023學(xué)年海南省瓊海市嘉積中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：集合，而，所以，故選C.【解析】 集合的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)==1﹣i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．下列四個(gè)圖各反映了兩個(gè)變量的某種關(guān)系，其中可以看作具有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系的是A．①③ B．①④ C．②③ D．①②【答案】B【詳解】兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，若樣本點(diǎn)成帶狀分布，則兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，∴兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是①和④，故選B．【解析】變量間的相關(guān)關(guān)系4．已知等差數(shù)列中，，，則的值是（    ）A．4 B．15 C．31 D．64【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，所以，即，故.故選：B.5．直線與圓交于兩點(diǎn)，則（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】利用點(diǎn)線距離公式與弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】因?yàn)閳A可化為，所以圓心，，因?yàn)橹本€：可化為，所以圓心到直線的距離為，所以.故選：C.6．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點(diǎn)睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.7．若，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用倍角公式、兩角差的正弦進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到答案.【詳解】，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換求值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.8．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線的左頂點(diǎn)為，若雙曲線一條漸近線與直線平行,則實(shí)數(shù)(　　)A． B．C．3 D．9【答案】A【分析】由題可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】由題意，∴，∴點(diǎn)，∵雙曲線的左頂點(diǎn)為，∴直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的斜率為，由題意得，解得．故選：A． 二、多選題9．下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的為（    ）A．方程與方程可表示同一條直線B．直線在軸上的截距為C．直線過點(diǎn)，斜率為0，則其方程為D．過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸截距相等的直線方程僅有：【答案】BC【分析】根據(jù)的范圍即可判斷A；根據(jù)截距的定義即可判斷B；根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可判斷C，分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)榉匠?/span>中，，而方程中，故兩個(gè)方程表示不同直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，所以直線在軸上的截距為，故B正確；對(duì)于C，直線過點(diǎn)，斜率為0，則其方程為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，直線方程為，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距都不為0時(shí)，可設(shè)其方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸截距相等的直線方程為或，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．已知函數(shù)則下列各選項(xiàng)正確的是（    ）A．的最小正周期為B．是的一條對(duì)稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．向右平移個(gè)單位是一個(gè)奇函數(shù).【答案】AC【分析】根據(jù)周期公式得到A正確；代入驗(yàn)證知B錯(cuò)誤C正確；根據(jù)平移法則得到，不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，正確；對(duì)選項(xiàng)D：向右平移得到，不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC11．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A． B．離心率C．短軸長(zhǎng)為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 D．面積的最大值為1【答案】AD【分析】根據(jù)題意，求出，然后利用橢圓的定義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算并判斷答案.【詳解】橢圓由題意，得，，，則，故A正確，因?yàn)?/span>，，，所以，，故B錯(cuò)誤，由已知得，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓的短軸端點(diǎn)處有最大值，此時(shí)，，故D正確；故選：AD12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，則（    ）A．直線平面 B．C．三棱錐的體積為 D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一驗(yàn)證即可；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正確；，，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，又，所以，故D正確；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即，又直線平面，所以直線平面，故A正確；，故C錯(cuò)誤；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題. 三、填空題13．圓心在原點(diǎn)上與直線相切的圓的方程為　　　　　　．【答案】x2+y2=2【詳解】試題分析：圓心到直線的距離為，圓的方程為x2＋y2＝2【解析】直線與圓相切的位置關(guān)系 14．寫出一個(gè)“公差為2且前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：___________.【答案】（答案不唯一）【分析】由得出，設(shè)得出通項(xiàng)公式.【詳解】前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)則，設(shè)，，則.故答案為：（答案不唯一）15．在橢圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，垂足為，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，滿足，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為______.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意將點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)表示，再利用相關(guān)點(diǎn)法即可得解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)?/span>軸，，所以，所以，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.16．已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若雙曲線的漸近線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是__________．【答案】【詳解】動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，雙曲線的一條漸近線為，因?yàn)樗c圓是相離的，故，也就是即，所以雙曲線的離心率為． 點(diǎn)睛：關(guān)注動(dòng)點(diǎn)的幾何意義，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 四、解答題17．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．    （1）求的通項(xiàng)公式；    （2）求，并求的最小值．【答案】（1）；（2），最小值為–16．【分析】（1）方法一：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即得結(jié)果；（2）方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）[方法一]：【通性通法】【最優(yōu)解】 公式法設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，解得：，所以．[方法二]：函數(shù)+待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)公式為，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：鄰項(xiàng)變號(hào)法由可得．當(dāng)，即，解得，所以的最小值為，所以的最小值為．[方法2]：函數(shù)法由題意知，即，所以的最小值為，所以的最小值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：直接根據(jù)基本量的計(jì)算，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差，即可得到通項(xiàng)公式，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的函數(shù)形式特征，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，用待定系數(shù)法解方程組求解；（2）方法一：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，再利用鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值；方法二：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值．18．的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足asin B＝bcos A.(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a＝，b＝2，求的面積.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【分析】(Ⅰ)利用正弦定理的邊角互化可得，進(jìn)而可求解.（Ⅱ）利用余弦定理以及三角形的面積公式即可求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以.∵，∴，，因?yàn)?/span>，∴. （Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，，∴， ∴.19．一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表（單位：輛）： 轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600 按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．（1）求z的值（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．從這5輛車中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用分層抽樣的方法進(jìn)行求解即可；（2）分層抽樣的方法求得舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型的車輛數(shù)，然后利用古典概型的概率求解即可.【詳解】（1）由分層抽樣的方法可得得：（2）5輛車中舒適型有=2 輛 ，標(biāo)準(zhǔn)型 =3輛設(shè)2輛舒適型編號(hào)為：a，b ，3輛標(biāo)準(zhǔn)型編號(hào)為：c，d，f5輛車中任取2輛取法：（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,f）（b,c）,（b,d）（b,f）,（c,d）,（c,f）,（d,f）共有10種，其中含有1輛舒適型有（a,c）,（a,d）,（a,f）（b,c）,（b,d）（b,f）共6種，含有2輛舒適型有（a,b）1種，則至少有1輛舒適型轎車為.20．已知拋物線，點(diǎn)在直線上，直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與交于，兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接將代入拋物線中求出焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后通過即可求出值，進(jìn)而求出拋物線方程；（2）直接使用點(diǎn)差法求解直線斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求解出直線方程即可.【詳解】（1）把代入，則，∴即，∴拋物線的方程為：.（2）設(shè)，，則…①，…②②-①得：，，∴，則直線的方程為：，即21．（衡水金卷2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試卷）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，且，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng).（1）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角的正切值為時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)．可得四邊形是平行四邊形，，即可證明平面；（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法二面角的余弦值.試題解析：(1)取線段的中點(diǎn)，連結(jié).∵,∴，且.又為的中點(diǎn)，∴,且.∴,且.∴四邊形是平行四邊形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,∵三棱柱中，平面，∴即為直線與平面所成的角.設(shè)，則由，得.∴.∴,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得，即.又平面的一個(gè)法向量為,∴,又二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.22．設(shè)橢圓的離心率，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意可知，，再由離心率即可求得橢圓的方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算出弦的長(zhǎng)，再計(jì)算出到直線的距離為，即可寫出面積的表達(dá)式即可求得最大值.【詳解】（1）由題可知，橢圓的離心率，由得：，，則， 故橢圓的方程為.（2）聯(lián)立方程，得，由，得.且所以,弦長(zhǎng) 又到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.即面積的最大值為. 

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