2022-2023學年江蘇省連云港高級中學高二下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．已知隨機變量的分布列為01則實數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據隨機變量的分布列性質概率之和為1可得.【詳解】由題意：，可得：.故選：D.2．若隨機變量服從正態(tài)分布，記為，則關于的密度函數(shù)及其圖象，下列說法中錯誤的是（    ）A．當時，正態(tài)曲線關于軸對稱B．正態(tài)曲線一定是單峰的C．曲線的峰值為D．當無限增大時，曲線無限接近軸【答案】C【分析】根據正態(tài)分布曲線的性質逐個判斷即可【詳解】對A，當時，正態(tài)曲線關于，即軸對稱，故A正確；對B，根據正態(tài)曲線函數(shù)的性質可得正態(tài)曲線一定是單峰的，故B正確；對C，曲線在處取得峰值為，故C錯誤；對D，當無限增大時，曲線無限接近軸，故D正確；故選：C3．已知的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則（    ）A．11 B．10 C．12 D．13【答案】C【分析】當n為偶數(shù)時，展開式中第項二項式系數(shù)最大，當n為奇數(shù)時，展開式中第和項二項式系數(shù)最大.【詳解】∵只有第7項的二項式系數(shù)最大，∴，∴．故選：C4．某種燈泡的使用壽命為2000小時的概率為0.85，超過2500小時的概率為0.35，若某個燈泡已經使用了2000小時，那么它能使用超過2500小時的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據條件概率公式即可求出．【詳解】記燈泡的使用壽命為2000小時為事件，超過2500小時為事件，則若某個燈泡已經使用了2000小時，那么它能使用超過2500小時的概率為.故選：B．5．從含有7件次品的20件產品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品個數(shù)，則表示（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據概率算式表示的意義判斷即可.【詳解】因為表示從20件產品中任意選取4件的選法，表示選取的4件產品中有3件次品，1件正品的選法表示選取的4件產品全是次品的選法.所以故選:D.6．在某個單位迎新晚會上有A、B、C、D、E、F6個節(jié)目，單位為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在第三位，節(jié)目D、F必須安排連在一起，則該單位迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（    ）種A．36 B．48 C．60 D．72【答案】A【分析】根據D、F在一二位或四五位、五六位先安排D、F兩個節(jié)目，C是固定的，然后其他三個節(jié)目任意排列，由此可得．【詳解】由題意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三個節(jié)目任意排列，因此方法數(shù)為．故選：A．7．在以下命題中，真命題的是（    ）．A．是、共線的充要條件B．若，則存在唯一的實數(shù)，使C．對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若，則P、A、B、C四點共面D．若、、是不共面的向量，則、、的線性組合可以表示空間中的所有向量【答案】D【分析】根據模的性質、向量共線定理、空間向量共面定理、空間向量基本定理判斷各選項．【詳解】A．若則、一定共線，若、共線，當、同向時，，即不一定成立，所以是、共線的充分不充要條件，A錯；B．若，當時，不存在唯一的實數(shù)，使，B錯；C．因為A、B、C三點不共線，則不共線，若四點共面，則存在唯一的一組實數(shù)使得，即，變形得，而當由時，，所以不共面，C錯；D．若、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量，否則若、、共面，則存在實數(shù)，使得，即，中至少有一個不等于0，若，則 ，因此、、共面，與已知矛盾，或同樣得出矛盾，所以、、也不共面，由空間向量基本定理，可能用它們表示出空間任意向量．D正確．故選：D．8．中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究．設a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（    ）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026【答案】D【分析】由二項式定理可得，結合算法新定義判斷滿足對應b值.【詳解】若，由二項式定理得，則，因為能被5整除，所以a除以5余，又因為，選項中2026除以5余1．故選：D． 二、多選題9．在正方體中，設，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】結合圖象，利用去表示4個選項中所涉及到的向量，且兩兩垂直，借助數(shù)量積的運算法則得到答案.【詳解】A項：，正確；B項：，連，則，故，正確；C項：，錯誤；D項：，正確．故選：ABD10．下列說法中正確的是（    ）A．已知隨機變量X服從二項分布，則B．“A與B是互斥事件”是“A與B互為對立事件”的必要不充分條件C．已知隨機變量X的方差為，則D．已知隨機變量X服從正態(tài)分布且，則【答案】BD【分析】根據二項分布的期望公式判斷A；根據對立事件與互斥事件的關系判斷B；根據方差公式判斷C；根據正態(tài)分布的對稱性判斷D.【詳解】對于A：隨機變量X服從二項分布，則，故A錯誤；對于B：“A與B是互斥事件”不能推出“A與B互為對立事件”，“A與B互為對立事件”能推出“A與B是互斥事件”，故“A與B是互斥事件”是“A與B互為對立事件”的必要不充分條件，故B正確；對于C：隨機變量X的方差為，則，故C錯誤；對于D：因為隨機變量X服從正態(tài)分布且，根據對稱性可知，，所以，故D正確．故選：BD．11．袋中有6個大小相同的小球，4個紅球，2個黑球，則（　?。?/span>A．從袋中隨機摸出一個球是黑球的概率為B．從袋中隨機一次摸出2個球，則2個球都是黑球的概率為C．從袋中隨機一個一個不放回地摸出2個球，則2個球都是黑球的概率為D．從袋中隨機一個一個有放回地摸出2個球，則2個球都是黑球的概率為【答案】BCD【分析】利用組合的定義結合古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】對于A選項：設“從袋中隨機摸出一個球是黑球” ，則，所以A選項錯誤；對于B選項： 設“從袋中隨機一次摸出2個球，2個球都是黑球”，則，所以B選項正確；對于C選項：設“從袋中隨機一個一個不放回地摸出2個球，2個球都是黑球”，則，所以C選項正確；對于D選項：設“從袋中隨機一個一個有放回地摸出2個球，2個球都是黑球”，則，所以D選項正確；故選：BCD.12．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，G為線段AE上的動點，則（    ）A．若G為線段AE的中點，則平面CEFB．C．的最小值為48D．點B到平面CEF的距離為【答案】ABD【分析】根據面面垂直的性質可得平面ABCD，由線面垂直的性質可得，，又，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法證明線線、線面的位置關系和求解點到平面的距離，結合空間向量線性運算的坐標表示求出，利用二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】因為BDEF是矩形，所以，又矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD相交于BD，且平面BDEF，所以平面ABCD，而AD，平面ABCD，所以，，而ABCD是正方形，所以，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，對于A，，，當G為線段AE的中點時，，得，設平面CEF的一個法向量為，有，因為，平面CEF，則平面CEF，故A正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，設，則，得有最小值44，故C錯誤；對于D，，，所以點B到平面CEF的距離為，故D正確.故選：ABD... 三、填空題13．的展開式各項系數(shù)的和是，則          .【答案】【分析】采用賦值法，令，根據展開式各項系數(shù)的和即可求得答案.【詳解】由題意令，則的展開式各項系數(shù)的和是，故答案為：14．已知空間三點A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是      .【答案】【分析】先求得，再根據投影向量的模的公式求解即可【詳解】由題，，故在上的投影向量的模故答案為：.15．甲袋中裝有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙袋中裝有4個紅球，3個白球和3個黑球，且所有球的大小和質地均相同.先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋中，再從乙袋中隨機取出一球，則從乙袋中取出的球是紅球的概率是            .【答案】【分析】設從甲袋取出紅球為事件A，再從乙袋取出紅球為事件B，求解，再計算，從而得.【詳解】設從甲袋取出紅球為事件A，再從乙袋取出紅球為事件B，則，.，，所以.故答案為：16．在正方體中，，，P，F分別是線段，的中點，則點P到直線EF的距離是           .【答案】【分析】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解點P到直線EF的距離.【詳解】解：如圖，以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，因為，所以，，，所以，，所以點P到直線EF的距離.故答案為：. 四、解答題17．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，且，為中點，為中點，設，，；  (1)用向量，，表示向量；(2)求線段的長度．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據空間向量基本定理利用向量的加減法法則求解即可，（2）先根據題意可得，，，然后對平方化簡可求得結果.【詳解】（1）因為為中點，為中點， ，，，所以；（2）因為平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，且，所以，，，所以所以，即線段PM長為18．如圖，在正方體中，E，F分別為，的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據線面平行的判定定理分析證明；（2）建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）作的中點G，連接EG，AG，如下圖所示，∵分別為的中點，則，，且，，則，，∴四邊形ADEG是平行四邊形，則，∵分別為的中點，則，，∴四邊形是平行四邊形，則，故，且平面，平面，∴平面．（2）以A為坐標原點，，，正方向為x，y，z軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，，，，則，，，設平面的一個法向量，則，令，則，故平面的一個法向量，設直線與平面所成角的大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19．已知對任意給定的實數(shù)，都有.求值：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用賦值法求解，令可得結果；（2）利用賦值法求解，令可得結果；【詳解】（1）因為，令，則；（2）令，則，由（1）知，兩式相減可得.20．為了豐富在校學生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運動會活動，學校設置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項目，進行班級對抗賽．每一個比賽項目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結束），假設在項目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．(1)求甲班在項目A中獲勝的概率；(2)設甲班獲勝的項目個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）記“甲班在項目A中獲勝”為事件A，利用獨立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在項目B中獲勝”的概率，然后利用獨立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望【詳解】（1）記“甲班在項目A中獲勝”為事件A，則，所以甲班在項目A中獲勝的概率為（2）記“甲班在項目B中獲勝”為事件B，則，X的可能取值為0，1，2，則，，．所以X的分布列為X012P．所以甲班獲勝的項目個數(shù)的數(shù)學期望為21．如圖在四棱錐中，側面底面，側棱，底面為直角梯形，其中，，，為的中點．  (1)求二面角的正弦值；(2)線段上是否存在，使得它到平面的距離為? 若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，. 【分析】（1）以為原點，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解；（2）設線段上存在，根據向量的距離公式，求得得到的坐標，進而的值．【詳解】（1）解：由底面為直角梯形，其中，，且，所以，又由平面，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則平面的法向量，且，可得，設平面的法向量，則，取，可得，所以，設二面角夾角為，則，則，所以二面角的正弦值為.（2）解：設線段上存在，使得它到平面的距離為，由，可得到平面的距離，解得或(舍去)，所以，則．  22．新冠疫情不斷反彈，各大商超多措并舉確保市民生活貨品不斷檔，超市員工加班加點工作.某大型超市為答謝各位員工一年來的銳意進取和辛勤努力，擬在年會后，通過摸球兌獎的方式對500位員工進行獎勵，規(guī)定：每位員工從一個裝有5種面值獎券的箱子中，一次隨機摸出2張獎券，獎券上所標的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額．(1)若箱子中所裝的5種面值的獎券中有2張面值為100元，其余3張均為50元，試比較員工獲得100元獎勵額與獲得150元獎勵額的概率的大??；(2)公司對獎勵總額的預算是7萬元，預定箱子中所裝的5種面值的獎券有兩種方案：第一方案是3張面值30元和2張面值130元；第二方案是3張面值50元和2張面值100元.為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由．【答案】(1)員工獲得100元獎勵額的概率小于獲得150元獎勵額的概率(2)應選擇第二種方案，理由見解析 【分析】（1）根據超幾何分布求出員工獲得100元獎勵額與獲得150元獎勵額的概率，比較大小即可得出答案；（2）分別求出選擇方案一和方案二的分布列，進而求出對應的數(shù)學期望和方差，比較方差和期望的大小即可得出答案.【詳解】（1）用表示員工所獲得的獎勵額．因為，，所以，故員工獲得100元獎勵額的概率小于獲得150元獎勵額的概率．（2）第一種方案：設員工所獲得的獎勵額為，則的分布列為60160260所以的數(shù)學期望為，的方差為；第二種方案：設員工所獲得的獎勵額為，則的分布列為100150200所以的數(shù)學期望為，的方差為，又因為（元），所以兩種方案獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，故應選擇第二種方案． 

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