2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市七校聯(lián)考高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（    ）A．11 B．10 C．12 D．13【答案】C【分析】當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第和項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.【詳解】∵只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴，∴．故選：C2．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（    ）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】D【分析】根據(jù)變量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為，由二點(diǎn)分步求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，所以.故選：D3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量平面，則點(diǎn)到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又向量平面，所以是平面的一個(gè)法向量所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.4．某同學(xué)進(jìn)行3分投籃訓(xùn)練，若該同學(xué)投中的概率為，他連續(xù)投籃n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】先計(jì)算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列關(guān)系求解即可.【詳解】由題意可知，該同學(xué)連投n次，一次都不中的概率為：，故n次投籃至少得到3分即至少中一次的概率為，得，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)至少有一次發(fā)生的概率和指數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題.5．某校從高一?高二?高三中各選派名同學(xué)參加“黨的光輝史”系列報(bào)告會(huì)，其中三個(gè)年級參會(huì)同學(xué)中女生人數(shù)分別為，，，學(xué)習(xí)后，學(xué)校隨機(jī)選取一名同學(xué)匯報(bào)學(xué)習(xí)心得，結(jié)果選出一名女同學(xué)，則該名女同學(xué)來自高三年級的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)事件為“24人中抽出一名女同學(xué)”，事件為“24人中抽出一名高三同學(xué)”，分別求得，，代入條件概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件為“24人中抽出一名女同學(xué)”，事件為“24人中抽出一名高三同學(xué)”，則，，.故選：A.6．已知，則（    ）A．8 B．5 C．2 D．4【答案】D【分析】取代入等式可得，分別取，代入等式，組成方程組，聯(lián)立即可得，代入即可求得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?/span>，取代入可得：，取代入可得：①，取代入可得：②，①+②再除以2可得：，所以，①-②再除以2可得：，所以.故選：D7．在三棱錐中，平面平面是的中點(diǎn).，則二面角的余弦值為（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】平面平面，且 為交線，，平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.  因?yàn)?/span>，在Rt中，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.設(shè)二面角的平面角為，則.故選：C8．如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列．已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4，其中，，2，3，4，記事件：集合；事件：為“局部等差”數(shù)列，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出事件與事件的基本事件的個(gè)數(shù)，用=計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題意知，事件共有個(gè)基本事件，對于事件，其中含1，2，3的“局部等差”數(shù)列的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個(gè)，含3，2，1的“局部等差”數(shù)列的同理也有3個(gè)，共6個(gè)；含3，4，5的和含5，4，3的與上述相同，也有6個(gè)；含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個(gè)；含4，3，2的同理也有2個(gè)；含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個(gè)；含5，3，1的同理也有4個(gè)，所以事件共有24個(gè)基本事件，所以．故選：C 二、多選題9．對于，若，則的值可以為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】根據(jù)題意得或，進(jìn)而解方程即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以或，解得或故選：AB10．下列命題中正確的是（    ）A．已知一組數(shù)據(jù)6，6，7，8，10，12，則這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是7.5B．已知隨機(jī)變量，且，則C．已知隨機(jī)變量，則D．已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)由百分位數(shù)的定義計(jì)算即可；B選項(xiàng)由正態(tài)分布的對稱性計(jì)算即可；C選項(xiàng)根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算；D選項(xiàng)由回歸直線的斜率正負(fù)判斷線性相關(guān)關(guān)系.【詳解】對于A選項(xiàng)，，第3個(gè)和第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，故A正確；對于B選項(xiàng)，，故B正確；對于C選項(xiàng)，，則，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，，可得y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，可知D正確．故選：ABD．11．甲袋中裝有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙袋中裝有2個(gè)白球，2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出一球．用，，分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是紅球，則以下結(jié)論正確的是（    ）A．，，兩兩互斥 B．C． D．與B是相互獨(dú)立事件【答案】AB【分析】A由互斥事件的定義判斷；B根據(jù)題意判斷；C應(yīng)用全概率公式求，D判斷是否相等即可.【詳解】由題意，{甲袋取出白球}，{甲袋取出紅球}，{甲袋取出黑球}，所以，，兩兩互斥，A正確；而甲袋有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則，，先發(fā)生，此時(shí)乙袋有3個(gè)白球，2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，則，先發(fā)生，此時(shí)乙袋有2個(gè)白球，3個(gè)紅球和1個(gè)黑球，則，先發(fā)生，此時(shí)乙袋有2個(gè)白球，2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則，所以，B正確，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故選：AB12．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，F為的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（    ）A．B．向量與所成角的余弦值為C．平面AEF的一個(gè)法向量是D．點(diǎn)D到平面AEF的距離為【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，利用空間向量表示出，進(jìn)而求出；B選項(xiàng)，利用空間向量夾角公式求解；C選項(xiàng)，利用數(shù)量積為0進(jìn)行證明線線垂直，進(jìn)而得到答案；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線的空間向量公式進(jìn)行求解.【詳解】對于A，正方體中，，，，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，，，，故B正確；對于C，設(shè)，則，，而，所以平面的一個(gè)法向量是，故C正確；對于D，，則點(diǎn)D到平面AEF的距離為，故D正確．故選：BCD 三、填空題13．對某手機(jī)的廣告費(fèi)用支出x（萬元）與銷售額y（萬元）之間的關(guān)系進(jìn)行調(diào)查，通過回歸分析，求得x與y之間的關(guān)系式為，則當(dāng)廣告費(fèi)用支出為10萬元時(shí)，銷售余額的預(yù)測值為           萬元.【答案】92.5/【分析】將x=10代入回歸方程即可得到答案【詳解】解：將x=10代入，即得，所以余額為萬元，故答案為：92.514．已知，則      .【答案】【分析】直接根據(jù)均值公式結(jié)合已知條件，解方程即可得出所求的答案.【詳解】由，可得.故答案為：15．為了慶祝新年的到來,某校“皮影戲”社團(tuán)的6名男同學(xué),2名女同學(xué)計(jì)劃組成4人代表隊(duì)代表本校參加市級“皮影戲”比賽,該代表隊(duì)中有隊(duì)長,副隊(duì)長各一名,剩余兩名為隊(duì)員.若現(xiàn)要求代表隊(duì)中至少有一名女同學(xué),一共有      種可能.【答案】【分析】先分類:代表隊(duì)中有1名女同學(xué)和有2名女同學(xué),再選出隊(duì)長,副隊(duì)長各一名即可得到結(jié)果.【詳解】若代表隊(duì)中有1名女同學(xué),此時(shí)共有種可能;若有2名女同學(xué),則共有種可能,所以一共有種可能.故答案為:. 四、雙空題16．如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，設(shè)是該正方體表面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是      ；的最大值為      ． 【答案】          12【分析】如圖，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，可證明六邊形為正六邊形，從而可求其面積，利用向量數(shù)量積的幾何意義可求的最大值.【詳解】∵，∴點(diǎn)在平面上，如圖，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，故，又由正方體可得，，故，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故五點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故六點(diǎn)共面，由正方體的對稱性可得六邊形為正六邊形.故點(diǎn)的軌跡是正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長為4，所以正六邊形的邊長為，所以點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是．如圖，，∴的最大值為12．故答案為：，12． 五、解答題17．已知二項(xiàng)式的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，各項(xiàng)的系數(shù)之和為，(1)求的值；(2)求其展開式中所有的有理項(xiàng)．【答案】(1)4(2) 【分析】（1）先利用題給條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值；（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得其展開式中所有的有理項(xiàng)．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此方程無解，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，方程可化為，解得；（2）由通項(xiàng)公式，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，是有理項(xiàng)，則，所以有理項(xiàng)為．18．袋中有5個(gè)白球?4個(gè)黑球，從中任意摸出3個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率：(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球；(2)至少摸出1個(gè)白球；(3)至少摸出1個(gè)黑球.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用超幾何分布概率公式計(jì)算即可；（2）通過求對立事件的概率進(jìn)而求解即可；（3）通過求對立事件的概率進(jìn)而求解即可；【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)從中摸出白球的個(gè)數(shù)為，則服從超幾何分布，所以，即摸出2個(gè)或3個(gè)白球的概率為.（2）由（1）得，，即至少摸出1個(gè)白球的概率為.（3）至少摸出1個(gè)黑球：，故至少摸出1個(gè)黑球的概率為.19．某收費(fèi)APP（手機(jī)應(yīng)用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設(shè)計(jì)、方便的操作方式和強(qiáng)大的實(shí)用功能深得用戶的喜愛.該APP所在的公司統(tǒng)計(jì)了用戶一個(gè)月月租減免的費(fèi)用x（單位：元）及該月對應(yīng)的用戶數(shù)量y（單位：萬人），得到如下數(shù)據(jù)表格：用戶一個(gè)月月租減免的費(fèi)用x（元）45678用戶數(shù)量y（萬人）22.12.52.93.2已知x與y線性相關(guān).(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（，）；(2)據(jù)此預(yù)測，當(dāng)月租減免費(fèi)用為14元時(shí)，該月用戶數(shù)量為多少？參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)(2)5.10萬人 【分析】（1）分別求出，的值，再由公式可計(jì)算得，繼而易得，從而得出答案；（2）代入（1）得到的回歸方程即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由，，有，，故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為；（2）由（1）知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測該月的用戶數(shù)量為5.10萬人20．“每天鍛煉一小時(shí)，健康工作五十年，幸福生活一輩子.”一科研單位為了解員工的愛好運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，從單位隨機(jī)抽取100名員工男女各半進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表： 男性女性總計(jì)愛好30  不愛好 10 總計(jì)  100(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析愛好運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)；(2)若從這100人中的不愛好運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取2人參加體育培訓(xùn)，記抽到的男性人數(shù)為，求的分布列?數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.【答案】(1)表格見解析，無關(guān)(2)分布列見解析， 【分析】（1）首先補(bǔ)充列聯(lián)表，再計(jì)算，根據(jù)臨界值參考數(shù)據(jù)，即可判斷；（2）根據(jù)超幾何概率公式求解概率，再寫出分布列，并求解期望.【詳解】（1）根據(jù)男，女員工各50人，可以補(bǔ)充列聯(lián)表， 男性女性總計(jì)愛好304070不愛好201030總計(jì)5050100零假設(shè)為：愛好運(yùn)動(dòng)與性別相互獨(dú)立，即愛好運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷成立，即愛好運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)，由此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）的取值可能為.，所以的分布列為012的數(shù)學(xué)期望為.21．如圖，四邊形為正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．(1)證明；(2)若，且直線與平面所成角的大小為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由面面垂直得平面，從而得．再由已知，得，從而可得平面，得證，再由線面垂直的判定定理證明平面，即可證得；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由線面角的空間向量法求得值，然后由棱錐體積公式計(jì)算可得．【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?/span>，，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，，，，，所以，．設(shè)，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為，又直線與平面所成角的大小為，所以，解得．所以，所以，所以．22．企業(yè)的產(chǎn)品正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取400件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚?/span>產(chǎn)品尺寸件數(shù)85454160724012根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實(shí)際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件.一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品..(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測費(fèi)20元/件，次品檢測費(fèi)30元/件，記這3件產(chǎn)品檢測費(fèi)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望及方差.【答案】(1)生產(chǎn)線沒有正常工作；理由見解析(2)期望是（元）；方差是. 【分析】（1）由產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，得到正常產(chǎn)品尺寸范圍，從而計(jì)算出實(shí)際次品數(shù)和生產(chǎn)線正常工作的次品數(shù)的上限，繼而可判斷生產(chǎn)線是否正常工作.（2）隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這3件產(chǎn)品中次品件數(shù)服從二項(xiàng)分布，可算出其期望和方差，則可算出3件產(chǎn)品檢測費(fèi)的期望和方差.【詳解】（1）產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，，且正常產(chǎn)品尺寸范圍為.生產(chǎn)線正常工作，次品不能多于（件），而實(shí)際上，超出正常范圍以外的零件數(shù)為20，故生產(chǎn)線沒有正常工作；（2）尺寸在以外的就是次品，故次品率為.記這3件產(chǎn)品中次品件數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，，則，所以的數(shù)學(xué)期望是（元），方差是. 

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