2022-2023學年江蘇省連云港市灌南高級中學高二上學期期中模擬數(shù)學試題 一、單選題1．若圓關(guān)于直線2x-y+3=0對稱，則k等于（    ）A． B．- C．3 D．-3【答案】B【分析】由題意可求得圓心坐標，圓關(guān)于直線對稱，即直線過圓心，代入坐標，即可求解.【詳解】由題意知，圓的圓心為(k，0)，圓關(guān)于直線2x-y+3=0對稱，即直線2x-y+3=0過圓心(k，0)，所以2k+3=0，k=-.答案：B【點睛】本題考查圓的對稱性，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬基礎題.2．已知直線經(jīng)過，兩點，直線的傾斜角為，那么與A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【解析】根據(jù)兩點求出直線的斜率，根據(jù)傾斜角求出直線的斜率；可知斜率乘積為，從而得到垂直關(guān)系.【詳解】直線經(jīng)過，兩點    直線的斜率：直線的傾斜角為    直線的斜率：    本題正確選項：【點睛】本題考查直線位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是利用兩點連線斜率公式和傾斜角求出兩條直線的斜率，根據(jù)斜率關(guān)系求得位置關(guān)系.3．設、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積等于　　A．4 B．6 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程，求出及橢圓的焦點坐標．由橢圓的定義結(jié)合，得，，結(jié)合勾股定理的逆定理得是以為直角頂點的直角三角形，由此不難得到的面積．【詳解】解：橢圓，，，，所以橢圓的焦點為，，，且，，可得，因此是以為直角頂點的直角三角形，所以的面積，故選：A．4．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點，點、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設點關(guān)于原點的對稱點為點，連接、，分析可知、、三點共線，設點、，設直線的方程為，分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設點關(guān)于原點的對稱點為點，連接、，如下圖所示：因為為、的中點，則四邊形為平行四邊形，可得且，因為，故、、三點共線，設、，易知點，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設，，則，不合乎題意；設直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.5．設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得．詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題．6．已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（    ）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當且僅當在線段上時取得等號，故選：A.【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎題.7．已知在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】圓的最長弦是直徑，過定點的最短弦是與過定點的最長弦垂直的，對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半.【詳解】圓由題意可得最長弦為直徑等于6，最短的弦由垂徑定理可得，則四邊形的面積為.故選：D.【點睛】本題考查過圓內(nèi)定點求圓的弦長最值問題，考查求解運算能力，是基礎題.8．過拋物線上定點作圓的兩條切線，分別交拋物線于另外兩點、，則直線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】設過點且與圓相切的直線的方程為，根據(jù)該直線與圓相切求出的值，設點、，求出、的值，求出直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，易知軸，所以，直線、的斜率必然存在，設過點且與圓相切的直線的方程為，即，由題意可得，解得，設點、，不妨設直線、的斜率分別為、，則，可得，同理，可得，直線的斜率為，易知點的坐標為，所以，直線的方程為，即.故選：B. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2B．點關(guān)于直線的對稱點為C．過，兩點的直線方程為D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】AB【分析】對選項A，分別令和，求出直線與坐標軸交點，再結(jié)合面積公式判斷即可；對選項B，求出對稱點坐標即可判斷；對選項C特殊情況不成立；對選項D，缺少過原點的直線．【詳解】A．令得，令得，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，正確；B．設關(guān)于直線對稱點坐標為，則，解得，正確；C．兩點式使用的前提是，錯誤；D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線還有過原點的直線，錯誤．故選：AB．10．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A、B的距離之比為定值（）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，成為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，、，點Р滿足，設點Р所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（    ）A．C的方程為B．在C上存在點D，使得C．在C上存在點M，使M在直線上D．在C上存在點N，使得【答案】AD【分析】通過設出點P的坐標，利用，即可求出曲線C的軌跡方程，然后假設曲線C上一點坐標，根據(jù)BCD三個選項逐一列出所滿足條件，然后與C的軌跡方程聯(lián)立，判斷是否有解，即可得出答案.【詳解】設點，由，得，化簡得，即，故A選項正確；對于B選項，設，由得，又，聯(lián)立方程可知無解，故B選項錯誤； 對于C選項，設，由M在直線上得，又，聯(lián)立方程可知無解，故C選項錯誤；對于D選項，設，由，得，又，聯(lián)立方程可知有解，故D選項正確.故選：AD.11．（多選題）已知拋物線的焦點為、準線為，過點的直線與拋物線交于兩點、，點在上的射影為，則 （    ）A．若，則B．以為直徑的圓與準線相切C．設，則D．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有條【答案】ABC【分析】利用拋物線焦點弦長公式可判斷AB選項；利用拋物線的定義結(jié)合三點共線可判斷C選項；求出過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線的方程，可判斷D選項.【詳解】對于選項A，因為，所以，則，故A正確；對于選項B，線段的中點為，拋物線的準線的方程為，點到直線的距離為，所以，以為直徑的圓與準線相切，B對；對于選項C，因為，所以，當且僅當點、、三點共線，且點為線段與拋物線的交點時，等號成立，故C正確；對于選項D，顯然直線，與拋物線只有一個公共點，設過且斜率不為零的直線為，聯(lián)立，可得，令，則，所以直線與拋物線也只有一個公共點，此時有三條直線符合題意，故D錯誤.故選：ABC.12．已知雙曲線，過其右焦點的直線與雙曲線交于兩點、，則（    ）A．若、同在雙曲線的右支，則的斜率大于B．若在雙曲線的右支，則最短長度為C．的最短長度為D．滿足的直線有4條【答案】BD【分析】設直線的方程為，設點、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用判別式、韋達定理、弦長公式可判斷各選項的正誤.【詳解】易知雙曲線的右焦點為，設點、，設直線的方程為，當時，直線的斜率為，聯(lián)立，消去并整理得.則，解得.對于A選項，當時，直線軸，則、兩點都在雙曲線的右支上，此時直線的斜率不存在，A選項錯誤；對于B選項，，B選項正確；對于C選項，當直線與軸重合時，，C選項錯誤；對于D選項，當直線與軸重合時，；當直線與軸不重合時，由韋達定理得，，由弦長公式可得，解得或.故滿足的直線有條，D選項正確.故選：BD.【點睛】本題考查直線與雙曲線的綜合問題，考查了直線與雙曲線的交點個數(shù)，弦長的計算，考查了韋達定理設而不求法的應用，考查計算能力，屬于中等題. 三、填空題13．雙曲線的其中一條漸近線方程為，且焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為_______【答案】【分析】由雙曲線的漸近線方程可得，再由焦點到漸近線的距離為可得，即可得答案；【詳解】由題意得：，雙曲線的方程為，故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程和焦點到漸近線的距離為，考查運算求解能力，屬于基礎題.14．一束光線從點射出，經(jīng)y軸反射后，與圓相交，則反射光線所在直線的斜率k的取值范圍是_______________．【答案】【分析】將圓寫成標準式，求出圓心半徑，求出關(guān)于軸的對稱點，設出過的直線方程，結(jié)合圓心到直線距離公式即可求解.【詳解】由可得，即圓心為，半徑為1，關(guān)于軸的對稱點，可設過的直線方程為，即，由反射光線與圓相交可得，，化簡得，即.故答案為：15．在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程______.【答案】【分析】先利用點差法求得直線的斜率，再利用點斜式即可求得所求直線方程.【詳解】因為，所以點在橢圓內(nèi)，設以點為中點的弦的兩端的坐標分別為，則，，兩式相減，得，則，設以點為中點的弦所在直線斜率為，則，所以所求直線方程為：，即.故答案為：. 四、雙空題16．已知拋物線的焦點為，直線過點且與拋物線交于，兩點，分別過，兩點作拋物線的切線，，設直線與交于點，則___________，面積的最小值為___________.【答案】     ;     【分析】設，，先根據(jù)導數(shù)幾何意義求得兩切線方程，然后聯(lián)立兩切線方程可求得交點坐標.因為，所以將弦長和點P到直線AB的距離帶入即可求得面積的最小值.【詳解】解：拋物線方程為，拋物線的焦點由題意，直線AB的斜率存在，設，，，聯(lián)立，得，，，由，得，求導得，，即 ①同理 ②由①②得，.點P到直線AB的距離，，易知，即時，，故面積的最小值為4.故答案為：；4.【點睛】思路點睛：設出A，B兩點的坐標，由導數(shù)幾何意義求出兩切線方程，然后聯(lián)立求解交點坐標；設出直線AB方程，并聯(lián)立拋物線方程，由弦長公式可得，由點到直線距離公式可得點P到直線AB的距離，從而求得，進而易得面積的最小值. 五、解答題17．設橢圓過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率為的直線交橢圓于、兩點，求弦的中點坐標及．【答案】（1）；（2）中點坐標為，．【分析】（1）依題意求出，再由離心率及，求出，即可求出橢圓方程；（2）首先求出直線的方程，設直線與的交點為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可求出中點坐標，再利用弦長公式求出弦長；【詳解】解：（1）將點代入橢圓的方程得，所以．又由，得，即，所以．所以橢圓的方程為．（2）過點且斜率為的直線方程為，設直線與的交點為，，聯(lián)立方程消去得，得，．設線段的中點坐標為，則，，即中點坐標為由弦長公式18．已知△ABC的頂點A(5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為.(1)求直線AC的垂直平分線方程；(2)求△ABC的面積.【答案】(1)(2)8 【分析】(1)先求出AC直線方程，再聯(lián)立直線CM與AC，得到交點坐標，最后求出AC的垂直平分線方程即可.(2)先求出長度為，再求出點，再求△ABC的邊的高為，最后由三角形面積公式求出面積即可.【詳解】（1）BH所在直線方程為，，直線垂直于，，，AC所在直線方程為，聯(lián)立直線CM與AC得，解得，直線CM與AC的交點坐標，頂點，的中點坐標為,直線AC的垂直平分線的斜率與AC邊上的高BH的斜率相等，直線AC的垂直平分線的斜率為，直線AC的垂直平分線方程為.（2）由（1）可知，設點則點，點在高線BH上，M在中線上，，解得，故點，由題意知邊上的高為， △ABC的面積為.19．已知拋物線經(jīng)過點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點，且，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）將拋物線上的點代入方程即可求解；（2）設出直線方程與拋物線聯(lián)立，然后根據(jù)向量數(shù)量積建立等式求解.【詳解】（1）∵拋物線過點，．．∴動點的軌跡的方程為．（2）設，，由得，，．，．，或．，舍去．，滿足．∴直線的方程為．∴直線必經(jīng)過定點．20．雙曲線：，已知是雙曲線上一點，分別是雙曲線的左右頂點，直線，的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線的焦距為，直線過點且與雙曲線交于、兩點，若，求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由點在雙曲線上得到，再由，的斜率之積為得到，從而得到，由此可求得雙曲線的離心率；（2）先由條件求得雙線曲方程，再聯(lián)立直線與雙曲線得到，又由得到，從而求得值，由此可得直線的方程.【詳解】（1）因為是雙曲線E上一點，可得，即為，由題意可得，，可得，即有.（2）由題意可得，，則雙曲線的方程為，易知直線斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，設，則，，①又，可得，②由①②可得， ，代入①可得，解得，則直線l的方程為.21．在平面直角坐標系中，已知圓，且圓被直線截得的弦長為2.（1）求圓的標準方程；（2）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求切線的方程；（3）若圓上存在點，由點向圓引一條切線，切點為，且滿足，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或或或；（3）【分析】（1）將圓方程整理為標準方程形式，可知，得到圓心坐標和半徑；由垂徑定理可利用弦長構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得，從而得到標準方程；（2）分為直線過原點和不過原點兩種情況，分別假設直線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（3）設，根據(jù)且可整理出點軌跡方程為：；根據(jù)在圓上，則兩圓有公共點，根據(jù)圓與圓位置關(guān)系的判定可構(gòu)造不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）圓方程可整理為：    圓的圓心坐標為，半徑圓心到直線的距離：截得的弦長為：，解得：圓的標準方程為：（2）①若直線過原點，可假設直線方程為：，即直線與圓相切    圓心到直線距離，解得：切線方程為：②若直線不過原點，可假設直線方程為：，即圓心到直線距離，解得：或切線方程為或綜上所述，切線方程為或或（3）假設，即又直線與圓相切，切點為    即：，整理得：又在圓上    兩圓有公共點，解得：即的取值范圍為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的應用問題；關(guān)鍵是明確直線與圓的位置關(guān)系通過圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系來確定；圓與圓的位置關(guān)系通過圓心距與兩圓半徑之和、半徑之差的關(guān)系來確定.22．已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，曲線C是以A、B為短軸的兩端點且離心率為的橢圓，設點P在第一象限且在雙曲線上，直線AP與橢圓相交于另一點T．(1)求曲線C的方程；(2)設點P、T的橫坐標分別為x1，x2，證明：x1x2＝1；(3)設△TAB與△POB（其中O為坐標原點）的面積分別為S1與S2，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)(0，1] 【分析】（1）設橢圓的方程為，依題意可得A（﹣1，0），B（1，0），推出b＝1，又橢圓的離心率為，解得a2，即可得出答案．（2）設點P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），則直線AP的方程為y＝k(x+1)，聯(lián)立橢圓的方程，解得x2，同理可得，進而可得x1?x2＝1．（3）由（2）得，由，得，再計算S1，S2，結(jié)合基本不等式得S12﹣S22的取值范圍．【詳解】（1）設橢圓的方程為，依題意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b＝1，因為橢圓的離心率為，所以，即a2＝4，所以橢圓方程為．（2）證明：設點P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），則直線AP的方程為y＝k(x+1)，聯(lián)立方程組，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4＝0，解得x＝﹣1或，所以，同理聯(lián)立直線AP和雙曲線可得，，所以x1?x2＝1．（3）由（2），因為，所以，即，因為點P在雙曲線上，則，所以，即，因為點P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點，所以，因為，所以．由（2）知，x1?x2＝1，即，設，則1＜t≤3，則．設f（t）＝5﹣t5﹣（t）≤5﹣4＝1，當且僅當，即t＝2時取等號，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)f（t）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，3]上單調(diào)遞減．因為，所以f(1)＜f(3)，所以的取值范圍為（0，1]． 

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