2022-2023學(xué)年江蘇省連云港市海頭高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知空間向量，，若與垂直，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由向量的數(shù)量積運(yùn)算求出，再結(jié)合向量模的運(yùn)算求解即可.【詳解】解：由空間向量，，若與垂直，則，即，即，即，即，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2．5名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍（每項(xiàng)比賽無(wú)并列冠軍），則不同的結(jié)果種數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】每項(xiàng)比賽的冠軍均可以被5名同學(xué)其中一名獲得，有5種方法，所以5名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍時(shí)，不同的結(jié)果種數(shù)為.故選：A.3．如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：D.4．已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用向量共面定理，設(shè)，列出方程組，即可求出實(shí)數(shù)．【詳解】，三向量共面，可設(shè)，即，，解得．故選：D．5．《孫子算經(jīng)》中曾經(jīng)記載，中國(guó)古代諸侯的爵位等級(jí)從高到低分為：公、侯、伯、子、男，共有五級(jí)．若給有巨大貢獻(xiàn)的甲、乙兩人進(jìn)行封爵，則在甲的爵位等級(jí)比乙高的條件下，甲、乙兩人爵位相鄰的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】應(yīng)用條件概率公式計(jì)算即可【點(diǎn)睛】記“甲的爵位等級(jí)比乙高為事件A”，“甲、乙兩人爵位相鄰為事件B”事件A包含10個(gè)基本事件：（公，侯），（公，伯），（公，子）（公，男），（侯，伯），（侯，子），（侯，男），（伯，子），（伯，男），（子，男）事件AB包含4個(gè)基本事件：（公，侯），（侯，伯），（伯，子），（子，男）則故選：C6．已知隨機(jī)變量X滿足，，下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)可得：,,故選：D7．某班將6名同學(xué)分配到甲?乙?丙三個(gè)社區(qū)參加勞動(dòng)鍛煉，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué)，則甲社區(qū)恰好分配2名同學(xué)的方法共有（    ）A．105種 B．150種 C．210種 D．660種【答案】C【分析】先選出2名同學(xué)安排到甲社區(qū)，再把剩下的4名同學(xué)分成兩組，分配到其他兩個(gè)社區(qū)即可.【詳解】先選出2名同學(xué)安排到甲社區(qū)，再把剩下的3名同學(xué)分成兩組，分配到其他兩個(gè)社區(qū)：．故選：C8．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動(dòng)點(diǎn)，，若∠BMD為鈍角，則實(shí)數(shù)t可能為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用即可求解.【詳解】分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)， ，故，,，,由可知，，即，又因?yàn)?/span>為鈍角，所以，由,,可知，，，整理得，解得，故選：D. 二、多選題9．下列命題是真命題的有（       ）A．直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．平面，的法向量分別為，，則D．平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則【答案】AD【分析】根據(jù)直線的方向向量、平面法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：∵，，∴，則，∴直線與垂直，故A正確；B：，，則，則，∴或，故B錯(cuò)誤；C：∵，，∴與不共線，∴不成立，故C錯(cuò)誤；D：∵點(diǎn)，，，∴，.∵向量是平面的法向量，∴，即，解得，故D正確.故選：AD10．下列等式正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可判斷A；利用排列數(shù)公式計(jì)算可判斷B，D；用特值法可判斷C.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，故A正確；∵，故B正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；∵，∴，故D正確. 故選：ABD.11．將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿BD折成如圖所示的直二面角，對(duì)角線BD的中點(diǎn)為O，下列說(shuō)法正確的有（    ）A． B．C．二面角的正切值為 D．點(diǎn)B到平面ACD的距離為【答案】AC【分析】由面面垂直可得線面垂直，進(jìn)而得線線垂直，根據(jù)勾股定理即可求解A,假設(shè)，進(jìn)而得到矛盾，即可判斷B，根據(jù)二面角的幾何求法即可求解C,根據(jù)等體積法即可判斷D.【詳解】因?yàn)槠矫?/span>平面,其交線為，且故平面，所以,由,所以,故A正確，假若，又因?yàn)?/span>,則平面,進(jìn)而,而這與矛盾，故不可能成立，故B錯(cuò)誤，取中點(diǎn)為，連接,因?yàn)?/span>,平面,故可得,進(jìn)而可得平面,因此,故為二面角的平面角,,故C正確.，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．（多選題）甲罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)古典概型求概率公式得到，由全概率公式計(jì)算，由條件概率計(jì)算BD選項(xiàng)中的概率.【詳解】因?yàn)榧坠拗杏?/span>2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)?/span>，，所以，故選項(xiàng)D正確；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；故選：ACD 三、填空題13．若，則x的值為_______【答案】4【分析】利用排列組合公式，將方程化為關(guān)于x的一元二次方程求解，注意x的范圍.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，可得或，又，故.故答案為：414．某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．（用數(shù)字作答）【答案】180【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】先在1中種植，有5種不同的種植方法，再在2中種植，有4種不同的種植方法，再在3中種植，有3種不同的種植方法，最后在4中種植，有3種不同的種植方法，所以不同的種植方案共有（種）．故答案為：180．15．若，則被4除得的余數(shù)為___________.【答案】1【分析】分別取，兩式相加可以求得，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)，判斷被4除得的余數(shù).【詳解】由題知，時(shí)，①，時(shí)，②，由①+②得，，故所以被4除得的余數(shù)是1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：二項(xiàng)式定理展開(kāi)可以用來(lái)解決除法余數(shù)問(wèn)題.16．在棱長(zhǎng)為的正四面體中，為上的一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為 __________．【答案】/【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點(diǎn)A到平面BMN的距離．【詳解】取BC中點(diǎn)E，連接AE，交BN于點(diǎn)O，連接DO，四面體ABCD是正四面體，N，E分別為AC，BC中點(diǎn)，為等邊的中心，且平面ABC，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以NB，NC所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中DO平行于軸，  在棱長(zhǎng)為的正四面體ABCD中，M為AD上的一點(diǎn)且，N為AC中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，解得，，設(shè)平面BMN的法向量，則，取，得，又，點(diǎn)到平面BMN的距離．故答案為：． 四、解答題17．某學(xué)習(xí)小組有3個(gè)男生和4個(gè)女生共7人.(1)將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？(2)將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？(3)從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？【答案】(1)144(2)3720(3)432 【分析】（1）按照插空法，先排男生，再排女生，即可求解；（2）分男生甲在最右邊和男生甲不站最左邊也不在最右邊兩種情況，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解；（3）按照先選再排的方法，結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將3個(gè)男生全排列，有種排法，排好后有4個(gè)空位，②，將4名女生全排列，安排到4個(gè)空位中，有種排法，則一共有種排法；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，男生甲在最右邊，有，②，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有，則有720+3000＝3720種排法；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在3名男生中選取2名男生，4名女生中選取2名女生，有種選取方法，②，將選出的4人全排列，承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有種情況，則有種不同的安排方法18．有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋子，袋子有大小、形狀完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球；乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球．從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再?gòu)脑摯又械瓤赡苊鲆粋€(gè)球．假設(shè)試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率都是．(1)求從袋子中摸出紅球的概率；(2)求在摸出白球的條件下，該球來(lái)自甲袋的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)全概率公式求解；（2）利用條件概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為白球"為事件，∵，∴，所以從袋子中摸出紅球的概率為．（2）因?yàn)?/span>是對(duì)立事件，，又，所以，所以在摸出白球的條件下，該球來(lái)自甲袋的概率為.19．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中.（1）若展開(kāi)式后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于67，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若為滿足的整數(shù)，且展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，試求的值和常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6和第7項(xiàng)，，（2），常數(shù)項(xiàng)為【分析】（1）根據(jù)條件求出的值，然后判斷第幾項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，并求之；（2）常數(shù)項(xiàng)其實(shí)說(shuō)明的指數(shù)為，根據(jù)這一特點(diǎn)，利用項(xiàng)數(shù)與第幾項(xiàng)的關(guān)系求解出的值.【詳解】解：（1）由已知整理得，顯然則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6和第7項(xiàng)（2）設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，為整數(shù)，則有，所以，或當(dāng)時(shí)，；時(shí)，（不合題意舍去），所以常數(shù)項(xiàng)為【點(diǎn)睛】對(duì)于形如的展開(kāi)式，展開(kāi)后一共有項(xiàng)，若為奇數(shù)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有項(xiàng)，分別為項(xiàng)，為若為偶數(shù)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有項(xiàng)，即為項(xiàng)（也可借助楊輝三角的圖分析）.20．在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)直線與平面所成角為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）連接，即可得到，再由線面垂直的性質(zhì)得到，即可證明平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件計(jì)算，求出兩平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大?。?/span>【詳解】（1）證明：連接，，，是等邊三角形，又是的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，平面，平面，又平面，平面平面．（2）解：平面，為與平面所成的角，即，又平面，所以，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令可得，平面，故為平面的一個(gè)法向量，，顯然二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．21．某校在體育節(jié)期間進(jìn)行趣味投籃比賽，設(shè)置了A，B兩種投籃方案．方案A：罰球線投籃，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分線外投籃，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙兩位同學(xué)參加比賽，選擇方案A投中的概率都為，選擇方案B投中的概率都為，每人有且只有一次投籃機(jī)會(huì)，投中與否互不影響．(1)若甲同學(xué)選擇方案A投籃，乙同學(xué)選擇方案B投籃，記他們的得分之和為X，，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問(wèn)：他們都選擇哪種方案投籃，得分之和的均值較大?【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)答案見(jiàn)解析. 【分析】（1）求出及的可能值，再求出各個(gè)值的概率，列出分布列，求出期望作答.（2）求出都選擇方案A，都選擇方案B投籃得分之和的均值，再比較大小即可作答.【詳解】（1）依題意，甲投中的概率為，乙投中的概率為，于是得，解得，的可能值為0，2，3，5，，，，，所以的分布列為：0235數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則兩人都選擇方案A投籃得分和的均值為，都選擇方案B投籃得分和的均值為，有，，則，，若，即，解得，若，即，解得，若，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A投籃，得分之和的均值較大，當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案B投籃，得分之和的均值相等，當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案B投籃，得分之和的均值較大.22．在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)P在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示線面夾角即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以，又因?yàn)?/span>，，平面，，所以平面.（2）取的中點(diǎn)O，連接，四邊形為菱形，且，所以.因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又因?yàn)?/span>，，所以平面.取中點(diǎn)D，連結(jié)，以O為原點(diǎn)，，，為空間基底建立直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，，所以.設(shè)，可得點(diǎn)，.由題意解得或（舍），即. 

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