一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
故選：A.
2．若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】確定，計(jì)算得到答案.
【詳解】，則.
故選：C.
3．，是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A．分析方向；B．分析夾角；C．根據(jù)數(shù)量積計(jì)算結(jié)果進(jìn)行判斷；D．根據(jù)模長(zhǎng)運(yùn)算進(jìn)行判斷.
【詳解】A．可能方向不同，故錯(cuò)誤；
B．，兩向量夾角未知，故錯(cuò)誤；
C．，所以，故錯(cuò)誤；
D．由C知，故正確，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積運(yùn)算以及向量相等的概念，主要考查學(xué)生對(duì)向量的綜合理解，難度較易.
4．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】計(jì)算直線斜率，再確定傾斜角即可.
【詳解】直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，，則，.
故選：A.
5．圓心在軸上，并且過(guò)點(diǎn)和的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)圓心為，由可求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，再求出圓的半徑，即可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】設(shè)圓心為，由可得，解得，
所以，圓心為，圓的半徑為，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
6．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的值是（ ）
A．60B．30C．15D．8
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，
所以.
故選：A
7．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合點(diǎn)在橢圓內(nèi)部的特點(diǎn)、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)焦點(diǎn)在橫軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
設(shè)，設(shè)，
，
點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，有，
要想該不等式恒成立，只需，
而，
故選：B
8．已知圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則到直線的距離小于1，代入點(diǎn)到直線的距離公式，可得答案.
【詳解】由圓的方程，可得圓心為原點(diǎn)，半徑為2，
若圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則到直線的距離小于1，
又直線的一般方程為，
，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
二、多選題
9．已知直線，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)第一象限
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，由兩直線的位置關(guān)系列出方程即可判斷AB，由三角形的面積公式即可判斷C，畫(huà)出圖像解析判斷D.
【詳解】由題知，當(dāng)時(shí)，，解得，或，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，可得，解得，故B正確；
在直線中，當(dāng)，可得，當(dāng)，可得，
所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，的圖像如上所示，故D正確；
故選：BD
10．在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的傾斜角為的直線與相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，的面積是，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合的面積是可得，；
由公式，可得，.
【詳解】由題意得，設(shè)直線：即，
則點(diǎn)到直線的距離是，
所以，得，所以，
，，所以AC正確，
故選：AC.
11．已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線過(guò)定點(diǎn)B．若，則的面積為
C．的最小值為D．的面積的最大值為2
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，直線變形后求出所過(guò)定點(diǎn)；
B選項(xiàng)，求出，進(jìn)而由直線垂直關(guān)系得到，得到，從而求出到的距離和，求出面積；
C選項(xiàng)，求出到的距離的最大值，從而由垂徑定理得到的最小值；
D選項(xiàng)，表達(dá)出面積為，利用基本不等式求出最大值.
【詳解】A選項(xiàng)，直線變形為，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，易知道，若直線，則，解得，
此時(shí)直線，
到的距離，則，
故的面積為，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，直線過(guò)定點(diǎn)，
所以到的距離的最大值為，
由于，故此時(shí)取得最小值，
最小值為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，設(shè)到的距離為，
則面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確．
故選：ABD．
12．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列B．
C．的最大值為D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，即可判斷AB，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可判斷C，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?，，所以等差?shù)列為遞增數(shù)列，故AB錯(cuò)誤；
因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋蔇正確.
故選：ABC
三、填空題
13．已知直線，直線，若，則= .
【答案】2
【分析】根據(jù)直線的平行可得出關(guān)于m的方程，求得m的值，檢驗(yàn)后即得答案.
【詳解】由題意直線，直線，
若，則有，
即，解得或，
當(dāng)時(shí)，，直線，兩直線重合，不合題意，
當(dāng)時(shí)，，直線，則，
故
故答案為：2
14．以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得出半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的半徑為1，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故答案為：
15．等比數(shù)列中，，，則 ．
【答案】108
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，求得，繼而根據(jù)求得答案.
【詳解】由題意等比數(shù)列中，，，
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，
故，
故答案為：108
16．已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】9
【分析】先運(yùn)用橢圓與雙曲線的基本量的關(guān)系，依據(jù)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用，將化為積定的形式，運(yùn)用基本不等式求出最小值.
【詳解】先根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系式得到橢圓的焦點(diǎn)分別為點(diǎn)與點(diǎn)，
于是點(diǎn)與點(diǎn)也是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，
因此，最后使用基本不等式中“1”的代換，
于是就有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
因此的最小值為9．
故答案為：9
四、解答題
17．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求角B；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得，結(jié)合角的范圍即可求得；
（2）由（1）中以及，利用余弦定理計(jì)算可解得，再由三角形面積公式即可得的面積.
【詳解】（1）根據(jù)，由正弦定理可得，
又，所以可得，即；
因?yàn)椋?br>即．
（2）由結(jié)合（1）中的結(jié)論，
由余弦定理可得，即，
解得，即，
所以．
即的面積為.
18．已知直線與直線交于點(diǎn).
(1)求過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線的方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線方程即可；
（2）討論直線在兩坐標(biāo)軸上的截距是否為0進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）聯(lián)立，解得，即，
由題意，設(shè)直線的方程為，
將代入直線方程，得，即，
所以直線的方程為.
（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，直線的斜率為，
則直線的方程為，即；
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，
將代入直線方程，得，即，
所以直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為或.
19．已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負(fù)半軸上.
(1)求圓的方程；
(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出圓心,再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;
（2）根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng),再結(jié)合面積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）由已知可設(shè)圓心，則，解得或（舍），
所以圓的方程為.
（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直線的方程為或
.
20．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為；
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，焦點(diǎn)在x軸上；
(3)x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】(1)根據(jù)離心率與長(zhǎng)軸的定義，求解出橢圓的、、，再按焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸分別寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
(2)根據(jù)離心率與頂點(diǎn)坐標(biāo)的定義，求解橢圓的、、即可
(3)根據(jù)為等腰直角三角形，利用勾股定理求解出、、的關(guān)系即可.
【詳解】（1）由題意得：，則，
又因?yàn)?，所以?br>則由橢圓的幾何性質(zhì)得：，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.
（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，由題設(shè)得：，
又因?yàn)?，所以?br>則由橢圓的幾何性質(zhì)得：，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（3）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
如圖所示，為等腰直角三角形，為斜邊上的中線，且，，
又因?yàn)榻咕酁?，所以，
則由橢圓的幾何性質(zhì)得：，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
21．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，且過(guò)點(diǎn)
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用雙曲線參數(shù)關(guān)系及點(diǎn)在雙曲線上列方程求，即得方程；
（2）根據(jù)所得雙曲線方程確定，且到軸距離為，結(jié)合三角形面積公式求面積即可.
【詳解】（1）由且，則，
又點(diǎn)在雙曲線上，則，
綜上，，即雙曲線的方程為.
（2）由（1）知：，而到軸距離為，
所以的面積為.
22．已知數(shù)列滿足：．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)，
【分析】（1）將整理變形即可得為定值，利用等比數(shù)列定義即可得出證明；
（2）由（1）中的結(jié)論利用等比數(shù)列即可求得，再由分組求和利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】（1）由可得，
又，可得為定值，
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知，，可得，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為
．
即.

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