2022-2023學(xué)年江蘇省南京市臨江高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．10個(gè)相同的小球分成3堆，每堆至少一個(gè)，則有種分法A． B． C． D．8【答案】D【分析】10個(gè)相同的小球分成3堆，只需關(guān)注三堆中小球的個(gè)數(shù)，列舉求解即可.【詳解】根據(jù)題意，10個(gè)相同的小球分成3堆，每堆至少1個(gè)，就是將10個(gè)球分成3組， 可以分成，，，，，，，，共8種分法.故選：D2．下列函數(shù)既是奇函數(shù)且又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】逐一分析對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的奇偶性和區(qū)間上單調(diào)性即可.【詳解】由題知A選項(xiàng)中為非奇非偶函數(shù)，故A選項(xiàng)不正確，B選項(xiàng)中為非奇非偶函數(shù)，故B選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)中是奇函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)有或，故在上不單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)不正確，D選項(xiàng)中是奇函數(shù)，求導(dǎo)得，又，，故恒成立，滿足在上單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，屬于基礎(chǔ)題.3．在2016年“兩會(huì)”記者招待會(huì)上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中選出3名進(jìn)行提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且國內(nèi)記者不能連續(xù)提問，則不同的提問方式有（  ）A．420種 B．260種 C．180種 D．80種【答案】B【分析】應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)，結(jié)合排列、組合數(shù)求不同分類下的提問方式，最后加總即可.【詳解】若人中有名中國記者和名國外記者，則不同的提問方式的種數(shù)是，若人中有名中國記者和名國外記者，則不同的提問方式的種數(shù)是，故所有的不同的提問方式的種數(shù)是.故選：B4．已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（    ）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，再利用累加法求.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又是等差數(shù)列，故首項(xiàng)為3，公差為2，所以，所以．故選：A.5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（     ）A．異面直線與所成的角為B．二面角的正切值為C．直線與平面所成的角為D．四面體的外接球體積為【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角，二面角及線面角，判斷ABC選項(xiàng)，D選項(xiàng)，四面體的外接球即為正方體的外接球，從而求出外接球半徑和體積.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，A選項(xiàng)，設(shè)異面直線與所成的角為，則，故異面直線與所成的角為，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則有，令得：，則，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，顯然為銳角，則，所以，，故二面角的正切值為，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，則，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，四面體的外接球即為正方體的外接球，設(shè)外接球半徑為R，則，則外接球體積為，D正確.故選：C6．的展開式中的系數(shù)為（  ）A．15 B． C．5 D．【答案】C【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，故展開式中的系數(shù)為．故選：C．7．已知在區(qū)間上不單調(diào)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（  ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將題意轉(zhuǎn)換為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)求解即可【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有零點(diǎn)，故，令有，故，所以故選：D.8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，若平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，則B與D之間距離為（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，∵AB＝1，BC，∴AC＝2，∵，∴BE＝DF，則AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，∴，∵，∴，則||，即B與D之間距離為，故選：C． 二、多選題9．設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】通過迭代可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)即可【詳解】由題意知，，，，，.由此可知數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.即故.故選：ABC.10．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】令，則，原等式可化為，結(jié)合二項(xiàng)展開式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】令，則，原等式可化為，令，則，故A項(xiàng)正確；的展開式的通項(xiàng)為，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則①，令，則②，由①+②得，又，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確．故選：AD.11．設(shè)是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若時(shí)，圖像如圖所示，則可以使成立的的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像及奇偶性分析函數(shù)的取值規(guī)律及其導(dǎo)函數(shù)的取值規(guī)律，由此求出使成立的的取值范圍.【詳解】由時(shí)，圖像可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，又是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，所以所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故選：ABD.12．已知空間三點(diǎn)，，，四邊形ABCD為平行四邊形，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．點(diǎn)C的坐標(biāo)為 B．C．點(diǎn)D到直線AB的距離為 D．平行四邊形ABCD的面積為【答案】BD【分析】A選項(xiàng)通過直接計(jì)算；B選項(xiàng)直接求出，余弦定理計(jì)算即可；C選項(xiàng)利用空間點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算；D選項(xiàng)按照面積公式計(jì)算.【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，解得，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，，正確；C選項(xiàng)： ，，方向上的單位向量，則點(diǎn)D到直線AB的距離為，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，點(diǎn)D到直線AB的距離為1，平行四邊形ABCD的面積為，正確.故選：BD. 三、填空題13．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：13   26   5   410   9   8    7……按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第1個(gè)數(shù)為          ．【答案】【分析】觀察三角形數(shù)陣，第行結(jié)束的時(shí)候一共出現(xiàn)的數(shù)的個(gè)數(shù)，即為第行從左向右的第1個(gè)數(shù)，遞推出所得答案即可．【詳解】第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，目前一共3個(gè)數(shù)，且第二行第一個(gè)數(shù)為3，第三行3個(gè)數(shù)，目前一個(gè)6個(gè)數(shù)，且第三行第一個(gè)數(shù)為6，第四行4個(gè)數(shù)，目前一個(gè)10個(gè)數(shù)，且第四行第一個(gè)數(shù)為10，依此類推第行結(jié)束的時(shí)候一共出現(xiàn)的數(shù)的個(gè)數(shù)，即為第行從左向右的第1個(gè)數(shù)，第行從左向右的第1個(gè)數(shù)為.故答案為：.14．如圖所示，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，、、、、、、、、、、、分別為各棱的中點(diǎn)，則的不同值有      個(gè)． 【答案】3【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后得到各點(diǎn)坐標(biāo)，算出和，利用數(shù)量積即可得到答案【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，，，，所以則有3個(gè)不同的值，故答案為：315．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排法共有      種【答案】36【分析】將丁、戊兩人排好，應(yīng)用組合排列分別求甲乙看作整體與丙插入隊(duì)列、甲乙丙看作整體插入隊(duì)列計(jì)數(shù)，最后加總.【詳解】將丁、戊兩人排好有種，隊(duì)列中有3空，甲乙看作一個(gè)整體有種，再將其與丙插入3個(gè)空中的2個(gè)則種，故種；甲乙丙看作一個(gè)整體有2種，再插入3個(gè)空中的1個(gè)則種，故種；所以共有種.故答案為：3616．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是          .【答案】【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，判斷其取最大值的位置，由于函數(shù)在區(qū)間上有最大值，故最大值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)應(yīng)在區(qū)間內(nèi)，由此可以得到參數(shù)的不等式，解不等式即可得到的取值范圍【詳解】， 令 解得；令 ，解得或 由此可得在上時(shí)增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故函數(shù)在處有極大值，在處有極小值， ，解得 故答案為： 四、解答題17．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＋an＝4n.(1)求數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和S100；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【答案】(1)10000(2)an＝2n－1 【分析】（1）利用并項(xiàng)求和法求得.（2）結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得【詳解】（1）∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10 000.（2）an＋1＋an＝4n，①an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，綜上所述，.18．已知5名同學(xué)站成一排，要求甲站在正中間，乙不站在兩端，記滿足條件的所有不同的排法種數(shù)為m．(1)求m的值;(2)求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】(1)12(2)84 【分析】（1）首先排甲，再將乙安排再甲的左右兩位置中的一個(gè)，最后將其余3人全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；（2）由（1）可得，寫出展開式的通項(xiàng)，再令，即可求出，最后代入計(jì)算可得；【詳解】（1）解：首先將甲排在中間位置，再排乙，乙排在甲左右兩個(gè)位置中的一個(gè)位置，再排其余3人，則所有不同的排法種數(shù)．（2）解：由（1）知，，∴的展開式的通項(xiàng)公式為，                 令，解得，                                           展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．19．已知數(shù)列{an}滿足＋＋＋…＋＝n2＋n.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】（1） an＝n·2n＋1；（2）Sn=－ .【分析】（1）用原式減去當(dāng)n≥2時(shí)的式子，即可求出an，再驗(yàn)證n＝1時(shí)是否符合即可；（2）求出bn，再利用錯(cuò)位相減法可求和.【詳解】（1）∵＋＋＋…＋＝n2＋n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1，兩式相減得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2).又∵當(dāng)n＝1時(shí)，＝1＋1，∴a1＝4，滿足an＝n·2n＋1.∴an＝n·2n＋1.（2）∵bn＝＝n(－2)n，∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n，－2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n(－2)n＋1，∴兩式相減得3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－，∴Sn＝－.20．如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，對(duì)角線，將△沿著對(duì)角線BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一點(diǎn)M，且平面ABCD，．(1)求證：平面平面ABD；(2)求點(diǎn)M到平面ABE的距離；(3)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)1；(3). 【分析】（1）過E作EO垂直于BD于O，連接AO，由勾股定義易得，由菱形的性質(zhì)有，再根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求的坐標(biāo)及面ABE的法向量，應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)面距.（3）由（2）求得面MBA的法向量，結(jié)合（2）中面ABE的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值.【詳解】（1）過E作EO垂直于BD于O，連接AO，因?yàn)?/span>，，故，同理，又，所以，即．因?yàn)?/span>ABCD為菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD．（2）以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．所以，，．面ABE的法向量為，所以，令，則．又，則點(diǎn)M到面ABE的距離為．（3）由（2）得：面ABE的一個(gè)法向量為，且，．若面MBA的法向量為，則，令，則．所以，故二面角的正弦值為．21．已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值．【分析】（1）求出切線的斜率和切點(diǎn)的坐標(biāo)，即得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即得函數(shù)的極值.【詳解】1 ，，所以切線的斜率為，因?yàn)?/span>，所以切線方程為，即．2，令，x10極小所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，取極小值，極小值為，無極大值．22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)答案不唯一，具體見解析；(2)答案不唯一，具體見解析. 【分析】(1)確定函數(shù)的定義域并求導(dǎo)，再對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論即可得函數(shù)的單調(diào)性.(2)求出函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求出的最大值，再對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論即可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）依題意，，，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，而，函數(shù)在內(nèi)只有1個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在內(nèi)只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，即，函數(shù)在內(nèi)只有1個(gè)零點(diǎn)，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)只有1個(gè)零點(diǎn)，若，即，函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，綜上得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)，當(dāng)，函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在內(nèi)只有1個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù). 

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