2022-2023學年江蘇省連云港市灌南高級中學高二下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各1張，可以組成不同的幣值一共有（    ）A．4種 B．7種 C．15種 D．18種【答案】C【分析】依據(jù)題意可將人民幣分成選取1張，選取2張，選取3張，選取4張進行分類計算．【詳解】解：選取1張人民幣共有種不同的情況，選取2張人民幣共有種不同的情況，選取3張人民幣共有種不同的情況，選取4張人民幣共有種不同的情況，故共有種不同的幣值．故選：．2．已知空間中三點，，，則（    ）A．與是共線向量 B．與向量方向相同的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是【答案】D【分析】根據(jù)共線向量定理，單位向量，法向量，向量夾角的定義，依次計算，即可得到答案；【詳解】對A，，又不存在實數(shù)，使得，與不是共線向量，故A錯誤；對B，，與向量方向相同的單位向量是，故B錯誤；對C，，，故C錯誤；對D，設為面的一個法向量，，，取，平面的一個法向量是，故D正確；故選：D3．已知的二項展開式中，第項與第項的二項式系數(shù)相等，則所有項的系數(shù)之和為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)第項與第項的二項式系數(shù)相等列出等式，解出，再用賦值法即可得出結果.【詳解】解：因為，且第項與第項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，取，所以所有項的系數(shù)之和為：.故選：C4．某班有名學生，一次數(shù)學考試的成績近似地服從正態(tài)分布，平均分為，標準差為，理論上說在分到分的人數(shù)約為（    ）附：若隨機變量，則，，.A． B． C． D．【答案】B【分析】計算出，乘以即可得解.【詳解】因為數(shù)學成績服從正態(tài)分布，所以，，所以，，因此，理論上說在分到分的人數(shù)約為.故選：B.5．已知某種藥物對某種疾病的治愈率為，現(xiàn)有位患有該病的患者服用了這種藥物，位患者是否會被治愈是相互獨立的，則恰有位患者被治愈的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用二項分布概率計算公式即可解得【詳解】由已知位患者被治愈是相互獨立的，每位患者被治愈的概率為，則不被治愈的概率為所以位患者中恰有1為患者被治愈的概率為故選：B【點睛】結論點睛：二項分布概率公式，n是試驗次數(shù)，k是指定事件發(fā)生的次數(shù)，p是指定事件在一次試驗中發(fā)生的概率，考查學生的邏輯能力與運算能力，屬于基礎題.6．新高考數(shù)學中的不定項選擇題有4個不同選項，其錯誤選項可能有0個、1個或2個，這種題型很好地凸顯了“強調在深刻理解基礎之上的融會貫通、靈活運用，促進學生掌握原理、內化方法、舉一反三”的教考銜接要求．若某道數(shù)學不定項選擇題存在錯誤選項，且錯誤選項不能相鄰，則符合要求的4個不同選項的排列方式共有（    ）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】當錯誤選項恰有1個時，直接全排列即可；當錯誤選項恰有2個時，利用插空法求解.最后將兩種情況相加即可.【詳解】當錯誤選項恰有1個時，4個選項進行排列有種；當錯誤選項恰有2個時，先排2個正確選項，再將2個錯誤選項插入到3個空位中，有種．故共有種．故選：B．7．設兩個相關變量和分別滿足下表：若相關變量和可擬合為非線性回歸方程，則當時，的估計值為（    ）（參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將非線性回歸方程化為線性，令，則可得，根據(jù)數(shù)據(jù)及公式分別求出，代入非線性回歸方程可得變量和之間的關系，將代入化簡計算即可.【詳解】解：因為非線性回歸方程為：，則有，令，即，列出相關變量關系如下：01334所以，，，，所以，所以，所以，即，即，因為，所以，當時，.故選：B8．如圖所示空間直角坐標系中，是正三棱柱的底面內一動點，，直線和底面所成角為，則P點坐標滿足（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標系求得，以及平面的一個法向量，根據(jù)線面夾角的坐標運算即可得P點坐標滿足的等式關系.【詳解】解：由正三棱柱，且，根據(jù)坐標系可得：，又是正三棱柱的底面內一動點，則，所以，又平面，所以是平面的一個法向量，因為直線和底面所成角為，所以，整理得，又，所以.故選：A. 二、多選題9．下列說法正確的有（    ）A．在統(tǒng)計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關系的一種統(tǒng)計方法B．離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和C．線性回歸方程對應的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點D．在回歸分析中，決定系數(shù)越大，模擬的效果越好【答案】ABD【分析】利用獨立性檢驗的概念可判斷A選項；利用離散型隨機變量的概念可判斷B選項；利用回歸直線的概念可判斷C選項；利用決定系數(shù)與模擬效果的關系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在統(tǒng)計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關系的一種統(tǒng)計方法，A對；對于B選項，離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和，B對；對于C選項，線性回歸方程對應的直線必過樣本中心點，不一定過樣本數(shù)據(jù)點中的一個點，C錯；對于D選項，在回歸分析中，決定系數(shù)越大，模擬的效果越好，D對.故選：ABD.10．某工程隊有6輛不同的工程車，按下列方式分給工地進行作業(yè)，每個工地至少分1輛工程車，則下列結論正確的有（    ）A．分給甲?乙?丙三地每地各2輛，有120種分配方式B．分給甲?乙兩地每地各2輛，分給丙?丁兩地每地各1輛，有180種分配方式C．分給甲?乙?丙三地，其中一地分4輛，另兩地各分1輛，有60種分配方式D．分給甲?乙?丙?丁四地，其中兩地各分2輛，另兩地各分1輛，有1080種分配方式【答案】BD【分析】對A，工地不同，工程車不同，可分步，甲先選2輛，然后乙選2輛，剩下2輛給丙；對B，同A相同方法可得；對C，由于不知哪個工地是4輛車，因此可把6輛車按分組，再全排列可得；對D，與C相同方法，先分組再分配．計算后判斷各選項．【詳解】對A，先從6輛工程車中分給甲地2輛，有種方法，再從剩余的4輛工程車中分給乙地2輛，有種方法，最后的2輛分給丙地，有種方法，所以不同的分配方式有（種），故A錯誤；對B，6輛工程車先分給甲?乙兩地每地各2輛，有種方法，剩余2輛分給丙?丁兩地每地各1輛，有種方法，所以不同的分配方式有（種），故B正確；對C，先把6輛工程車分成3組：4輛?1輛?1輛，有種方法，再分給甲?乙?丙三地，所以不同的分配方式有（種），故C錯誤；對D，先把6輛工程車分成4組：2輛?2輛?1輛?1輛，有種方法，再分給甲?乙?丙?丁四地，所以不同的分配方式有（種），故D正確.故選：BD.11．如圖所示，平行六面體，其中，，，，下列說法中正確的是（    ）A．B．C．直線AC與直線是相交直線D．與AC所成角的余弦值為【答案】AB【分析】A選項，利用空間向量運算法則得到，平方后，由向量數(shù)量積公式求出，求出，A正確；B選項，求出，，得到B正確；C選項，作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，點平面，而點平面，從而得到C錯誤；D選項，先得到，，從而求出，，利用空間向量余弦夾角公式求出答案.【詳解】由空間向量運算法則得到：，所以，故，A正確；因為，所以，故，，B正確；連接，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，點平面，而點平面，故直線AC與直線是異面直線，C錯誤；，，，又，，故，設與AC所成角為，所以故與AC所成角的余弦值為，D錯誤.故選：AB12．下列說法正確的是    （    ）A．設隨機變量X服從二項分布，則B．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則C．；D．已知隨機變量滿足，若，則隨著的增大而減小【答案】AB【分析】結合正態(tài)分布的對稱性和數(shù)學期望與方差計算公式和運算性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由隨機變量X服從二項分布，則，所以A正確；對于B中，由隨機變量X服從正態(tài)分布，且，可得，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以B正確；對于C中，根據(jù)期望和方差的性質，可得，，所以C不正確；對于D中，由隨機變量滿足，可得，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質可知：當時，隨的增大而增大，所以D不正確.故選：AB. 三、填空題13．在A、B、C三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有，，的人患了流感假設這三個地區(qū)的人口比例為5：7：8，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人，則這個人患流感的概率為______【答案】【分析】根據(jù)概率的意義計算．假設三個地區(qū)總人口為200人，然后求出患流感的總人數(shù)后可得．【詳解】假設三個地區(qū)總人口為2000人，因為A、B、C三個地區(qū)人口比例為5：7：8，因此可得A、B、C三個地區(qū)人口數(shù)分別為500、700、800，又這三個地區(qū)分別有，，的人患了流感，所以這三個地區(qū)患了流感的人數(shù)分別為，，，所以所求概率為．故答案為：0.0485．14．若，且，則實數(shù)的值為_________．【答案】【分析】令，則原式化為，再令、，結合已知條件，即可得到方程，解得即可.【詳解】因為，令，則，令則，令則，因為，即，即，所以，即，解得.故答案為：15．已知兩隨機變量X，Y滿足，若，則__________．【答案】【分析】先由，得均值，方差，然后由得，再根據(jù)公式求解即可．【詳解】解：由題意，知隨機變量服從二項分布，，，則均值，方差，又，，，．故答案為：．16．如圖，兩條異面直線a，b所成角為，在直線上a，b分別取點，E和點A，F，使且.已知，，.則線段______.【答案】或【分析】根據(jù)空間向量的加法，利用向量數(shù)量積的性質計算模長，建立方程，可得答案.【詳解】因為，所以，由于，，則，，又因為兩條異面直線a，b所成角為，所以或，故，可得或.故答案為：或 四、解答題17．已知向量，，.(1)當時，若向量與垂直，求實數(shù)x和k的值；(2)當時，求證：向量與向量，共面.【答案】(1)；；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)可求得，再根據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解即可.（2）設，根據(jù)條件可得，根據(jù)共面向量定理即得.【詳解】（1）因為,所以，解得，因為，向量與垂直，所以，∴，∴；所以實數(shù)和的值分別為和；（2）當時，，設（），則，，解得，即，所以向量與向量，共面.18．（1）解不等式；（2）若，求正整數(shù)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)計算公式化簡后代入檢驗求解即可；（2）由組合數(shù)的運算及組合數(shù)的性質化簡得出方程，驗證滿足，由單調性確定唯一解即可.【詳解】（1）因為，所以且，，即且，，經(jīng)驗算，可解得；（2）因為， 所以，則滿足題意，且在且時遞增，因此是唯一解.19．某省2021年開始將全面實施新高考方案.在6門選擇性考試科目中，物理?歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治?地理?化學?生物這4門科目采用等級轉換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共5個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%和2%，并按給定的公式進行轉換賦分.該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治?地理?化學?生物這4門科目的原始分進行了等級轉換賦分.（1）某校思想政治學科獲得等級的共有10名學生，其原始分及轉換分如表：原始分9190898887858382轉換分10099979594918886人數(shù)11211211現(xiàn)從這10名學生中隨機抽取3人，設這3人中思想政治轉換分不低于94分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）假設該省此次高一學生思想政治學科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則．請解決下列問題：若以此次高一學生思想政治學科原始分等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約為多少分？（結果保留整數(shù)）附：若，.【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學期望：；（2）71．【分析】（1）寫出隨機變量的所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布求解分布列與數(shù)學期望；（2）根據(jù)服從正態(tài)分布求出，即可求解參數(shù)．【詳解】解：（1）隨機變量的所有可能的取值為0，1，2，3，根據(jù)條件得，，，則隨機變量的分布列為0123數(shù)學期望；（2）設該劃線分為，由得，，令，則，依題意，，即因為當時，，所以，所以，故，取.綜上：估計該劃線分大約為71分．20．為推動實施健康中國戰(zhàn)略，樹立國家大衛(wèi)生?大健康觀念，手機APP也推出了多款健康運動軟件，如“微信運動”，某運動品牌公司140名員工均在微信好友群中參與了“微信運動”，且公司每月進行一次評比，對該月內每日運動都達到10000步及以上的員工授予該月“運動達人”稱號，其余員工均稱為“參與者”，下表是該運動品牌公司140名員工2021年1月-5月獲得“運動達人”稱號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345“運動達人”員工數(shù)1201051009580(1)由表中看出，可用線性回歸模型擬合“運動達人”員工數(shù)與月份之間的關系，求關于的回歸直線方程，并預測該運動品牌公司6月份獲得“運動達人”稱號的員工數(shù)；(2)為了進一步了解員工們的運動情況，選取了員工們在3月份的運動數(shù)據(jù)進行分析，統(tǒng)計結果如下： 運動達人參與者合計男員工6080女員工2060合計10040140請補充上表中的數(shù)據(jù)（直接寫出，的值），并根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關？參考公式：，，（其中）.0.100.050.0250.0012.7063.8415.0246.635 【答案】(1)，6月份獲得“運動達人”稱號的有（人）(2)表格答案見解析，沒有95%的把握認為獲得“運動達人”與性別有關 【分析】（1）利用公式可求線性回歸方程，并據(jù)此可得預測該運動品牌公司獲得“運動達人”稱號的員工數(shù)；（2）根據(jù)列聯(lián)表可求參數(shù)的值，根據(jù)公式可求，結合臨界值表可判斷是否有95%的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關.【詳解】（1），，，，∴，由過，故，∴，∴6月份獲得“運動達人”稱號的有（人）.（2），，，∴沒有95%的把握認為獲得“運動達人”與性別有關.21．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中點．(1)求平面與平面ABC夾角的余弦值；(2)在直線CD上是否存在一點P，使得BP與平面所成角的正弦值為，若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或． 【分析】（1）根據(jù)題設構建空間直角坐標系，求出面ABC、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求面面角的余弦值；（2）設，得，結合面法向量，及線面角正弦值，應用空間向量夾角坐標表示列方程求參數(shù)，即可判斷存在性并求長度.【詳解】（1）因為平面ABC，平面ABC，則，，以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以平面ABC的一個法向量為，設平面的法向量為，而，所以，即，令，則，故，所以，又平面與平面ABC夾角為銳角，所以平面與平面ABC夾角的余弦值為；（2）假設存在點P，設，，設BP與平面所成的角為，由（1）知，平面的法向量為，則，所以，解得或，在線段CD上存在一點P，使BP與面所成角的正弦值為，此時或．22．為了拓展學生的知識面，提高學生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學生良好的科學素養(yǎng)，某校組織學生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分：從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分.學生甲參加答題競賽，每次答對的概率為，各次答題結果互不影響.(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；(2)記甲第i次答題所得分數(shù)的數(shù)學期望為.①寫出與滿足的等量關系式（直接寫出結果，不必證明）：②若，求i的最小值.【答案】(1)；(2)①，，且；②5. 【分析】（1）甲甲前3次答題得分之和為40分的事件是甲前3次答題中恰答對一次的事件，再利用相互獨立事件概率的乘法公式計算作答.（2）①求出，再分析、寫出與滿足的等量關系式作答；②利用構造法求出的通項，列出不等式并結合單調性作答.【詳解】（1）甲前3次答題得分之和為40分的事件是：甲前3次答題中僅只答對一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率.（2）①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，則，甲第2次答題得40分、20分、10分的概率分別為，則，顯然，，甲第次答題所得分數(shù)的數(shù)學期望為，因此第次答對題所得分數(shù)為，答錯題所得分數(shù)為10分，其概率分別為，于是甲第i次答題所得分數(shù)的數(shù)學期望為，所以與滿足的等量關系式是：，，且；②由①知，，當時，，而，因此數(shù)列以為首項，為公比的等比數(shù)列，，于是，由得：，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，則有正整數(shù)，所以i的最小值是5. 

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