2022-2023學年廣東省珠海市田家炳中學高二下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．書架上層放有5本不同的語文書，下層放有4本不同的數(shù)學書，從書架上任取1本書的取法種數(shù)為（    ）A．9 B．4 C．5 D．20【答案】A【分析】根據(jù)分類加數(shù)計數(shù)原理直接求解即可.【詳解】根據(jù)分類計數(shù)原理可知，不同的取法有種,故選：A.2．已知等差數(shù)列滿足，若為的前n項和，則（    ）A．45 B．54 C．63 D．90【答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式進行計算.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，所以.故選：A3．在等比數(shù)列中，已知，，則的值為（    ）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】利用等比中項性質(zhì)列式求解【詳解】等比數(shù)列中，.故選：B.4．已知，則等于A．-2 B．0 C．2 D．4【答案】A【分析】對函數(shù)的解析式求導，得到其導函數(shù)，把代入導函數(shù)中，列出關于的方程，進而得到的值.【詳解】，，令，得到，解得.故選：A.【點睛】在求導過程中，要仔細分析函數(shù)解析式的特點，緊扣法則，記準公式，預防運算錯誤．5．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（    ）A．24 B．48 C．60 D．72【答案】B【分析】先考慮個位數(shù)的排法，再考慮其余位置的元素的排法，利用乘法原理可得所求的偶數(shù)的個數(shù).【詳解】個位數(shù)只能為2或4，因此個位數(shù)有2種排法，其余4個位置可排余下4個不同的元素，共有種排法，由乘法原理可得共有不同的偶數(shù)的個數(shù)為種.故選：B.【點睛】本題考慮排列的應用，對于排數(shù)問題，注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮，本題屬于基礎題.6．在的二項展開式中，常數(shù)項的值為（    ）A．8 B．20 C．120 D．160【答案】D【分析】直接可觀察出常數(shù)項為展開式的第四項，求出即可.【詳解】在的二項展開式中，常數(shù)項的值為故選：D7．已知等比數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前12項和等于（   ）A．66 B．55 C．45 D．65【答案】A【詳解】已知，，兩式子做差得到，又時也滿足，所以故，故是等差數(shù)列，首項為0，公差為1，則前12項和為66.故答案為選擇：A．8．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化問題為在上恒成立，即在上恒成立，結合基本不等式求解即可.【詳解】因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即，即恒成立，又，當且僅當時，等號成立，所以，故選：B 二、多選題9．若，則m的值可以是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BC【分析】利用組合數(shù)的計算即可求解【詳解】因為，所以或，解得或5．故選：BC．10．若為等比數(shù)列，則下列數(shù)列中是等比數(shù)列的是（    ）A． B．（其中且）C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義直接判斷作答.【詳解】因為等比數(shù)列，設其公比為，則有，對于A，是常數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，A是；對于B，且，是常數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，B是；對于C，是常數(shù)，是等比數(shù)列，C是；對于D，顯然，為等比數(shù)列，而，數(shù)列不是等比數(shù)列，D不是.故選：ABC11．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的是（    ）A．在上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．當時，取得極小值D．當時，取得極大值【答案】BC【分析】根據(jù)導數(shù)與原函數(shù)關系解決.【詳解】從導函數(shù)圖像可以看出函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)；在上為增函數(shù)，故A錯B對，C對D錯.故選：BC12．過點的直線與函數(shù)的圖象相切于點，則的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)過函數(shù)圖象上一點處的切線與導數(shù)之間的關系求解.【詳解】因為，所以，由題意得直線的斜率，即，解得或故選:AD. 三、填空題13．已知函數(shù)為的導函數(shù)，則          .【答案】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，求出函數(shù)的導數(shù)，代入，即得答案.【詳解】，故答案為：114．從A，B等5名學生中隨機選3名參加數(shù)學競賽，則A和B至多有一個入選的方法有      種．【答案】7【分析】間接法：求出任選3人的方法數(shù)，以及A和B都入選的方法數(shù)，相減即可得出答案.【詳解】從5名學生中任選3名參加數(shù)學競賽，方法有種，A和B都入選的方法有種，所以，A和B至多有一個入選的方法有種.故答案為：7.15．若是函數(shù)的極值點，則實數(shù)        ．【答案】0【分析】根據(jù)極值點處導函數(shù)等于零求解.【詳解】，由題意知，解得．經(jīng)檢驗，時，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點，滿足題意，故答案為：0.16．若數(shù)列，都等差數(shù)列，且有，則          ．【答案】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項和公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】設等差數(shù)列、的前項和分別為由故答案為: 四、解答題17．已知對任意給定的實數(shù)，都有.求值：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用賦值法求解，令可得結果；（2）利用賦值法求解，令可得結果；【詳解】（1）因為，令，則；（2）令，則，由（1）知，兩式相減可得.18．等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】(1)運用等差中項求出 ，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出 ；(2)根據(jù)條件求出 的通項公式，再分組求和.【詳解】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，， ， 解得， ；（2）， . ；綜上，19．已知等差數(shù)列的前項和滿足.(1)求的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項和公式求出即可求解；（2）利用裂項相消求和.【詳解】（1）設公差為，則，所以解得，所以，（2），所以，所以..20．已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)8；(2). 【分析】（1）先對函數(shù)求導，根據(jù)求出，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可得到答案.（2）根據(jù)題意知，分參得，即可得到答案.【詳解】（1），因為，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增所以（2）因為函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在上恒成立所以在上恒成立，所以21．已知數(shù)列滿足(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，求的前項和【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）根據(jù)題干條件構造出，結合等比數(shù)列定義證明結論；（2）先求出的通項，利用分組求和法和錯位相減法求出結果.【詳解】（1）因為，所以，又，所以，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，∴，∵，∴，∴令兩式相減，所以所以，又，∴22．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求解.（2）求出導函數(shù)，分情況求解不等式和即可得解.【詳解】（1）當時，，，，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2），當，令得，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當，令得，當時，由得或，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當時，由得或，由得，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. 

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