廣東省韶關(guān)市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題（解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?韶關(guān)市2022-2023學年度第二學期高二期末檢測
數(shù) 學
本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學校、班級和準考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)全集，集合，集合，則（）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由并集和補集運算求解即可.
【詳解】由題設(shè)有，，
故選：C
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和，其中為坐標原點，則（）
A. 1 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的模長公式和坐標運算，即可求解得到答案．

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，，
，
∴．
故選:D．
3. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)及指數(shù)的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，進而即可求解.
【詳解】因為，
，
，
所以.
故選：A.
4. 已知，是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則（）
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行、垂直和面面平行、垂直的性質(zhì)和判定分析判斷即可
【詳解】對于A，當，時，直線m，n相交，異面，平行都有可能；
對于B，還少了條件，，才能得到相應(yīng)的結(jié)論；
對于C，當，時，，m與相交但不垂直都有可能；
對于D，設(shè)直線的方向向量分別為，
若，，則平面，的一個法向量分別為，且，
所以，所以D正確，
故選：D．
5. 部分圖象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對稱性以及函數(shù)值的對應(yīng)性，利用排除法即可得出結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，
又，可化為
所以，
故為偶函數(shù)，圖形關(guān)于y軸對稱，排除B，D選項；
令可得，或，
由，解得，，
由，解得，
所以函數(shù)最小的正零點為，
當時，，，，排除A，
故選：C.
6. 已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義計算即可.
詳解】，，
則向量在向量上的投影向量為.
故選：B．
7. 已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點向的角平分線作垂線，垂足為點Q，則點和點Q距離的最大值為（）
A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】延長，交于點T，則可得，再結(jié)合雙曲線的定義得，連接，則，而為定值，所以由圖可知，從而可求得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，延長，交于點T，則因為平分，，所以，，
因為P在雙曲線上，所以，所以，
連接，則，
因為，
所以，當三點共線時取等號，
即點和點Q距離的最大值為3，
故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得，，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.
8. 已知函數(shù)，若有兩個零點，則a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，分類討論求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及極值點，結(jié)合零點存在定理可得參數(shù)范圍.

【詳解】已知函數(shù)，函數(shù)的定義域為
，
當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故時，至多有一個零點；
當時，令得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
此時最小值為，
①當時，由于，故只有一個零點；
②當時，即，故沒有零點；
③當時，即，又
；
，
由零點存在定理知在上有一個零點；在有一個零點．
所以有兩個零點，a取值范圍為；
故選:A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的是（）
A. 事件A與事件B為互斥事件，則事件A與事件B為對立事件
B. 事件A與事件B為對立事件，則事件A與事件B為互斥事件
C. 若，，則
D. 一組成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.利用互斥事件和對立事件的關(guān)系判斷；B.利用對立事件和互斥事件的關(guān)系判斷；C.由求解判斷；D.由樣本相關(guān)系數(shù)的意義判斷.
【詳解】A.事件A與事件B為互斥事件，但事件A與事件B不一定是對立事件，故錯誤；
B.事件A與事件B為對立事件，則事件A與事件B為互斥事件，故正確；
C.因為，，所以，故正確；
D.如一組成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1，故正確；
故選：BCD
10. 將函數(shù)的圖象每個點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，再將所得圖象向左平移個單位，向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，則（）
A. 的最大值是2 B. 是一個增區(qū)間
C. 是圖象的一個對稱中心 D. 是圖象的一條對稱軸
【答案】ABC
【解析】
【分析】先根據(jù)圖像變換得到，根據(jù)正弦函數(shù)的最值性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間、對稱中心以及對稱軸公式逐一判斷各選項即可.
【詳解】函數(shù)的圖象每個點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到函?shù)，再將所得圖象向左平移個單位，向上平移1個單位，得到.
對于A，當時，取最大值，最大值是2，故A正確；
對于B，由得，所以是一個增區(qū)間，故B正確；
對于C，當時，，，所以是圖象的一個對稱中心，故C正確；
對于D，，故是對稱中心，
則不是圖象的一條對稱軸，故D錯誤．
故選：ABC．
11. 已知數(shù)列滿足，，則（）
A. B. 是的前項和，則
C. 當為偶數(shù)時 D. 的通項公式是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用并項求和法可判斷B選項；推導(dǎo)出，分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況求出數(shù)列的通項公式，可判斷ACD選項.
【詳解】數(shù)列滿足，，
因為，，所以，
，B錯；
由題意，①，②，
由②①得，，由，，所以，
當為奇數(shù)時，設(shè)，
則，
當為偶數(shù)時，設(shè)，
則，
綜上所述，對任意的，，C錯D對；
，A對.
故選：AD.
12. 已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，設(shè)線段的中點為P，以線段為直徑的圓P交y軸于M，N兩點，過P且與y軸垂直的直線交拋物線于點H，則（）
A. 圓P與拋物線準線相切 B. 存在一條直線l使
C. 對任意一條直線l有 D. 有最大值，且最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)直線和拋物線的關(guān)系聯(lián)立方程組由韋達定理結(jié)合拋物線定義計算焦點弦判斷A選項，根據(jù)焦半徑判斷B，C選項，根據(jù)圖形特征及點到y(tǒng)軸距離求角的最值判斷D選項.
【詳解】若直線軸，則直線l與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意．
設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，整理可得，，
因為，，，
所以，從而到準線的距離為，
而圓P的直徑為，所以，
故圓P與拋物線的準線相切，選項A正確；
由韋達定理可得，，
，
，
所以不存在一條直線l使，選項B不正確；
因為，，，
所以，從而，所以，
由拋物線的定義可得，從而，選項C正確；

因為，，，
所以圓P的直徑為，則，
點P到y(tǒng)軸的距離為，
∴，
所以當時，最小，最小值為，D正確．
故選:ACD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 展開式中第三項系數(shù)為________（用具體數(shù)字作答）．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由二項式的展開式的通項公式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，展開式的通項公式為，
令，則第三項為，所以系數(shù)為.
故答案為：
14. 已知，則________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的二倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解.
【詳解】解：因為，
所以，
故答案為：1
15. 三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理先求出三棱錐底面的外切圓半徑,因為球心與外切圓圓心聯(lián)系垂直于外切圓所在平面,因此根據(jù)題中條件和勾股定理即可求出球的半徑,從而求出球的體積.
【詳解】如圖,將三棱錐還原成直三棱柱,設(shè)三棱柱的外接球球心為,分別為上下底面的外心,則為的中點,為底面外接圓的半徑,

所以球心O到面的距離為,
由正弦定理有:
,
所以,
.
故答案為:.
16. 某次考試準備了A、B、C三份試題，開考前從中隨機選擇一份作為當場考試試題，試題A和試題B被選上的概率都是0.3，如果試題是A或C，考生甲通過的概率都是0.8．如果試題是B，考生甲通過的概率是0.6，則該場考試考生甲能通過的概率是________．
【答案】0.74##
【解析】
【分析】設(shè)事件考生甲考試卷A為事件A，考試卷B為事件B，考試卷C為事件C，考生甲能通過考生為事件D，根據(jù)全概率公式求解即可.
【詳解】設(shè)事件考生甲考試卷A為事件A，考試卷B為事件B，考試卷C為事件C，
考生甲能通過考生為事件D，由題知：，，，
，

．
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
（1）求角B；
（2）延長至D點，若，的面積為，，求的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可將已知條件轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)的范圍可得答案；
（2）在中，由正弦定理，在中利用求出，在中再由余弦定理得可得答案.
【小問1詳解】
由正弦定理可將已知條件轉(zhuǎn)化為：，
因為，所以，所以，，
因為，所以，；
【小問2詳解】
因為，所以，所以，
在中，由正弦定理得：
，所以，
在中，，
即，所以，
由余弦定理得：，即：
，所以.

18. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，設(shè)的前n項和為，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）解法一：設(shè)出公比，利用等比數(shù)列的基本量求出首項和公比，即可求出通項公式；
解法二：求解二次方程的根即可求出，，從而求出等比數(shù)列的首項和公比，即可求出通項公式；
（2）利用對數(shù)運算化簡，利用裂項相消法求出其前n項和，利用符號法證明不等式.
【小問1詳解】
解法一：設(shè)的公比為q，由題得：，即，
解得或，
因為，所以，，所以；
解法二：設(shè)的公比為q，由，，
所以，是方程的兩個根，
所以或，所以或，
因為，所以，，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可得：
所以
，
因為，所以.
19. “顆顆黑珠樹中藏，此物只在五月有．游人過此嘗一顆，滿嘴酸甜不思歸．”東魁楊梅是夏天的甜蜜饋贈．每批次的東魁楊梅進入市場前都必須進行兩輪檢測，只有兩輪檢測都通過才能進行銷售，否則不能銷售，已知第一輪檢測不通過的概率為，第二輪檢測不通過的概率為，兩輪檢測是否通過相互獨立．
（1）求一個批次楊梅不能銷售的概率；
（2）如果楊梅可以銷售，則該批次楊梅可獲利400元；如果楊梅不能銷售，則該批次楊梅虧損800元（即獲利元）．已知現(xiàn)有4個批次的楊梅，記4批次的楊梅（各批次楊梅銷售互相獨立）獲利元，求的分布列和數(shù)學期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，640
【解析】
【分析】（1）求一個批次楊梅不能銷售的概率，可用對立事件來求解，即兩輪檢查都通過.
（2）每個批次楊梅銷售情況相互獨立且重復(fù)，基于此可快速利用獨立事件的計算公式求出分布列,進而算出期望.
【小問1詳解】
記“一個批次楊梅不能銷售”為事件A，
則，
所以一個批次楊梅不能銷售的概率為.
【小問2詳解】
依據(jù)題意，X的取值為，，，400，1600，
，
，
，
，
，
所以X的分布列為：
X

400
1600
P

20. 如圖①所示，在中，，，，D，E分別是線段，上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖②．

（1）若點N在線段上，且，求證：平面；
（2）若M是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，得出，結(jié)合線面平行的判定證明即可；
（2）解法一：建立如圖所示直角坐標系，利用向量法證明即可；解法二：由幾何法得出為平面與平面夾角，再結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.
【小問1詳解】
證明：在中，過N作交于點F．
因為，所以，
在三角形中，，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以．又平面，平面，
所以平面
【小問2詳解】
解法一：
因為，，所以，所以，．
因為，，平面，所以平面，
所以平面．又由，可建立如圖所示直角坐標系，則
，，，，，，

則：，，
設(shè)平面的法向量為，則
，即，
令得，
可取平面的法向量，
設(shè)平面與平面所成角為，則
，
所以平面與平面所成夾角的余弦值為
解法二：如圖所示，因為，，所以，所以，，
因為，，平面，所以平面，
所以，又，，，平面
所以平面
在中，過M作，交于點G，在平面中，過G作交直線于點H，由平面可得平面，
所以即為平面與平面夾角．

在中，由M為中點可得：，G為中點，在中，，所以，．
所以，所以，
即平面與平面夾角的余弦值為．
21. 已知函數(shù)，，．
（1）求曲線過坐標原點的切線方程；
（2）若在恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，即可求出切線方程，再將代入，即可求出，從而求出切線方程；
（2）法一：參變分離可得在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍；
法二：依題意可得，，令，則，則問題轉(zhuǎn)化為，上恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解.
小問1詳解】
定義域為，，
設(shè)所求切線的切點為，則，
則所求切線方程為，
將代入可得：，故，
故所求切線方程為．
【小問2詳解】
解法一：依題意在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，則，
令，則，則在上單調(diào)遞減，
∵，，∴存在，使得，
即，∴，
當時，，即，單調(diào)遞增；
當時，，即，單調(diào)遞減．
∴，
又，∴，則，即．
∴．∴，即實數(shù)的取值范圍為．
解法二：，，
可設(shè)，，令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，
則原不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
只需，上恒成立．
設(shè)，，則，所以當時，
當時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，∴，故實數(shù)取值范圍為．
【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
22. 已知橢圓的離心率是，且過點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左、右頂點分別為，，且P，Q為橢圓C上異于，的點，若直線過點，是否存在實數(shù)，使得恒成立．若存在，求實數(shù)的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）存在實數(shù)，滿足題設(shè)條件
【解析】
【分析】（1）將點代入橢圓可得，結(jié)合，可求得：
（2）設(shè)直線的直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，令，，則可得、，或者，代入即可求解；
【小問1詳解】
由題意，，，解得：①．
∵點在橢圓C上，∴②
聯(lián)立①、②，解得，
故所求橢圓C的標準方程是
【小問2詳解】
解法一：由（1）知，．
當直線斜率不存在時，．
與橢圓聯(lián)立可得，，
則，，
故而，可得；
得當直線斜率存在且不為0時，設(shè)，
令，，
則，．
聯(lián)立消去y并整理，
得，
則由韋達定理得，
假設(shè)存在實數(shù)，使得，則，
即，
整理得，
變形為，
則，
即，
即
即或，得或．
當時，．
此時，，
整理得，解得與題設(shè)矛盾，所以
所以．
解法二：由（1）知，，．
可設(shè)，，．
聯(lián)立，得，
由韋達定理得：，，
所以，
所以
故存在實數(shù)，滿足題設(shè)條件．
【點睛】方法點睛：處理直線與橢圓問題時選擇恰當?shù)闹本€方程的設(shè)法會極大的減少計算量，保證計算的準確度，如題目中的代數(shù)式由變量由構(gòu)建更方便而直線也過點，可設(shè)直線方程為，更易于消，減少計算量.

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