2022-2023學(xué)年廣東省茂名市信宜市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（    ）A．與，△x都有關(guān) B．僅與有關(guān)而與△x無關(guān)C．僅與△x有關(guān)而與無關(guān) D．與，△x均無關(guān)【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接判斷即可.【詳解】函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)，則，所以僅與有關(guān)而與△x無關(guān)，故選：B2．5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是（    ）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率【答案】C【分析】根據(jù)隨機變量的定義可知.【詳解】對于A，5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量不是變量，BD也是一個定值，而C中取到次品的件數(shù)可能為0、1、2是隨機變量.故選：C3．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y=X-2，則P(Y=2)等于（    ）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【分析】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)計算即可.【詳解】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．故選：A．4．設(shè)4名學(xué)生報名參加同一時間安排的3項課外活動方案有a種，這4名學(xué)生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則（a，b）為（    ）A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43）【答案】C【分析】本題是一個分步乘法問題，每名學(xué)生報名有3種選擇，有4名學(xué)生根據(jù)分步計數(shù)原理知共有34種選擇，同理三項冠軍的結(jié)果數(shù)也有類似的做法．【詳解】由題意知本題是一個分步乘法問題，首先每名學(xué)生報名有3種選擇，有4名學(xué)生根據(jù)分步計數(shù)原理知共有34種選擇，每項冠軍有4種可能結(jié)果，3項冠軍根據(jù)分步計數(shù)原理知共有43種可能結(jié)果.故選：C．5．已知函數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接求導(dǎo)代入得，再利用傾斜角和斜率關(guān)系即可得到答案.【詳解】，則，則切線斜率為，因為傾斜角范圍是，則傾斜角為.故選：B.6．甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學(xué)生參加校園植樹活動，教師隨機分成三組，每組至少一人，則甲、乙在同一組的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用組合可求基本事件的總數(shù)，再根據(jù)排列可求隨機事件含有的基本事件的總數(shù)，從而可求對應(yīng)的概率.【詳解】設(shè)“甲、乙在同一組”為事件，教師隨機分成三組，每組至少一人的分法為，而甲、乙在同一組的分法有，故，故選：A.7．某學(xué)校有A，B兩家餐廳，小王同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.則小王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為（    ）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.7【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可直接求得.【詳解】設(shè) “第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學(xué)第天去餐廳用餐的概率為.故選：D.8．設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當時（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于AB，利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對于CD，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得在上單調(diào)遞減，從而得以判斷.【詳解】對于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯誤，若，則，故B錯誤；對于CD，因為，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯誤.故選：C. 二、多選題9．現(xiàn)有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（    ）A．從中任選1個球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法【答案】ABD【分析】利用排列知識計算得到選項ABD正確；若要選出不同顏色的2個球，有種不同的選法，所以選項C錯誤.【詳解】解：A. 從中任選1個球，有15種不同的選法，所以該選項正確；B. 若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法，所以該選項正確；C. 若要選出不同顏色的2個球，有種不同的選法，所以該選項錯誤；D. 若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法，所以該選項正確.故選：ABD10．已知隨機事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說法正確的有（    ）A．若，則B．若，則A，B相互獨立C．若A，B不相互獨立，則D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)題意，利用相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式以及條件概率公式，依次判斷所給的4個結(jié)論即可．【詳解】對于A，若，則，故A錯誤;對于B，，,由于，則，相互獨立，故B正確；若，不相互獨立，則,故，故C錯誤；對于，，則，，則，故D正確.故選:BD11．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題（    ）A．是函數(shù)的極值點B．是函數(shù)的最小值點C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在處切線的斜率小于零【答案】AC【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出的單調(diào)性、極值點、最值點、切線的斜率，由此判斷出命題錯誤的選項.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當x∈（﹣∞,﹣3）時，，在時，，∴函數(shù)y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；則﹣3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點，故A正確；∵在上單調(diào)遞增，∴﹣1不是函數(shù)y＝f（x）的最小值點，故B不正確；∵函數(shù)y＝f（x）在x＝0處的導(dǎo)數(shù)大于0，∴切線的斜率大于零，故D不正確；故選：AC12．已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則B．是正整數(shù)C．是的小數(shù)部分D．設(shè)，則【答案】ACD【分析】利用的展開式求出計算判斷A；取特值計算判斷B；化簡計算，分析結(jié)果判斷C；分奇偶討論計算、即可推理作答.【詳解】對于A，，即，，，A正確；對于B，因不是正整數(shù)，B不正確；對于C，，展開式的通項，展開式的通項，當且為偶數(shù)時，，當且為奇數(shù)時，，此時是偶數(shù)，是正整數(shù)，為正整數(shù)，為正整數(shù)，又，，所以是的小數(shù)部分，C正確；對于D，當為正偶數(shù)時，，，，則，，有，因此，，當為正奇數(shù)時，，，，則，，有，因此，，綜上得，，，D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及二項式定理的問題，二項式定理的核心是通項公式，求出給定二項式的通項公式是解決問題的關(guān)鍵. 三、填空題13．的展開式中的系數(shù)是      .【答案】【分析】寫出二項展開式，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，所以，展開式中的系數(shù)是.故答案為：.14．已知隨機變量X取可能的值1，2，3，…，n是等可能的，且，則      .【答案】19【分析】根據(jù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望公式列出方程，求解方程即可.【詳解】因為隨機變量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，所以，所以，所以，解得.故答案為：19.15．已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題，學(xué)生小王能完整做對其中5道題，在剩下的3道題中，有2道題有思路，還有1道完全沒有思路，有思路的題做對的概率為，沒有思路的題只好從4個選項中隨機選一個答案．小王從這8題中任選1題，則他做對的概率為           ．【答案】/0.84375【分析】合理設(shè)出事件，利用全概率公式進行求解.【詳解】設(shè)小王從這8題中任選1題，且作對為事件A，選到能完整做對的5道題為事件B，選到有思路的兩道題為事件C，選到完全沒有思路為事件D，則，，，由全概率公式可得：故答案為：16．已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是          【答案】【詳解】設(shè)切點坐標為，由，得，所以切線方程為，將代入切線方程，得，，在上遞減，在上遞增，極小值為，極大值為，有條切線，方程有三個不同的解， 與的圖象有三個不同的交點， ，故答案為.【方法點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及方程的根與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，屬于難題. 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導(dǎo)數(shù)；(2) 已知斜率求切點即解方程；(3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設(shè)出切點利用求解.本題是根據(jù)(1)求出切線方程后，再方程的根與函數(shù)圖象之間的關(guān)系求解. 四、解答題17．（1）用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2）設(shè)，求的值.【答案】（1）648；（2）【分析】（1）解法1：根據(jù)三位數(shù)百位不等為，利用排列數(shù)以及分布乘法原理即可；解法2：利用正難則反的解題方法，求得總數(shù)減去百位為的個數(shù)，可得答案；（2）由題意，求二項式的系數(shù)之和，利用賦值法，令即可.【詳解】（1）解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第 1步，確定百位上的數(shù)字，可以從這9個數(shù)字中取出1個， 有種取法；第2步，確定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的 9個數(shù)字中取出2個，有種取法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為.解法2：從0~9這10個數(shù)字中選取3 個的排列數(shù)為，其中0在百位上的排列數(shù)為，它們的差就是用這10個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求三位數(shù)的個數(shù)為.(2)令，.18．老師要從10篇課文中隨機抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某位同學(xué)只能背誦其中的6篇，求(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列(2)他能及格的概率【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)超幾何概率公式，求概率，再寫出分布列；（2）根據(jù)分布列計算，即可求解.【詳解】（1）（1)設(shè)該同學(xué)抽到能背誦的課文篇數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3 則的分布列為，用表格表示為0123（2）及格的概率為19．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和；(2)最大值為，最小值為. 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)大于0或小于0的x取值集合即可作答.（2）利用（1）的結(jié)論，借助單調(diào)性即可求解的最大值和最小值.【詳解】（1）函數(shù)定義域為R，，當或時，，當時，，即在，上遞增，在上遞減，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,因此，在區(qū)間上的最大值為，而，，即有， 所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于游牧生活.其結(jié)構(gòu)如圖所示，上部分是側(cè)棱長為3的正六棱錐，下部分是高為1的正六棱柱，分別為正六棱柱上底面與下底面的中心.(1)若長為，把蒙古包的體積表示為的函數(shù)；(2)求蒙古包體積的最大值.【答案】(1)，其中.(2). 【分析】（1）利用柱體和椎體體積公式求得的函數(shù)表達式.（2）利用導(dǎo)數(shù)求得體積的最大值.【詳解】（1）正六邊形的邊長（0），底面積，于是，其中.（2），，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，.綜上，當時，蒙古包體積最大，且最大體積為.21．甲、乙兩名同學(xué)與一臺智能機器人進行象棋比賽，記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，甲得1分；如果甲輸而乙贏，甲得-1分；如果甲和乙同時贏或同時輸，甲得0分.設(shè)甲贏機器人的概率為0.6，乙贏機器人的概率為0.5.(1)在一輪比賽中，甲的得分X的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分Y的分布列；(3)Y的均值和方差.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)， 【分析】（1）確定的可能值并求出對應(yīng)的概率，即可寫出分布列.（2）首先確定的可能值并求出對應(yīng)的概率，寫出分布列.（3）利用（2）中分布列結(jié)合均值和方差的公式即可求出Y的均值和方差.【詳解】（1）由題設(shè)，的可能取值為－1，0，1，，，．的概率分布為X－101P0.20.50.3（2）由題設(shè)，的可能取值－2，－1，0，1，2，，，，，．的概率分布為Y－2－1012P0.040.20.370.30.09（3）所以.22．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求f(x)的最大值；(2)設(shè)a為整數(shù)，若在定義域上恒成立，求a的最大值；(3)證明.【答案】(1)1；(2)2；(3)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值作答.（2）利用（1）的結(jié)論可得，進而可得當時，，再按、探討恒成立，構(gòu)造函數(shù)并證明不等式作答.（3）利用（2）的結(jié)論，構(gòu)造數(shù)列不等式，再借助等比數(shù)列求和公式推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得：，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，.（2）由（1）知，，，即，因此對，，當時，對，，則有，于是當時，對，恒成立，當時，函數(shù)的定義域為，，必有，解得，而為整數(shù)，則最大值不大于2，因為對，恒成立，則對，有恒成立，當且僅當時取等號，又，恒成立，當且僅當時取等號，于是對，，綜上得當時，對，恒成立，即整數(shù)，所以整數(shù)a的最大值為2.（3）由（2）知，，，取，有，因此，從而，所以原不等式成立.【點睛】思路點睛：涉及含參函數(shù)不等式恒成立問題，可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)分段討論，確定臨界值，再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式作答. 

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