專題7.1 隨機(jī)事件與古典概型【考點(diǎn)1：隨機(jī)事件的頻率與概率】【考點(diǎn)2：互斥事件與對立事件】【考點(diǎn)3：古典概型】 【考點(diǎn)1：隨機(jī)事件的頻率與概率】【知識點(diǎn)：隨機(jī)事件的頻率與概率】1．事件的分類2．頻率和概率（1）在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率．（2）對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．（3）事件A發(fā)生的頻率是利用頻數(shù)nA除以試驗總次數(shù)n所得到的值，且隨著試驗次數(shù)的增多，它在A的概率附近擺動幅度越來越小，即概率是頻率的穩(wěn)定值，因此在試驗次數(shù)足夠的情況下，給出不同事件發(fā)生的次數(shù)，可以利用頻率來估計相應(yīng)事件發(fā)生的概率．1．（2023秋·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)校考期末）下面四個選項中，是隨機(jī)現(xiàn)象的是（    ）A．刻舟求劍 B．水中撈月 C．流水不腐 D．守株待兔2．（2021秋·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）在這10個數(shù)字中，任取3個數(shù)字，那么“這三個數(shù)字的和大于6”這一事件是（    ）A．必然事件 B．不可能事件C．隨機(jī)事件 D．以上選項均不正確3．（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的個數(shù)是（    ）①未來某年8月18日，北京市不下雨；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼『萌〉?/span>1號簽；④任取，則.A．1 B．2 C．3 D．44．（2022秋·上海浦東新·高二校考期末）已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個命題：①若任取，則是必然事件；②若任取，則是不可能事件；③若任取，則是隨機(jī)事件；④若任取，則是必然事件．其中正確的命題有（　　）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（    ）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根6．（2022秋·貴州六盤水·高二校考階段練習(xí)）若x是實數(shù)，則下列事件是不可能事件的是（    ）A． B．C． D．7．（2022秋·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在100件產(chǎn)品中，有95件一級品，5件二級品，給出下列事件：①在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是一級品；②在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是二級品；③在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，不全是一級品；④在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，至少一件是一級品，其中__________是隨機(jī)事件.（如果沒有，請?zhí)?/span>“無”；如果有，請?zhí)钚蛱枺?/span>8．（2022·高一課時練習(xí)）判斷下面哪些是隨機(jī)現(xiàn)象，哪些是確定性現(xiàn)象，哪些是不可能事件．(1)某地1月1日刮西北風(fēng)；(2)當(dāng)是實數(shù)時，；(3)手電筒的電池沒電，燈泡發(fā)亮；(4)一個電影院某天的上座率超過．    9．（2022·高一課時練習(xí)）判斷下面哪些是隨機(jī)現(xiàn)象，哪些是確定性現(xiàn)象．(1)導(dǎo)體通電時，發(fā)熱；(2)拋一塊石頭，下落；(3)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化；(4)擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面；(5)某人射擊一次，中靶．       【考點(diǎn)2：互斥事件與對立事件】【知識點(diǎn)：互斥事件與對立事件】事件定義概率公式互斥事件在一個隨機(jī)試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)對立事件在一個隨機(jī)試驗中，兩個試驗不會同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生的事件A和稱為對立事件P()＝1－P(A)[方法技巧]事件間的關(guān)系的判斷方法(1)判斷事件間的關(guān)系時，可把所有的試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而斷定所給事件間的關(guān)系．(2)對立事件一定是互斥事件，也就是說不互斥的兩個事件一定不是對立事件，在確定了兩個事件互斥的情況下，就要看這兩個事件的和事件是不是必然事件，這是判斷兩個事件是否為對立事件的基本方法．判斷互斥事件、對立事件時，注意事件的發(fā)生與否都是對于同一次試驗而言的，不能在多次試驗中判斷．(3)從集合的角度上看：事件A，B對應(yīng)的基本事件構(gòu)成了集合A，B，則A，B互斥時，A∩B＝?；A，B對立時，A∩B＝?且A∪B＝U(U為全集)．兩事件互斥是兩事件對立的必要不充分條件．　　 [方法技巧]求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)間接法：先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題時，多考慮間接法．　　1．（2022秋·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）某班學(xué)生小李參加了2022年市舉辦的高中數(shù)學(xué)競賽和高中物理競賽，與事件“小李至少有一門學(xué)科競賽獲一等獎”互斥的事件是（    ）A．小李兩門學(xué)科競賽都沒有獲一等獎B．小李兩門學(xué)科競賽都獲一等獎C．小李至多有一門學(xué)科競賽獲一等獎D．小李只有一門學(xué)科競賽獲一等獎2．（2021秋·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）盒子中裝有紅色，黃色和黑色小球各2個，一次取出2個小球，下列事件中，與事件“2個小球都是紅色”對立的事件是（    ）A．2個小球都是黑色 B．2個小球恰有1個是紅色C．2個小球都不是紅色 D．2個小球至多有1個是紅色3．（2019秋·廣西南寧·高二?？计谥校难b有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，則互為對立事件是（    ）．A．至少有一個黑球與都是黑球 B．至少有一個黑球與都是紅球C．至少有一個黑球與至少有1個紅球 D．恰有1個黑球與恰有2個黑球4．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）“韋神”數(shù)學(xué)興趣小組有4名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)比賽，下列各對事件中互斥而不對立的是（    ）A．至少有1名男生與全是男生；B．至少有1名男生與全是女生；C．恰有1名男生與恰有2名男生；D．至少有1名男生與至少有1名女生．5．（2022秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則甲不勝的概率是（    ）A． B． C． D．6．（2022秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1-10各10張)中任取一張：①“抽出紅桃”與“抽出黑桃”是對立事件；②“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是互斥事件；③“抽出的牌的數(shù)字為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的數(shù)字大于9”是互斥事件；④“抽出數(shù)字為2”與“抽出數(shù)字為9”是互斥事件；⑤“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是對立事件.其中正確的個數(shù)為（    ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知事件A發(fā)生的概率為，則它的對立事件發(fā)生的概率______________．8．（2022秋·上海虹口·高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀┦录?/span>A、B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則______.9．（2023秋·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）已知事件、互斥，，且，則_______. 10．（2022秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）某人射擊1次命中7～10環(huán)的概率如下表命中環(huán)數(shù)78910命中概率0. 230. 270.190.16（1）求射擊1次，至少命中7環(huán)的概率為_______（2）求射擊1次，命中不足7環(huán)的概率為_______         【考點(diǎn)3：古典概型】【知識點(diǎn)：古典概型】1．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．3．古典概型的概率公式P(A)＝.[方法技巧]　　　解決古典概型實際問題的步驟1．（2022·江蘇常州·華羅庚中學(xué)校考模擬預(yù)測）為弘揚(yáng)文明.和諧的社區(qū)文化氛圍，更好地服務(wù)社區(qū)群眾，武漢市某社區(qū)組織開展了“黨員先鋒”.“鄰里互助”兩個公益服務(wù)項目，其中某個星期內(nèi)兩個項目的參與人數(shù)（單位：人）記錄如下： 項目   日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日黨員先鋒24272625377672鄰里互助11131111127132143 對于該星期內(nèi)的公益服務(wù)情況，下列說法正確的有（    ）A．“黨員先鋒”項目參與人數(shù)的極差為52，中位數(shù)為25B．“鄰里互助”項目參與人數(shù)的眾數(shù)為11，平均數(shù)為64C．用頻率估計概率，“黨員先鋒”項目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的概率為D．用頻率估計概率，“鄰里互助”項目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項目平均數(shù)的概率為2．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谀├蠋熞獜?/span>3名男生和4名女生（含小紅同學(xué)）中選擇3位同學(xué)參加比賽，那么小紅同學(xué)被選中參加比賽的概率為_______.3．（2021秋·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┰谀畴娨暸_的一檔演講比賽節(jié)目中，進(jìn)入最后比賽的是2名女選手和1名男選手，已知備選演講題目2個，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為__．4．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開．某媒體從甲、乙等6名記者中選兩人參加宣傳報道，則甲、乙至少有一人被人選的概率為________．5．（2020春·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）某人在微信群中發(fā)了一個8元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)到的錢數(shù)不少于其他任何人的概率為___________．6．（陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（Ⅰ）文科數(shù)學(xué)試題）從某臺機(jī)器一天產(chǎn)出的零件中，隨機(jī)抽取10件作為樣本，測得其質(zhì)量如下（單位：克）：，記樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為.(1)求；(2)將質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的零件定為一等品.①估計這臺機(jī)器生產(chǎn)的零件的一等品率；②從樣本中的一等品中隨機(jī)抽取2件，求這兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對值不超過0.3克的概率P.            7．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行?也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行?第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過世界杯的國家舉辦的世界杯足球賽.某學(xué)校統(tǒng)計了該校500名學(xué)生觀看世界杯比賽直播的時長情況（單位：分鐘），將所得到的數(shù)據(jù)分成7組；（觀看時長均在內(nèi)），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖(1)求a的值，并估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)采用分層抽樣的方法在觀看時長在和的學(xué)生中抽取6人?現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人分享觀看感想，求抽取的3人中恰有2人的觀看時長在的概率.             8．（2022秋·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谀┠掣咝３修k了奧運(yùn)會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.(1)求、的值；(2)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第60百分位數(shù)（精確到0.1）；(3)在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自同一組的概率.               9．（2022秋·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）某兩個班的100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是．(1)求語文成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)．(2)如果將頻率視為概率，根據(jù)頻率分布直方圖，估計語文成績不低于112分的概率．(3)若語文成績在內(nèi)的學(xué)生中有2名女生，其余為男生．現(xiàn)從語文成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人背誦課文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．                10．（2021春·河南周口·高一?？计谥校┠畴娨暸_為宣傳安徽，隨機(jī)對安徽15～65歲的人群抽取了n人，回答問題“皖江城市帶有哪幾個城市？”統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示：組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組[15，25)a0.5第2組[25，35)18x第3組[35，45)b0.9第4組[45，55)90.36第5組[55，65)3y(1)分別求出a，b，x，y的值；(2)從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2，3，4組每組各抽取多少人？(3)在（2）抽取的6人中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.
 

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