專(zhuān)題6.2 用樣本估計(jì)總體數(shù)字特征【考點(diǎn)1：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)】【考點(diǎn)2：方差、標(biāo)準(zhǔn)差】...........................................................5【考點(diǎn)3：頻率分布直方圖】..........................................................8【考點(diǎn)4：百分位數(shù)】..............................................................13【考點(diǎn)5：利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問(wèn)題】.......................................15【考點(diǎn)1：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)】【知識(shí)點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)】數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，不受極端值的影響．但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)＝平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低1．（2022春·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽(yáng)中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）某籃球興趣小組名學(xué)生參加投籃比賽，每人投個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為：、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（　?。?/span>A．、 B．、 C．、 D．、2．（2022春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某同學(xué)擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)5次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（    ）A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B．平均數(shù)是3，中位數(shù)是2C．方差是 ，平均數(shù)是2 D．平均數(shù)是3，眾數(shù)是23．（2022春·四川·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某籃球運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰籃，共20組，每組50次，每組命中球數(shù)如下表：命中球數(shù)4647484950頻數(shù)24464則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（    ）A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，494．（2021春·吉林四平·高二四平市第一高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知是這九個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)，且這五個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（    ）A． B． C． D．6．（2022春·河南南陽(yáng)·高一階段練習(xí)）一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有大規(guī)模集體流感的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增病例不超過(guò)7人”，根據(jù)過(guò)去10天甲?乙?丙?丁四地新增病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（    ）A．甲地：平均數(shù)為3，中位數(shù)為4B．乙地：平均數(shù)為1，方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D．丁地：平均數(shù)為2，方差為37．（2021春·山東臨沂·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）為提高生產(chǎn)效率，某汽車(chē)零件加工廠的甲乙兩個(gè)車(chē)間進(jìn)行比賽，下表是對(duì)甲乙兩個(gè)車(chē)間某天生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論正確的是（    ）車(chē)間參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135A．甲、乙兩車(chē)間這一天生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)相同B．甲車(chē)間這一天生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)的波動(dòng)比乙車(chē)間大C．乙車(chē)間優(yōu)秀的人數(shù)多于甲車(chē)間優(yōu)秀的人數(shù)（這一天生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)個(gè)為優(yōu)秀）D．甲車(chē)間這一天生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)的眾數(shù)小于乙車(chē)間零件個(gè)數(shù)的眾數(shù)8．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，…，的平均數(shù)為a，則，，，…，的平均數(shù)為________．9．（遼寧省大連市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在考察某中學(xué)的學(xué)生身高時(shí)，采用分層抽樣的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm，女生的平均身高是165cm，則估計(jì)該校全體學(xué)生的平均身高是______cm． 【考點(diǎn)2：方差、標(biāo)準(zhǔn)差】【知識(shí)點(diǎn)：方差、標(biāo)準(zhǔn)差】①標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝ .②方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)．③方差與標(biāo)準(zhǔn)差相比，都是衡量樣本數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，但方差因?yàn)閷?duì)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了平方運(yùn)算，夸大了樣本的偏差程度．④若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a，方差為m2s2.1．（遼寧省大連市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若，，…，的方差為2，則，，…，的方差是（    ）A．18 B．7 C．6 D．22．（2022春·河南南陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）如果數(shù)據(jù)，， 的平均數(shù)為10，方差為8，則，，，的平均數(shù)和方差分別為（　　）A．10、8 B．30、24 C．34、72 D．34、763．（2022春·河北邯鄲·高三涉縣第一中學(xué)?？计谥校颖局泄灿?/span>5個(gè)個(gè)體，其中四個(gè)值分別為2，2，3，3，第五個(gè)值丟失，若該樣本的平均數(shù)為3，則樣本方差為（    ）A．1 B．3 C． D．4．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預(yù)測(cè)）某單位有男職工60人，女職工40人，其中男職工平均年齡為35歲，方差為6，女職工平均年齡為30歲，方差是1，則該單位全體職工的平均年齡和方差分別是（    ）A．32.5，3.5 B．33，7 C．33，10 D．32.5，45．（2022·上海普陀·統(tǒng)考一模）某地“小康果”大豐收，現(xiàn)抽取個(gè)樣本，其質(zhì)量分別為、、、、（單位：克）．若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為，則此樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為______（用數(shù)字作答）．6．（2022春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┠硨W(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人．有人為了獲得該校全體高中學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的均值為175，方差為20，女生樣本均值為165，方差為30(1)如果已知男、女的樣本量按比例分配，請(qǐng)計(jì)算總樣本的均值和方差各為多少?(2)如果已知男、女的樣本量都是25，請(qǐng)計(jì)算總樣本均值和方差各為多少?        【考點(diǎn)3：頻率分布直方圖】【知識(shí)點(diǎn)：頻率分布直方圖】[方法技巧]1．繪制頻率分布直方圖時(shí)需注意的兩點(diǎn)(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來(lái)檢驗(yàn)該表是否正確；(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率．2．與頻率分布直方圖計(jì)算有關(guān)的兩個(gè)關(guān)系式(1)×組距＝頻率；(2)＝頻率，此關(guān)系式的變形為＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．　　[方法技巧]頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．　　1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）從立德小學(xué)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，則抽取100名學(xué)生中，身高在的人數(shù)為（    ）A．30 B．40 C．45 D．502．（2022春·江西九江·高二九江一中校考期中）第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在國(guó)家體育場(chǎng)鳥(niǎo)巢舉行了盛大開(kāi)幕式.在冬奧會(huì)的志愿者選拔工作中，某高校承辦了面試工作，面試成績(jī)滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績(jī)并分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（    ）A．直方圖中的值為0.025B．候選者面試成績(jī)的中位數(shù)約為69.4C．在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間之間的學(xué)生有30人D．估計(jì)候選者的面試成績(jī)的平均數(shù)約為69.5分3．（2021秋·上海普陀·高三曹楊二中階段練習(xí)）某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位:小時(shí)），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為：_____．4．（2021春·新疆阿克蘇·高二?？计谀┬鹿诜窝滓咔槠陂g，某地為了了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如圖頻率分布直方圖，已知評(píng)分在，的居民有2200人．(1)求頻率分布直方圖中的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；(2)從頻率分布直方圖中，估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)、中位數(shù)（精確到．5．（2022春·遼寧鐵嶺·高一昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了調(diào)查某市市民對(duì)出行的滿意程度，研究人員隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查，并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如圖所示的頻率分布直方圖，其中．(1)求、的值；(2)求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(3)若按照分層抽樣從，中隨機(jī)抽取8人，應(yīng)如何抽?。?/span>           【考點(diǎn)4：百分位數(shù)】【知識(shí)點(diǎn)：百分位數(shù)】（1）一般地,當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí),給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p(0,1),總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn):總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.（2）25%, 50%, 75%分位數(shù)是三個(gè)常用的百分位數(shù).把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后, 這三個(gè)百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個(gè)部分,在這4個(gè)部分取值的可能性都是.因此這三個(gè)百分位數(shù)也稱(chēng)為總體的四分位數(shù).
其他常用的百分位數(shù)有1%, 5%, 10%, 90%, 95%, 99%.
（3）總體的p分位數(shù)通常是未知的,人們用樣本的p分位數(shù)來(lái)估計(jì)它,樣本容量越大,估計(jì)越準(zhǔn)確.[方法技巧]計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟如下:
第一步,按照從小到大排列原始數(shù)據(jù);
第二步, 計(jì)算i=np;
第三步,若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),
則p分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).1．（河北省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）某學(xué)習(xí)小組共有20人，在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，則這個(gè)學(xué)習(xí)小組成員該次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第70百分位數(shù)是（   ）A．82.5 B．85 C．90 D．92.52．（河南?。ú糠值厥校┬赂呖悸?lián)盟2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則等于（    ）A． B． C． D．3．（2022春·天津和平·高三耀華中學(xué)階段練習(xí)）2022年12月4日是第九個(gè)國(guó)家憲法日，主題為“學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全面貫徹實(shí)施憲法”，耀華園結(jié)合線上教育教學(xué)模式，開(kāi)展了云升旗，云班會(huì)等活動(dòng)．其中由學(xué)生會(huì)同學(xué)制作了憲法學(xué)習(xí)問(wèn)卷，收獲了有效答卷2000份，先對(duì)其得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按照、、…、分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法不正確的是（    ）A．圖中的值為0.02B．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)75%分位數(shù)是85C．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77D．90分以上將獲得優(yōu)秀，則全校有20人獲得優(yōu)秀4．（2022春·北京西城·高三北京師大附中?？计谀?/span>10名工人某天生產(chǎn)工藝零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是______.5．（北京延慶區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）某單位共有20人，他們的年齡分布如下表所示．年齡28293032364045人數(shù)2236421則這20人年齡的眾數(shù)是___________，75％分位數(shù)是___________． 【考點(diǎn)5：利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問(wèn)題】[方法技巧]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問(wèn)題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征．　　1．（2022秋·浙江麗水·高一校考階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁四人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表所示： 甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6從這四個(gè)人中選擇一人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校舉辦了一場(chǎng)黨史競(jìng)賽活動(dòng)，共有500名學(xué)生參加了此次競(jìng)賽活動(dòng)．為了解本次競(jìng)賽活動(dòng)的得分情況，從中抽取了50名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這50名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組[60，70），第二組[70，80），第三組[80，90），第四組[90，100]，得到如下的頻率分布直方圖．(1)求圖中m的值，并估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生得分的中位數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生得分的平均值．若對(duì)得分不低于平均值的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)估計(jì)在參賽的500名學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng)．         3．（2020春·陜西榆林·高二?？计谥校┠晨爝f公司招聘快遞騎手，該公司提供了兩種日工資方案：方案1：規(guī)定每日底薪元，快遞騎手每完成一單業(yè)務(wù)提成元；方案2：規(guī)定每日底薪元，快遞業(yè)務(wù)的前單沒(méi)有提成，從第單開(kāi)始，每完成一單業(yè)務(wù)提成元，該快遞公司記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量.現(xiàn)隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為、、、、、、七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)若僅從人均日收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說(shuō)明理由（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）.
 

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專(zhuān)題4.1 對(duì)數(shù)運(yùn)算-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊(cè)）：

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專(zhuān)題3.1 指數(shù)-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊(cè)）：

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