第九章　§9.2　用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

§9.2　用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征
1.會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的p分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)和總體離散程度.
第一部分落實(shí)主干知識(shí)
第二部分探究核心題型
1.百分位數(shù)一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí)，給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈ ，總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn)：總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù) 它的可能性是p.
2.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：＝ .(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最_____的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的 (當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)).(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù) 的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)).
3.方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差：s2＝或(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝ .
1.若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為＋a.2.數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.3.若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)對(duì)一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(　　)(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(　　)(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.(　　)(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)的估計(jì)值.(　　)
2.在下列統(tǒng)計(jì)量中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.百分位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)分散程度的大小，所以說標(biāo)準(zhǔn)差是用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，故D正確.
3.甲、乙、丙、丁四人參加射擊項(xiàng)目選拔賽，成績(jī)?nèi)缦?，則他們中參加奧運(yùn)會(huì)的最佳人選是______.
由平均數(shù)及方差的定義知，丙的平均成績(jī)較高且較穩(wěn)定，是最佳人選.
4.有一組數(shù)據(jù)：－1，a，－2，3，4，2，它們的中位數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______.
數(shù)據(jù)－1，a，－2，3，4，2，已知除a以外的數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，－1，2，3，4，要使得中位數(shù)為1，則a在第3位或第4位，
題型一　樣本的數(shù)字特征的估計(jì)
例1　(1)(多選)(2023·荊門聯(lián)考)某單位為了解該單位黨員開展學(xué)習(xí)黨史知識(shí)活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了30名黨員，對(duì)他們一周的黨史學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下.則下列對(duì)該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的敘述，正確的有
A.眾數(shù)是8B.40％分位數(shù)為8C.平均數(shù)是9D.中位數(shù)是9
由題意，隨機(jī)抽取30名黨員，由表可知，黨史學(xué)習(xí)時(shí)間為8小時(shí)的人最多，為8人，故眾數(shù)是8，故A正確；
因?yàn)楣灿?0名黨員，故中位數(shù)為第15項(xiàng)和第16項(xiàng)的平均數(shù)，因?yàn)榈?5項(xiàng)和第16項(xiàng)均為9，故中位數(shù)為9，故D正確.
(2)(多選)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差
取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，
根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；
根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確.
計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)p分位數(shù)的步驟
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)(2023·商丘模擬)在某次演講比賽中，由兩個(gè)評(píng)委小組(分別為專業(yè)人士“小組A”和觀眾代表“小組B”)給參賽選手打分，根據(jù)兩個(gè)評(píng)委小組給同一名選手打分的分值繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則下列結(jié)論正確的是A.小組A打分的分值的平均數(shù)為48B.小組B打分的分值的中位數(shù)為66C.小組A打分的分值的極差大于小組B打分的分值的極差D.小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差
由圖可知，小組A打分的平均數(shù)為 ×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正確；將小組B打分從小到大排列為36,55,58,62,66,68,68,70,75，所以中位數(shù)為66，故B正確；
小組A打分的分值的極差為54－43＝11，小組B打分的分值的極差為75－36＝39，故C錯(cuò)誤；
小組A打分的分值相對(duì)更集中，所以小組A打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差，故D正確.
(2)某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的25 %分位數(shù)是________.
由莖葉圖知數(shù)據(jù)從小到大排列為27,28,32,33,36,36,38,40,45,52,54,58，因?yàn)?2×25%＝3，
題型二　總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
例2　2024年，安徽、甘肅、廣西、貴州、黑龍江、吉林、江西七省區(qū)作為第四批實(shí)施改革的省份進(jìn)入新高考.2023年10月，進(jìn)入新高考的七個(gè)省份相繼公布了高考選考科目的試卷結(jié)構(gòu).某考試機(jī)構(gòu)舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績(jī)，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基
計(jì)劃.在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求出圖中a的值并估計(jì)本次考試的及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占比例)；
由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率為(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.
(2)估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的80%分位數(shù)；
得分在110以下的學(xué)生所占比例為(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的學(xué)生所占比例為0.66＋0.014×20＝0.94，所以80%分位數(shù)位于[110,130)內(nèi)，
(3)估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù).
由圖可得，眾數(shù)的估計(jì)值為100.平均數(shù)的估計(jì)值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.
頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.
跟蹤訓(xùn)練2　某市共有居民60萬(wàn)人，為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計(jì)該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)；
由頻率分布直方圖，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1，解得a＝0.3；
月均用水量不少于3噸的人數(shù)為(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72 000.
(2)估計(jì)該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù).
由圖可估計(jì)眾數(shù)為2.25；設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48

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