?專題2.1 函數(shù)的概念及其表示


【考點1：函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素】 1
【考點2：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)】 3
【考點3：函數(shù)的定義域及其求法】 5
【考點4：函數(shù)的值域】 7
【考點5：函數(shù)的表示方法】 12
【考點6：分段函數(shù)的解析式及圖象】 14


【考點1：函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素】
【知識點：函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素】

函數(shù)
兩集合A，B
設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集
對應(yīng)關(guān)系f：A→B
如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)
名稱
稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)
記法
y＝f(x)，x∈A
（多選）1．（2021秋?青島期末）下面選項中，變量y是變量x的函數(shù)的是（　?。?br /> A．x表示某一天中的時刻，y表示對應(yīng)的某地區(qū)的氣溫
B．x表示年份，y表示對應(yīng)的某地區(qū)的GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）
C．x表示某地區(qū)的學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績，y表示該地區(qū)學(xué)生對應(yīng)的考試號
D．x表示某人的月收入，y表示對應(yīng)的個稅
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：ABD都是兩個非空數(shù)集之間的關(guān)系，且每一個變量都有唯一的y和其相對應(yīng)，故是函數(shù)關(guān)系，
C．對于每一個x的值，對應(yīng)的y值不唯一，不是函數(shù)關(guān)系，
故選：ABD．
2．（2021秋?宿州期中）函數(shù)y＝f（x）與y軸的交點個數(shù)為（　?。?br /> A．至少1個 B．至多一個
C．有且只有一個 D．與f（x）有關(guān)，不能確定
【分析】由函數(shù)的定義，對任意一個x，有且只有一個y與之對應(yīng)，從而可知若x可以等于0，則有且只有一個y與之對應(yīng)．
【解答】解：由函數(shù)的定義，
對任意一個x，有且只有一個y與之對應(yīng)，
若x可以等于0，則有且只有一個y與之對應(yīng)，
故函數(shù)y＝f（x）的圖象與y軸的交點個數(shù)至多有一個．
故選：B．
3．（2022春?興慶區(qū)校級期末）設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的定義，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一個元素和它對應(yīng)，進(jìn)而可以得到答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析4個圖形，
對于①，其定義域為{x|0≤x≤1}，不符合題意，
對于②，符合題意，
對于③，符合題意，
對于④，集合M中有的元素在集合N中對應(yīng)兩個值，不符合函數(shù)定義，
故選：C．
（多選）4．（2021秋?南海區(qū)校級月考）下列對應(yīng)關(guān)系是集合M＝{﹣2，2，4}到集合N＝{0，2，4，16}的函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝x2 D．y＝|x|
【分析】直接利用函數(shù)的概念和 函數(shù)的關(guān)系式的運(yùn)算確定結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)的概念：下列對應(yīng)關(guān)系是集合M＝{﹣2，2，4}到集合N＝{0，2，4，16}的函數(shù)，
對于A：當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣4?N，故A錯誤；
對于B：當(dāng)x＝﹣2時，y＝0，當(dāng)x＝2時，y＝4，當(dāng)x＝4時，y＝6?N，不符合函數(shù)的概念，故B錯誤；
對于C：當(dāng)x＝﹣2時，y＝4，當(dāng)x＝2時，y＝4，當(dāng)x＝4時，y＝16，符合函數(shù)的概念，故C正確；
對于D：當(dāng)x＝﹣2時，y＝2，當(dāng)x＝2時，y＝2，當(dāng)x＝4時，y＝4，符合函數(shù)的概念，故D正確．
故選：CD．
（多選）5．（2021秋?平湖市校級月考）中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{﹣1，1，2，4，16}，給出下列四個對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是（　　）
A．y=1x B．y＝x C．y＝x+1 D．y＝x2
【分析】由函數(shù)的定義對4個選項依次判斷即可．
【解答】解：對于選項A，4∈M，y=14?N，故不能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；
對于選項B，?x∈M，y＝x∈N，故能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；
對于選項C，﹣1∈M，y＝﹣1+1＝0?N，故不能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；
對于選項D，?x∈M，y＝x2∈N，故能構(gòu)成從M到N的函數(shù)；
故選：BD．
6．（2021秋?賓縣校級月考）下列集合A、B及其對應(yīng)法則不能構(gòu)成函數(shù)的是（　　）
A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1|
B．A＝B＝R，f(x)=1x
C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3
D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．
【解答】解：對于A，C，D，集合A中的任意一個元素，按照對應(yīng)法則f（x），在集合B中都有唯一個元素與之對應(yīng)，符合函數(shù)的定義，所以A，C，D正確，
對于B，對于集合A中元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，故B錯誤，
故選：B．

【考點2：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)】
【知識點：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)】
如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)是同一函數(shù)，這是判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù)．
1．（2021秋?達(dá)州期末）下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝|x|相等的是（　　）
A．y=x2 B．y=(3x)3 C．y=(4x)4 D．y=x2x
【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素逐一判斷即可．
【解答】解：因為函數(shù)y＝|x|的定義域為R．
A．y=x2=|x|（x∈R），與y＝|x|是同一函數(shù)；
B．y=(3x)3=x（x∈R），與y＝|x|不是同一函數(shù)；
C．y=(4x)4=x（x＞0），與y＝|x|不是同一函數(shù)；
D．y=x2x=x（x≠0），與y＝|x|不是同一函數(shù)；
故選：A．
2．（2021秋?成都期末）下列函數(shù)表示同一函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝x+1與y=x2x+1 B．y＝x3與y＝（x﹣1）3
C．y＝|x|與y=(x)2 D．y＝x0與y=1x0
【分析】根據(jù)同一函數(shù)的兩個條件即定義域與解析式完全相同對應(yīng)各個選項判斷求解即可．
【解答】解：選項A：因為函數(shù)y＝x+1的定義域為R，而函數(shù)y=x2x+1＝x+1，定義域為{x|x≠0}，故A錯誤，
選項B：兩個函數(shù)的解析式不同，故B錯誤，
選項C：因為函數(shù)y＝|x|的定義域為R，而函數(shù)y＝（x）2的定義域為[0，+∞），故C錯誤，
選項D：因為y＝x0＝1，函數(shù)定義域為{x|x≠0}，函數(shù)y=1x0=1，函數(shù)定義域為{x|x≠0}，故D正確，
故選：D．
（多選）3．（2021秋?盤龍區(qū)月考）下列每組函數(shù)不是同一函數(shù)的是（　?。?br /> A．f(x)=x-1，g(x)=(x-1)2
B．f(x)=x-1，g(x)=(x-1)2
C．f(x)=x2-4x-2，g(x)=x+2
D．f(x)=|x|，g(x)=x2
【分析】結(jié)合函數(shù)的三要素別檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：A：g（x）|與f（x）的定義域不同，不符合題意；
B：g（x）與f（x）的對應(yīng)關(guān)系 不同，不符合題意；
C：（x）與g（x）的定義域不同，不符合題意；
D：f（x）與g（x）的定義域都為R，對應(yīng)關(guān)系也相同，故是同一函數(shù)．
故選：ABC．
4．（2021秋?蘭州期末）下列每組函數(shù)是同一函數(shù)的是（　?。?br /> A．f（x）＝1，g（x）＝x0
B．f(x)=x2-4x-2，g(x)=x+2
C．f(x)=|x-3|，g(x)=(x-3)2
D．f(x)=(x-1)(x-3)，g(x)=x-1x-3
【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷它們是同一函數(shù)．
【解答】解：對于A，f（x）＝1（x∈R），與g（x）＝x0＝1（x≠0）的定義域不同，不是同一函數(shù)；
對于B，f（x）=x2-4x-2=x+2（x≠2），與g（x）＝x+2（x∈R）的定義域不同，不是同一函數(shù)；
對于C，f（x）＝|x﹣3|（x∈R），與g（x）=(x-3)2=|x﹣3|（x∈R）的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；
對于D，f（x）=(x-1)(x-3)=（x≤1或x≥3），與g（x）=x-1?x-3=(x-1)(x-3)（x≥3）的定義域不同，不是同一函數(shù)．
故選：C．

【考點3：函數(shù)的定義域及其求法】
【知識點：函數(shù)的定義域及其求法】
①常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求
(1)分式函數(shù)中分母不等于零．
(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.
(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．
②對于抽象函數(shù)定義域的求解
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域．
1．（2022春?疏勒縣校級期末）函數(shù)y=x-2x中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0
【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．
【解答】解：要使原式有意義，則x-2≥0x≠0，即x≥2．
∴自變量x的取值范圍是x≥2．
故選：B．
2．（2022春?銅鼓縣校級期末）函數(shù)f(x)=-x2+x+6+|x|x-1的定義域為（　　）
A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） B．[﹣3，1）∪（1，2]
C．[﹣2，1）∪（1，3] D．（﹣2，1）∪（1，3）
【分析】由題意，利用偶次根式、分式的性質(zhì)，求得x的范圍．
【解答】解：∵函數(shù)f(x)=-x2+x+6+|x|x-1，
∴﹣x2+x+6≥0且x﹣1≠0，
求得：﹣2≤x≤3且x≠1．
故選：C．
3．（2022春?玉林期末）已知函數(shù)f（x）的定義域為（3，5），則函數(shù)f（2x+1）的定義域為（　?。?br /> A．（1，2） B．（7，11） C．（4，16） D．（3，5）
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：∵f（x）的定義域為（3，5），
∴3＜x＜5，
由3＜2x+1＜5，得1＜x＜2，
則函數(shù)f（2x+1）的定義域為（1，2），
故選：A．
4．（2022春?商丘期末）已知函數(shù)f（x+2）的定義域為（﹣3，4），則函數(shù)g(x)=f(x)3x-1的定義域為（　?。?br /> A．(13，4) B．(13，2) C．(13，6) D．(13，1)
【分析】由已知求得f（x）的定義域，結(jié)合分式的分母不為0，可得函數(shù)g（x）的定義域．
【解答】解：∵函數(shù)f（x+2）的定義域為（﹣3，4），即﹣3＜x＜4，
∴x+2∈（﹣1，6），即f（x）的定義域為（﹣1，6）．
又3x﹣1＞0，∴x＞13，取交集可得函數(shù)g（x）的定義域為(13，6)．
故選：C．
5．（2022春?渭濱區(qū)期末）若函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域為R，則a的范圍是（　?。?br /> A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）
【分析】由題意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求出a的范圍．
【解答】解：∵函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域為R，∴ax2+ax+1≥0恒成立．
當(dāng)a＝0時，顯然滿足ax2+ax+1≥0恒成立．
當(dāng)a＜0時，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，
當(dāng)a＞0時，應(yīng)有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．
綜上可得，a∈[0，4]，
故選：A．
6．（2022春?興慶區(qū)校級期末）若函數(shù)y=ax+1ax2-4ax+2的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．(0，12] B．(0，12) C．[0，12) D．[0，12]
【分析】根據(jù)題意可得出：不等式ax2﹣4ax+2＞0的解集為R，然后討論a是否為0：a＝0顯然符合題意；a≠0時，可得出a＞0△＜0，然后解出a的范圍，從而得出a的取值范圍．
【解答】解：根據(jù)題意知，不等式ax2﹣4ax+2＞0的解集為R，
（1）a＝0時，2＞0恒成立，滿足題意；
（2）a≠0時，a＞0Δ=16a2-8a＜0，解得0＜a＜12，
∴綜上得，實數(shù)a的取值范圍是：[0，12)．
故選：C．

【考點4：函數(shù)的值域】
【知識點：函數(shù)的值域】
求函數(shù)值域的常用方法
方法
步驟
觀察法
第一步 觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)；
第二步 利用這些特殊函數(shù)的有界性，結(jié)合不等式推導(dǎo)出函數(shù)的值域.
分離常數(shù)法
第一步 觀察函數(shù)類型，型如；
第二步 對函數(shù)變形成形式；
第三步 求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求函數(shù)的值域.
配方法
第一步 將二次函數(shù)配方成；
第二步 根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.
換元法
第一步 觀察函數(shù)解析式的形式，函數(shù)變量較多且相互關(guān)聯(lián)；
第二步 另新元代換整體，得一新函數(shù)，求出新函數(shù)的值域即為原函數(shù)的值域.
基本不等式法
第一步 觀察函數(shù)解析式的形式，型如或的函數(shù)；
第二步 對函數(shù)進(jìn)行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進(jìn)而得到函數(shù)的值域.
1．（2021秋?陽春市校級月考）函數(shù)f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域為（　　）
A．[﹣6，2] B．[﹣6，1] C．[0，2] D．[0，1]
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可得出函數(shù)的值域．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝﹣2x2+4x的開口向下，對稱軸為x＝1，
所以f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，
所以f（x）max＝f（1）＝2，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣6，
所以函數(shù)f（x）＝﹣2x2+4x，x∈[﹣1，2]的值域為[﹣6，2]．
故選：A．
2．（2022春?興慶區(qū)校級期末）函數(shù)f(x)=x+x-2的值域是（　?。?br /> A．[2，+∞） B．[74，+∞) C．[0，+∞） D．（2，+∞）
【分析】先求函數(shù)定義域，再判斷函數(shù)單調(diào)性，再求值域．
【解答】解：f(x)=x+x-2的定義域為x≥2，
函數(shù)y＝x在[2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
函數(shù)y=x-2在[2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f(x)=x+x-2在[2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)x＝2是f（x）取得最小值2，
∴f（x）的值域為[2，+∞）．
故選：A．
3．（2022春?定南縣校級月考）函數(shù)y=2x-x-1的值域為（　?。?br /> A．(-∞，-158] B．(-∞，-158) C．(158，+∞) D．[158，+∞)
【分析】先進(jìn)行換元，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．
【解答】解：令t=x-1，則x＝t2+1，t≥0，
y=2x-x-1=2t2+2﹣t＝2（t-14）2+158，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=14時，函數(shù)取得最小值158，即y≥158．
故選：D．
4．（2022?3月份模擬）函數(shù)f(x)=2x-33x+1的值域（　?。?br /> A．(-∞，13)∪(13，+∞) B．(-∞，32)∪(32，+∞)
C．(-∞，-13)∪(-13，+∞) D．(-∞，23)∪(23，+∞)
【分析】化簡分式函數(shù)為一個常數(shù)和分式的代數(shù)和形式，再根據(jù)分式不等于零，求得函數(shù)的值域．
【解答】解：函數(shù)f(x)=2x-33x+1=2(x+13)-1133(x+13)=23-113(3x+1)，
由于113(3x+1)≠0，故函數(shù)f（x）的值域為{f（x）|f（x）≠23}，
故選：D．
5．（2021秋?涼州區(qū)期末）函數(shù)y=x2+1x(x＞0)的值域為（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
【分析】由已知進(jìn)行分離變形，然后結(jié)合基本不等式即可求解函數(shù)的最值，進(jìn)而可求函數(shù)的值域．
【解答】解：x＞0時，y=x2+1x=x+1x≥2x?1x=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1x，即x＝1時取等號，此時函數(shù)取得最小值2，
所以函數(shù)y=x2+1x(x＞0)的值域為[2，+∞）．
故選：C．
6．（2022春?湖北期中）下列函數(shù)中，值域是（0，+∞）的是（　　）
A．y=x2-2x+1 B．y=x+2x+1（x∈（0，+∞））
C．y=2x2+2x+1（x∈N） D．y=1|x+1|
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：y=x2-2x+1=(x-1)2=|x﹣1|≥0，即函數(shù)的值域為[0，+∞），
y=x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，則函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，
則1＜y＜2，即函數(shù)的值域為（1，2），
∵函數(shù)的定義域為N，∴函數(shù)的y=2x2+2x+1（x∈N）值域不連續(xù)，不滿足條件．
∵y=1|x+1|＞0，∴函數(shù)的值域為（0，+∞），
故選：D．
（多選）7．（2021秋?黃梅縣校級期末）下列函數(shù)中，值域為[1，+∞）的是（　　）
A．f(x)=x2+1 B．f(x)=2x+1x+1
C．f(x)=x+1-2x-1 D．f（x）＝x3+1
【分析】結(jié)合二次函數(shù)，冪函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)先求出各選項中函數(shù)的值域，然后檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：A：f（x）=x2+1≥1，符合題意；
B：f（x）=2x+1x+1=2-1x+1≠2，不符合題意；
C：令t=2x-1，則x=1+t22且t≥0，
所以y＝1+1+t22-t=12(t2-2t+3)=12（t﹣1）2+1≥1，符合題意；
根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可得f（x）＝1+x3的值域為R，不符合題意．
故選：AC．
8．（2022?虹口區(qū)二模）函數(shù)f(x)=x+9x(x＞0)的值域為 　[6，+∞）?。?br /> 【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：因為x＞0，
所以f（x）＝x+9x≥2x?9x=6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時取等號，
所以函數(shù)的值域為[6，+∞）．
故答案為：[6，+∞）．
9．（2018秋?溧陽市期末）函數(shù)f（x）＝x2﹣4x（﹣1≤x≤a）的值域為[﹣4，5]，則實數(shù)a的取值范圍為　[2，5]　
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的對稱軸，結(jié)合函數(shù)值域確定定義域的范圍即可．
【解答】解：f（x）＝（x﹣2）2﹣4，對稱軸為x＝2，
由（x﹣2）2﹣4＝5，得（x﹣2）2＝9，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
即x＝5或x＝﹣1，
∵f（﹣1）＝5，f（2）＝﹣4，
∴2≤a≤5，
即實數(shù)a的取值范圍是[2，5]，
故答案為：[2，5]
10．（2021秋?黃梅縣校級期末）若函數(shù)f(x)=12x2-x+a的定義域和值域均為[1，b]（b＞1），則a+b的值為 　92?。?br /> 【分析】先確定二次函數(shù)圖象的開口方向及對稱軸，然后判斷函數(shù)在區(qū)間[1，b]上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求．
【解答】解：因為f(x)=12x2-x+a的圖象開口向上，對稱軸x＝1，
故函數(shù)f（x）在定義域[1，b]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得最小值f（1）＝a-12=1，當(dāng)x＝b時，函數(shù)取得最大值f（b）=12b2-b+a=b，
故a=32，b＝3或b＝1（舍），
所以a+b=92．
故答案為：92．


【考點5：函數(shù)的表示方法】
【知識點：求函數(shù)解析式的四種方法】

1．已知f（1+1x）=1x-1，則f（x）＝　x﹣2（x≠1）?。?br /> 【分析】先令括號里1+1x=t，求出t的范圍，將x用t表示，求出f（t）的解析式，最后在將t換成x即可，注意變量的范圍．
【解答】解：設(shè)1+1x=t（t≠1），則x=1t-1，
∴f（t）=11t-1-1＝t﹣2（t≠1）．
∴f（x）＝x﹣2（x≠1）．
故答案為x﹣2（x≠1）．
2．（2021秋?太湖縣月考）已知f（x+1）＝2x2+1，則f（x﹣1）＝　2x2﹣8x+9?。?br /> 【分析】先設(shè)x+1＝t，則x＝t﹣1，求出f（t），然后再把f（t）中所有的t都換成x﹣1，得到f（x﹣1）．
【解答】解：設(shè)x+1＝t，則x＝t﹣1，
f（t）＝2（t﹣1）2+1＝2t2﹣4t+3，
f（x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+3
＝2x2﹣4x+2﹣4x+4+3
＝2x2﹣8x+9．
故答案為：2x2﹣8x+9．
3．（2010?鄆城縣校級一模）如果f[f（x）]＝2x﹣1，則一次函數(shù)f（x）＝　2x+1-2或-2x+1+2?。?br /> 【分析】設(shè)f（x）＝kx+b，則f[f（x）]＝k2x+kb+b＝2x﹣1，所以k2＝2且kb+b＝﹣1，k＝±2．由此可求出一次函數(shù)f（x）．
【解答】解：設(shè)f（x）＝kx+b，則f[f（x）]＝kf（x）+b＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b．
由于該函數(shù)與y＝2x﹣1是同一個函數(shù)，
即k2＝2且kb+b＝﹣1．
由k2＝2可得k＝±2．
當(dāng)k=2時，b＝1-2；
當(dāng)k=-2時，b＝1+2．
故答案為：f（x）=2x+1-2或f（x）=-2x+1+2
4．（2022春?鹽城校級期中）已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．
【分析】（1）由于已知函數(shù)類型為二次函數(shù)，故可以使用待定系數(shù)法求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分析二次函數(shù)的開口方向及對稱軸與區(qū)間[﹣1，1]的關(guān)系，易得y＝f（x）在[﹣1，1]上的最大值．
【解答】解：（1）設(shè)f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x
即：2a=2a+b=0
即a＝1，b＝﹣1
又由f（0）＝1．
得：c＝1
∴f（x）＝x2﹣x+1
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）＝x2﹣x+1的圖象為
開口方向朝上，以x=12為對稱軸的拋物線
故在區(qū)間[﹣1，1]上，當(dāng)x＝﹣1時，
函數(shù)取最大值f（﹣1）＝3

【考點6：分段函數(shù)的解析式及圖象】
【知識點：分段函數(shù)的解析式及圖象】
①分段函數(shù)求值的解題思路：求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.
②求分段函數(shù)自變量的值或范圍的方法：求某條件下自變量的值或范圍，先假設(shè)所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值或范圍，切記代入檢驗，看所求的自變量的值或范圍是否滿足相應(yīng)各段自變量的取值范圍.
1．（2021秋?香坊區(qū)校級期中）已知函數(shù)f(x)={x+1-x+3(x≤1)(x＞1)，則f[f(52)]的值為（　?。?br /> A．52 B．32 C．12 D．-12
【分析】由已知中函數(shù)f(x)={x+1-x+3(x≤1)(x＞1)，先求出f(52)值，進(jìn)而代入可求出f[f(52)]的值．
【解答】解：∵已知函數(shù)f(x)={x+1-x+3(x≤1)(x＞1)，
∴f(52)=-52+3=12
f[f(52)]=f(12)=12+1=32
故選：B．
2．（2021秋?廣州期中）函數(shù)f（x）＝x+|x|x的圖像是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】將函數(shù)解析式利用絕對值的定義進(jìn)行化簡變形，得到分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象即可得到答案．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝x+|x|x=x+1，x＞0x-1，x＜0，
作出函數(shù)圖象為：

故選：C．
3．（2020春?祥云縣期末）已知函數(shù)y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（a）＝10，則a的值是（　?。?br /> A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5
【分析】結(jié)合題意，需要對a進(jìn)行分類討論，若a≤0，則f（a）＝1+a2；若a＞0，則f（a）＝2a，從而可求a
【解答】解：若a≤0，則f（a）＝a2+1＝10
∴a＝﹣3（a＝3舍去）
若a＞0，則f（a）＝2a＝10
∴a＝5
綜上可得，a＝5或a＝﹣3
故選：B．
4．（2021秋?翠屏區(qū)校級月考）設(shè)f（x）=(x+1)2(x＜1)4-x-1(x≥1)則使得f（m）＝1成立的m值是（　　）
A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，11
【分析】因為是分段函數(shù)，所以分：當(dāng)m＜1時，f（m）＝（m+1）2＝1和當(dāng)m≥1時，f（m）＝4-m-1=1兩種情況取并集．
【解答】解：當(dāng)m＜1時，f（m）＝（m+1）2＝1
∴m＝﹣2或m＝0
當(dāng)m≥1時，f（m）＝4-m-1=1
∴m＝10
綜上：m的取值為：﹣2，0，10
故選：C．
5．（2021春?河?xùn)|區(qū)期末）已知f（x）=12x+1，x≤0-(x-1)2，x＞0使f（x）≥﹣1成立的x的取值范圍是（　?。?br /> A．[﹣4，2） B．[﹣4，2] C．（0，2] D．（﹣4，2]
【分析】此是一分段函數(shù)型不等式，解此類不等式應(yīng)在不同的區(qū)間上分類求解，最后再求它們的并集．
【解答】解：∵f（x）≥﹣1，
∴x≤012x+1≥-1或x＞0-(x-1)2≥-1

∴﹣4≤x≤0或0＜x≤2，
即﹣4≤x≤2．
應(yīng)選B．
6．（2021秋?東莞市校級月考）已知函數(shù)f(x)=2x，x＜0-x，0≤x＜212x-3，x≥2．
（1）求f（0），f（f（2））；
（2）若f（m）＝﹣1，求m的值；
（3）在給定的坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f（x）的圖象．

【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)f（x）的解析式求解．
（2）對m的范圍分三種情況討論，分別求出對應(yīng)的m的值即可．
（3）根據(jù)分段函數(shù)f（x）的解析式，分別畫出每一段的圖像即可．
【解答】解：（1）f（0）＝0，f（2）=12×2-3＝﹣2，
∴f（f（2））＝f（﹣2）=2-2=-1．
（2）當(dāng)m＜0時，f（m）=2m=-1，
∴m＝﹣2，
當(dāng)0≤m＜2時，f（m）＝﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
當(dāng)m≥2時，f（m）=12m-3=-1，
∴m＝4，
綜上所述，m的值為﹣2或1或4．
（3）函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，


相關(guān)試卷

專題2.1 函數(shù)的概念及其表示（6類必考點）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)專題突破（北師大版必修第一冊）：

這是一份專題2.1 函數(shù)的概念及其表示（6類必考點）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)專題突破（北師大版必修第一冊），文件包含專題21函數(shù)的概念及其表示6類必考點北師大版必修第一冊原卷版docx、專題21函數(shù)的概念及其表示6類必考點北師大版必修第一冊解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共28頁， 歡迎下載使用。

專題6.1 抽樣的基本方法-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）：

這是一份專題6.1 抽樣的基本方法-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊），文件包含專題61抽樣的基本方法4類必考點北師大版2019必修第一冊原卷版docx、專題61抽樣的基本方法4類必考點北師大版2019必修第一冊解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共25頁， 歡迎下載使用。

專題4.2 對數(shù)函數(shù)-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）：

這是一份專題4.2 對數(shù)函數(shù)-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊），文件包含專題42對數(shù)函數(shù)5類必考點北師大版2019必修第一冊原卷版docx、專題42對數(shù)函數(shù)5類必考點北師大版2019必修第一冊解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共37頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題4.1 對數(shù)運(yùn)算-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)常考考點訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）

專題4.1 對數(shù)運(yùn)算-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）
專題3.1 指數(shù)-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）

專題3.1 指數(shù)-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）
專題2.3 冪函數(shù)-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)常考考點訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）

專題2.3 冪函數(shù)-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）
專題1.1 集合的概念-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）

專題1.1 集合的概念-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)?？伎键c訓(xùn)練（北師大版2019必修第一冊）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部