TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19464" 【題型1 求投影向量】 PAGEREF _Tc19464 \h 3
\l "_Tc8748" 【題型2 向量數(shù)量積的計(jì)算】 PAGEREF _Tc8748 \h 4
\l "_Tc25688" 【題型3 求向量的夾角（夾角的余弦值）】 PAGEREF _Tc25688 \h 6
\l "_Tc16316" 【題型4 已知向量的夾角求參數(shù)】 PAGEREF _Tc16316 \h 7
\l "_Tc14538" 【題型5 求向量的?！?PAGEREF _Tc14538 \h 9
\l "_Tc6433" 【題型6 已知模求參數(shù)】 PAGEREF _Tc6433 \h 10
【知識(shí)點(diǎn)1 向量的數(shù)量積】
1．向量的數(shù)量積
(1)向量數(shù)量積的物理背景
在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.
我們知道力和位移都是矢量，而功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個(gè)矢量也可以進(jìn)行運(yùn)算，并且這個(gè)運(yùn)算明顯不同于向量的數(shù)乘運(yùn)算，因?yàn)閿?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量.
(2)向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點(diǎn)，作=，=，則∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量與的夾角，也常用表示.

(3)兩個(gè)向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量||||叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即=||||.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0=0.
(4)向量的投影
如圖，設(shè)，是兩個(gè)非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，
分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律
(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則
①==.
②=0.
③當(dāng)與同向時(shí)，=；當(dāng)與反向時(shí)，=-.
特別地，==或=.
④|a|，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即∥時(shí)，等號(hào)成立.
⑤=.
(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律
由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：
對(duì)于向量，，和實(shí)數(shù)，有
①交換律：=；
②數(shù)乘結(jié)合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量數(shù)量積的常用結(jié)論
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立，與反向共線時(shí)左邊等
號(hào)成立.
以上結(jié)論可作為公式使用.
【題型1 求投影向量】
【例1】（2023上·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b不共線，滿足|a+b|=|a?b|，則a?b在b方向上的投影向量為（ ）
A．a(chǎn)B．bC．?aD．?b
【解題思路】將已知條件平方求得a?b=0，然后根據(jù)投影向量公式可得.
【解答過程】因?yàn)閨a+b|=|a?b|，
所以a+b2=a?b2，即a2+2a?b+b2=a2?2a?b+b2，得a?b=0，
則a?b在b方向上的投影向量為a?b?bb2?b=a?b?b2b2?b=?b2b2?b=?b.
故選：D.
【變式1-1】（2023上·貴州貴陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知|a|=2，e為單位向量，向量a與向量e的夾角為3π4，則向量a在向量e上的投影向量為（ ）
A．2eB．?2eC．2D．?2
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解即得.
【解答過程】依題意，a?e=|a|cs3π4=?2，所以向量a在向量e上的投影向量為(a?e)e=?2e.
故選：B.
【變式1-2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知向量a與單位向量b的夾角為π3，且a=2，則b在a方向上的投影向量為（ ）
A．12B．12bC．12aD．14a
【解題思路】直接根據(jù)投影向量的定義即可得結(jié)果.
【解答過程】b在a方向上的投影向量為bcsa,b?aa=12×12a=14a，
故選：D.
【變式1-3】（2023上·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）在等邊△ABC中，AD=2AB+3AC，則向量AD在向量BC上的投影向量為（ ）
A．13BCB．12BCC．?13BCD．?12BC
【解題思路】根據(jù)投影向量的求法求得正確答案.
【解答過程】由題可知AD?BC=(2AB+3AC)?BC
=2AB?BC+3AC?BC
=2AB?BC?cs120°+3AC?BC?cs60°
=?|BC|2+32|BC|2=12|BC|2，
AD?BC|BC|2?BC=12BC，所以向量AD在向量BC上的投影向量為12BC．
故選：B.
【題型2 向量數(shù)量積的計(jì)算】
【例2】（2023上·四川南充·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a,b=2π3，則a?(a+b)=（ ）
A．?2B．?1C．0D．2
【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即可.
【解答過程】因?yàn)閨a|=1,|b|=2,a,b=2π3，
所以a?b=1×2×cs2π3=?1，
所以a?(a+b)=a2+a?b=1?1=0.
故選：C.
【變式2-1】（2023·安徽·校聯(lián)考一模）在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，則AB+AC?AB=（ ）
A．10B．12C．?10D．?12
【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得結(jié)果.
【解答過程】記AC=a,AB=b，則a=3,b=4，a,b=120°，
∵a?b=a?bcs120°=12cs120°=?6，
∴b+a?b=b2+a?b=16?6=10．
故選：A.
【變式2-2】（2023上·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）線段AB的長度為6，C，D為其三等分點(diǎn)（C靠近A，D靠近B），若P為線段AB外一點(diǎn)，且滿足PC?PD=0，則PA?PB=（ ）
A．36B．－36C．－8D．8
【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可得到答案.
【解答過程】PA=PC+CA，PB=PD+DB，
所以PA?PB=PC+CA?PD+DB=PC?PD+PC?DB+CA?PD+CA?DB
因?yàn)锳B的長度為6，C，D為其三等分點(diǎn)（C靠近A，D靠近B），PC?PD=0，
所以PA?PB=PC?DB?DB?PD+CA?DB
=DBPC?PD?DB2=DB?DC?DB2=?2DB2=?2×22=?8，
故選：C.

【變式2-3】（2023上·天津東麗·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若AD=4，BD=2，點(diǎn)M為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則AM?BC?MD的最大值為（ ）

A．169B．214C．6D．10
【解題思路】利用平面向量的線性表示和數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.
【解答過程】根據(jù)題意可得，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120°，
又因?yàn)锳D=4,BD=2，
所以BF=CE=AD=4,BD=DF=CF=EF=AE=DE=2，
設(shè)EM=λEC0≤λ≤1,則MC=1?λEC，
所以MD=ME+ED=ED?EM=ED?2λEF，
AM?BC=AC+CM?AC?AB=CM+AB =2λ?1EF+2ED?DF，
所以AM?BC?MD=2λ?1EF+2ED?DF?ED?2λEF
=?4λλ?1EF2+2λ?1ED?EF?4λEF?ED+2ED2+2λDF?EF?DF?ED
=?16λλ?1+4λ?1?8λ+8+4λ+2
=?16λ2+16λ+6=?16λ?122+10，
令fλ=?16λ?122+10，
當(dāng)λ∈0,12單調(diào)遞增，λ∈12,1單調(diào)遞減，
當(dāng)λ=12，AM?BC?MD取最大值為10.
故選：D.
【題型3 求向量的夾角（夾角的余弦值）】
【例3】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|，且|a?2b|=|a+4b|，則a,b的夾角為（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解題思路】利用平面向量的數(shù)量積和模長求夾角即可.
【解答過程】由已知|a?2b|=|a+4b|可得a2?4?a?b+4b2=a2+8a?b+16b2，即a?b+b2=0，
又因?yàn)閨a|=2|b|，所以csa,b=?b2a?b=?12，
所以夾角為2π3.
故選：C.
【變式3-1】（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考期中）已知向量a=1，b=2，|c|=5，且a+b+c=0，則cs?c?a,c?b?=（ ）
A．3434B．3417C．33434D．53434
【解題思路】根據(jù)模長公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可由夾角公式求解.
【解答過程】由a+b+c=0可得a+b=?c，所以a+b2=?c2?1+4+2a?b=5?a?b=0，
同理由a+c=?b和?a=b+c可得b?c=?4,a?c=?1，
所以c?a?c?b=c2?b?c?a?c+a?b=5+4+1+0=10，
c?a=c2+a2?2a?c=5+1+2=22,c?b=c2+b2?2b?c=5+4+8=17
故csc?a,c?b=c?a?c?bc?ac?b=1022×17=53434，
故選：D.
【變式3-2】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知平面向量a→,b→滿足|b|=2|a|=2，若a⊥a?b，則a與b的夾角為（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解題思路】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積運(yùn)算律、定義可得1?2csa,b=0，即可求夾角.
【解答過程】由題設(shè)a?a?b=a2?a?b=0，而|a|=1,|b|=2，
所以1?2csa,b=0?csa,b=12，a,b∈[0,π]，
所以a,b=π3.
故選：B.
【變式3-3】（2023·貴州·清華中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量a=b=1，且a與b的夾角為θ，a?b>0，向量2a?b與a+2b的夾角為π3，則csθ=（ ）
A．51326B．51352C．2626D．21313
【解題思路】由題意a=b=1，a?b=csθ>0，然后由模長公式、數(shù)量積的運(yùn)算公式分別表示出2a?b?a+2b,2a?b,a+2b，最終列出方程求解即可.
【解答過程】由題意a?b=a?bcsθ=csθ>0，而2a?b?a+2b=2a2?3a?b?2b2=?3csθ，
2a?b=2a?b2=5?4csθ,a+2b=a+2b2=5+4csθ，
又向量2a?b與a+2b的夾角為π3，
所以csπ3=12=?3csθ5?4csθ?5+4csθ，即36cs2θ=25?16cs2θ,
又a?b=csθ>0，所以解得csθ=51326.
故選：A.
【題型4 已知向量的夾角求參數(shù)】
【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知向量a,b滿足a→·b→=0，|a+b|=m|a|，若a+b與a?b的夾角為2π3，則m的值為（ ）
A．2B．3C．1D．12
【解題思路】由題意，a?·b?=0，a+b=ma，a+b與a?b的夾角為2π3，可得(a+b)?(a?b)=|a+b||a?b∣×cs23π，代入可得關(guān)于m的方程，解方程可得答案.
【解答過程】解：∵|a+b|=m|a|>0,∴m>0,
又∵a?b=0,∴a⊥b,|a?b|=|a+b|=m|a|，
∴a2+2a?b+|b|2=m2|a|2，
|b|2=m2?1|a|2，
(a+b)?(a?b)=|a+b||a?b∣×cs23π，
?m|a→|×m|a→|×?12=1?m2?1|a→|2，
即?12m2=2?m2，
得m2=4,m=2或m=?2（舍去），
故m的值為2.
故選：A.
【變式4-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知單位向量e1，e2的夾角為60°，向量a=?2e1+3e2，b=2me1?2e2，m∈Z，向量a，b的夾角的余弦值為?217，則m=（ ）
A．1B．?4C．2D．?5
【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量的夾角公式代入計(jì)算，列出方程，即可得到結(jié)果.
【解答過程】由題意，得e1?e2=12，
所以a2=?2e1+3e22=4e12?12e1?e2+9e22=7，
b2=2me1?2e22=4m2e12?8me1?e2+4e22=4m2?4m+4．
而a?b=?2e1+3e2?2me1?2e2=?4me12+6me1?e2+4e1?e2?6e22=?m?4，
所以cs?a,b?=a?b|a||b|=?m?47×4m2?4m+4=?217．
整理，得11m2?20m?4=0，解得m=2或m=?211（舍去）．
故選：C．
【變式4-2】（2023下·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期中）已知向量a,b，若|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°；若a+b與ta?b的夾角為鈍角，則t取值范圍為（ ）
A．?∞,1B．1,+∞
C．?1,1∪1,+∞D(zhuǎn)．?∞,?1∪?1,1
【解題思路】根據(jù)a+b與ta?b的數(shù)量積小于0，且不共線可得.
【解答過程】∵a+b與ta?b的夾角為鈍角，
∴a+b?ta?b=ta2?a?b+ta?b?b20，所以k=1.
故選：A.
【變式6-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)非零向量a,b的夾角為θ，若a=2b，且不等式2a+b≥a+λb對(duì)任意θ恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（ ）
A．?1,3B．?1,5C．?7,3D．5,7
【解題思路】根據(jù)題先利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化為(13?λ2)+(8?4λ)csθ≥0恒成立，然后結(jié)合函數(shù)的恒成立，列出不等式組，即可求解.
【解答過程】由題意，非零向量a,b的夾角為θ，且a=2b，
則a?b=a?bcsθ=2b2csθ，
不等式2a+b≥a+λb對(duì)任意θ恒成立，
所以(2a+b)2≥(a+λb)2，即4a?2+4a??b?+b?2≥a?2+2λa??b?+λ2b?2，
整理得(13?λ2)+(8?4λ)csθ≥0恒成立，
因?yàn)閏sθ∈?1,1，所以13?λ2+8?4λ≥013?λ2?8+4λ≥0，即?7≤λ≤3?1≤λ≤5，可得?1≤λ≤3，
即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為?1,3.
故選：A.

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