【同步講義】（人教A版2019）高中數(shù)學(xué)選修第三冊(cè)：7.4.2 超幾何分布講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?7.4.2 超幾何分布
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1．理解超幾何分布概率模型的特點(diǎn)，理解超幾何分布與古典概型之間的關(guān)系；
2．根據(jù)超幾何分布概率模型的特點(diǎn)，會(huì)求超幾何概型的分布列、期望、方差；
3．在實(shí)際問題中能用超幾何概型解決實(shí)際問題.
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能解決數(shù)學(xué)中的超幾何概率的相關(guān)問題，能建立超幾何概型解決實(shí)際問題.

知識(shí)點(diǎn)1 超幾何分布
1．定義：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，
k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表形式

X
0
1
…
m
P

…

則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．

2.均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝．
3.對(duì)超幾何分布的理解
（1）在超幾何分布的模型中，“任取件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗(yàn)，這時(shí)概率分布是二項(xiàng)分布.所以兩個(gè)分布的區(qū)別就在于是否為有放回地抽取.
（2）若隨機(jī)變量滿足：試驗(yàn)是不放回地抽取次；隨機(jī)變量表示抽到兩類中其中一類物品的件數(shù).則該隨機(jī)變量服從超幾何分布.
（3）超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，超幾發(fā)布的特征是：
①考察對(duì)象分兩類；
②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；
③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布
超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品，摸不同類別的小球概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.
【即學(xué)即練1】下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只，任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(4)某班級(jí)有男生25人，女生20人．選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列；
(5)現(xiàn)有100臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列．
【解析】(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題．
(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．
(5)中沒有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無法計(jì)算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問題．

【即學(xué)即練2】現(xiàn)有來自甲、乙兩班學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率為.
(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；
(2)設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求ξ≥1的概率．
【解析】(1)設(shè)甲班的學(xué)生人數(shù)為M，則＝＝，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．
∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共有3人．
(2)由題意可知，ξ服從超幾何分布．
∴P(ξ ≥1)＝P(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＝＋＝＋＝.

【即學(xué)即練3】有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)的均值是(　　)
A．n B.
C. D.
【解析】設(shè)抽到的次品數(shù)為X，則有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)X服從超幾何分布，∴抽到的次品數(shù)的均值E(X)＝.故選C

【即學(xué)即練4】某校高一，高二年級(jí)的學(xué)生參加書法比賽集訓(xùn)，高一年級(jí)推薦了4名男生，2名女生，高二年級(jí)推薦了3名男生，5名女生，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參加市上比賽.
(1)求高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；
(2)正式比賽時(shí)，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取2人參賽，設(shè)表示參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望
【答案】(1)；
(2)的分布列見解析，.
（1）
從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取人，
女生中隨機(jī)抽取人組成代表隊(duì)的抽取方法數(shù)為，
代表隊(duì)中恰好有名高一學(xué)生的抽取方式中，
恰有名高一學(xué)生，若學(xué)生為男生，則抽取方法數(shù)為，
若學(xué)生為女生，則抽取方法數(shù)為，
高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；
（2）
依題意得，的所有可能取值為，
則，
，
，
的分布了如下：

.

知識(shí)點(diǎn)2 超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別和聯(lián)系
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)）；
（3）當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.
注：（1）區(qū)別
由古典概型得出超幾何分布，由伯努利試驗(yàn)得出二項(xiàng)分布.這兩個(gè)分布的關(guān)系是，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，若采用有放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即(其中)若采用不放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從超幾何分布.超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”.超幾何分布的概率計(jì)算是古典概型問題，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算是相互獨(dú)立事件的概率問題.
（2）聯(lián)系
二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗.當(dāng)總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時(shí)，不放回抽樣可以認(rèn)為是有放回抽樣，即對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)，每抽取一次后，對(duì)的影響很小，超幾何分布可以近似為二項(xiàng)分布.
【即學(xué)即練5】某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列，并求其均值；
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．
【解析】(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．
(2)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0,1,2，X服從超幾何分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
X
0
1
2
P

∴X的均值為
方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　E(X)＝＝.
(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為＝.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
∴Y的分布列為
Y
0
1
2
P

考點(diǎn)一對(duì)超幾何分布的理解
解題方略：
判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)
(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象．
(2)是否為不放回抽樣．
(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù)．
【例1-1】【多選】下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有(　　)
A．在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X
B．從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)
C．一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機(jī)變量X
D．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動(dòng)，其中男生人數(shù)記為X
【解析】依據(jù)超幾何分布模型定義可知，ABD中隨機(jī)變量X服從超幾何分布．而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布．故選ABD

變式1：下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．
（1）拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；
（2）有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，把試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；
（3）盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；
（4）某班級(jí)有男生25人，女生20人．選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的概率分布；
（5）現(xiàn)有100臺(tái)MP3播放器未經(jīng)檢測，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的MP3播放器的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布．
【答案】答案見解析
【詳解】(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題．
(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類．隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．
(5)中沒有給出不合格品數(shù)，無法計(jì)算X的概率分布，所以不屬于超幾何分布問題．

變式2：一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號(hào)碼；
②X表示取出的最小號(hào)碼；
③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；
④X表示取出的黑球個(gè)數(shù)．
這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)X表示最大號(hào)碼，比如表示從黑球編號(hào)為中取3個(gè)黑球，
而表示從6個(gè)黑球和編號(hào)為的白球共7個(gè)球中取3個(gè)球，
故該隨機(jī)變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機(jī)變量不服從超幾何分布.
對(duì)于③，的可能取值為，
表示取出4個(gè)白球；
表示取出3個(gè)白球1個(gè)黑球；
表示取出2個(gè)白球2個(gè)黑球；
表示取出1個(gè)白球3個(gè)黑球；
表示取出4個(gè)黑球；
因此服從超幾何分布.
由超幾何分布的概念知④符合，
故選：B.

考點(diǎn)二超幾何分布的概率
解題方略：
求超幾何分布的分布列的步驟

【例2-1】某12人的興趣小組中，有5名“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用X表示這6人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則當(dāng)X取________時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率為.
【解析】由題意可知，X服從超幾何分布，由概率值中的C可以看出“從5名三好學(xué)生中選取了3名”．

【例2-2】一個(gè)盒子里裝有大小相同的10個(gè)黑球，12個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X，則下列概率等于的是(　　)
A．P(0

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