【同步講義】（人教A版2019）高中數(shù)學(xué)選修第三冊：6.2.2 排列數(shù) 講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?6.2.2 排列數(shù)

課程標(biāo)準
課標(biāo)解讀
1.理解與掌握排列數(shù)公式，熟練應(yīng)用排列數(shù)公式及性質(zhì)求解與排列數(shù)有關(guān)的量，并能證明恒等式，求方程的解及不等式的解.
2. 能解決一些簡單的實際問題.熟練應(yīng)用公式表達排列的相關(guān)關(guān)系，及求解常見的排列問題.
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能準確判斷排列問題，準確用排列數(shù)公式表達排列的關(guān)系，并能應(yīng)用排列數(shù)的公式求解與排列有關(guān)的實際問題與數(shù)學(xué)問題.

考點一排列數(shù)公式的應(yīng)用
（一）利用排列數(shù)公式求值
（二）利用排列數(shù)公式化簡
（三）利用排列數(shù)解不等式
（四）利用排列數(shù)公式證明
考點二無限制條件的排列問題
考點三有限制條件的排列問題
（一）“相鄰”問題
（二）“不相鄰”問題
（三）定序問題
（四）間接法
（五）元素的“在”與“不在”問題
考點四數(shù)字排列問題
考點五排列的綜合應(yīng)用

知識點1 排列數(shù)的定義
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A表示．
注：排列與排列數(shù)不相同，排列數(shù)是元素排列的個數(shù)，兩者顯然不同．
【即學(xué)即練1】甲?乙?丙三名同學(xué)排成一排，不同的排列方法有（）
A．3種 B．4種 C．6種 D．12種
【解析】甲?乙?丙三名同學(xué)排成一排，不同的排列方法有種故選：C

知識點2　排列數(shù)公式及全排列
1．排列數(shù)公式的兩種形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
2．全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為A＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.
【即學(xué)即練2】等于（）
A．9×3 B．93
C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3
【解析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式可得，故選：C.

【即學(xué)即練3】＝________.
【解析】＝＝36.

【即學(xué)即練4】89×90×91×92×…×100可表示為(　　)
A．A B．A C．A D．A
【解析】89×90×91×92×…×100＝＝＝A.故選C

【即學(xué)即練5】【多選】下列各式中與排列數(shù)A相等的是(　　)
A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C. D．A·A
【解析】∵A＝，而A·A＝n·＝，
∴A＝A·A.故選AD.

【即學(xué)即練6】在新冠肺炎疫情防控期間，某記者要去武漢4個方艙醫(yī)院采訪，則不同的采訪順序有（）
A．4種 B．12種 C．18種 D．24種
【解析】由題意可得不同的采訪順序有種，
故選：D.

知識點3 求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中
定序問題
除法處理
對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法
【即學(xué)即練7】三個女生和五個男生排成一排．
(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？
(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？
【解析】(1)(捆綁法)因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有A種不同的排法，對于其中的每一種排法，三個女生之間又有A種不同的排法．因此共有A·A＝4 320(種)不同的排法．
(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩邊男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰，由于五個男生排成一排有A種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個讓三個女生插入都有A種排法，因此共有A·A＝14 400(種)不同的排法．
(3)方法一　(位置分析法)因為兩端都不能排女生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，有A種不同的排法，對于其中的任意一種不同的排法，其余六個位置都有A種不同的排法，所以共有A·A＝14 400(種)不同的排法．
方法二　(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有A種不同的排法，從中扣除女生排在首位的A·A種排法和女生排在末位的A·A種排法，但兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次，所以還需加回來一次，由于兩端都是女生有A·A種不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14 400(種)不同的排法．
方法三　(元素分析法)從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，有A種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余五個位置又都有A種不同的排法，所以共有A·A＝14 400(種)不同的排法．
(4)方法一　(位置分析法)因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有A·A種不同的排法；如果首位排女生，有A種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有A·A·A種不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36 000(種)不同的排法．
方法二　(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有A種不同的排法，從中扣除兩端都是女生的排法A·A種，就得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．因此共有A－A·A＝36 000(種)不同的排法．

考點一排列數(shù)公式的應(yīng)用
解題方略：
排列數(shù)公式的選擇
(1)排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù)．
(2)排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算．
（一）利用排列數(shù)公式求值
【例1-1】計算：A和A.
【解析】A＝15×14×13＝2 730，A＝6×5×4×3×2×1＝720.

變式1：_________．
【解析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式，可得.故答案為：.

變式2：下列各式中，不等于的是（）
A． B． C． D．
【解析】A，，
B，，
C，，
D，，
故選：C

變式3：已知A－A＝10，則n的值為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.故選B

變式4：（1）已知，那么______；
（2）已知，那么______；
（3）已知，那么______．
【解析】（1）由，
則，
即，解得.
（2）由，
則，解得.
（3）由，
則且，
解得或（舍）.
故答案為：；；

（二）利用排列數(shù)公式化簡
【例1-2】(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n