【同步講義】（人教A版2019）高中數(shù)學(xué)選修第三冊(cè)：7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差 講義

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?7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差

課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1.通過(guò)具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量分布列的方差;
2.能解決與離散型隨機(jī)變量相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題中與方差的求解問(wèn)題.
3.能解決一些穩(wěn)定性的簡(jiǎn)單問(wèn)題與決策性問(wèn)題.
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),要求掌握離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求解，能解決與之相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題，有關(guān)決策性問(wèn)題的處理意見(jiàn)與建議.




知識(shí)點(diǎn)1 離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn

我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱則稱為隨機(jī)變量X的方差(variance)，有時(shí)也記為Var(X)，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)，記為σ(X)．
注：離散型隨機(jī)變量的方差的深層理解
①離散型隨機(jī)變量的方差是個(gè)數(shù)值，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù).
描述了 ()相對(duì)于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均值，刻畫了隨機(jī)變量的取值與其均值的平均偏離程度.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性和波動(dòng)、集中與離散程度，越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.
③均值與方差的關(guān)系
在實(shí)際問(wèn)題中僅靠均值還不能全面地說(shuō)明隨機(jī)變量的特征，還必須研究隨機(jī)變量的集中與離散程度，這就需要求出方差.
④方差公式的變形：
⑤方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定非負(fù).
【即學(xué)即練1】【多選】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(　　)
A．離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值
B．離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D．離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
【即學(xué)即練2】若隨機(jī)變量的分布列如表，則的方差是（????）


0
1




A．0 B．1 C． D．
知識(shí)點(diǎn)2　離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)
1．設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c為常數(shù))．
注：若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；
【即學(xué)即練3】已知隨機(jī)變量的取值為.若，，則（???????）
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)3 兩點(diǎn)分布的方差公式
一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么:.

1
0





考點(diǎn)一 求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
解題方略：
求離散型隨機(jī)變量方差的步驟
①理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有取值；
②求出X取每個(gè)值的概率；
③寫出X的分布列；
④計(jì)算E(X)；
⑤計(jì)算D(X)．
【例1-1】已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示：
X
1
3
5
P
0.4
0.1
a

則a＝________，D(X)＝________.

變式1:設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示，試求X的均值和標(biāo)準(zhǔn)差．
X
1
2
3
4
5
P







變式2:【多選】已知X的分布列為
X
1
2
3
4
P





則(　　)
A．E(X)＝ B．D(X)＝
C．D(X)＝ D．E(X)＝


變式3:編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，則E(ξ)＝________，D(ξ)＝________.










變式4:某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)球，其中3個(gè)黑球和2個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，記取出白球的個(gè)數(shù)為，
（1）求的概率即
（2）求取出白球的數(shù)學(xué)期望和方差


變式5:不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個(gè)紅球，個(gè)白球，若從中不放回地取出2個(gè)球，在第一個(gè)取出的球是紅球的前提下，第二個(gè)取出的球是白球的概率為．
(1)求白球的個(gè)數(shù)；
(2)若有放回的取出兩個(gè)求，記取出的紅球個(gè)數(shù)為，求，．



考點(diǎn)二 兩點(diǎn)分布的方差

【例2-1】設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A發(fā)生和A不發(fā)生，且P(A)＝m，令隨機(jī)變量X＝則X的方差D(X)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
變式1:設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，則E(X)，D(X)的值分別是(　　)
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
變式2:隨機(jī)變量的概率分布為，．若，則（????）
A． B． C． D．
變式3:【多選】若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．
C． D．

考點(diǎn)三 離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)
解題方略：
線性關(guān)系的方差計(jì)算：若η＝aξ＋b，則D(η)＝a2D(ξ)．
【例3-1】設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5

變式1:已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3，則D(3X＋5)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4


變式2:已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P




(1)求E(ξ)，D(ξ)，；
(2)設(shè)η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．

考點(diǎn)四 由離散型隨機(jī)變量的方差求參數(shù)
【例4-1】已知隨機(jī)變量滿足，且為正數(shù)，若，則（???????）
A． B． C． D．

考點(diǎn)五 離散型隨機(jī)變量方差的最值（范圍）問(wèn)題
【例5-1】已知隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
m
n
P

a

若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．無(wú)法計(jì)算

變式1:若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0