【同步講義】（人教A版2019）高中數(shù)學(xué)選修第三冊：6.3.2 二項式系數(shù)的性質(zhì) 講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

6.3.2 二項式系數(shù)的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀理解二項式系數(shù)的性質(zhì). 會用賦值法求展開式系數(shù)的和．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能理解二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)的增減性，靈活應(yīng)用賦值法求二項展開式各項系數(shù)和. 知識點1 二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C（注：，直線將函數(shù) 的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對稱軸.）增減性與最大值增減性：當(dāng)k<時，二項式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)k>時，二項式系數(shù)是逐漸減小的．最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且同時取得最大值各二項式系數(shù)的和(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令，則，從而得到：【即學(xué)即練1】在(a＋b)n的二項展開式中，與第k項的二項式系數(shù)相同的項是(　　)A．第n－k項 B．第n－k－1項C．第n－k＋1項 D．第n－k＋2項知識點2 賦值法在求各項系數(shù)和中的應(yīng)用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可．(2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.【即學(xué)即練2】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5. 【即學(xué)即練3】在二項式(2x－3y)9的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和．【即學(xué)即練4】已知的展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則（）A．4 B．5C．6 D．7知識點3 二項式系數(shù)或系數(shù)的最值1、二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值。如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值。2、系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。3、求解二項式系數(shù)或系數(shù)的最值問題的一般步驟：第一步，要弄清所求問題是“展開式系數(shù)最大”、“二項式系數(shù)最大”兩者中的哪一個．第二步，若是求二項式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解．若是求系數(shù)的最大值，有兩個思路，思路一：由于二項展開式中的系數(shù)是關(guān)于正整數(shù)n的式子，可以看作關(guān)于n的數(shù)列，通過判斷數(shù)列單調(diào)性的方法從而判斷系數(shù)的增減性，并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值；思路二：由于展開式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組即可求得答案．【即學(xué)即練5】已知n.(1)若展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；(2)若展開式中前三項的二項式系數(shù)之和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項．考點一二項式系數(shù)和問題【例1-1】已知的展開式中，第項和第項的系數(shù)相等，求這個展開式所有二項式系數(shù)之和．變式1：已知(1＋x)n的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為(　　)A．212 B．211 C．210 D．29 變式2：已知(1＋m)n(m是正實數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為256，展開式中含有x項的系數(shù)為112.(1)求m，n的值；(2)求展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和；(3)求(1＋m)n(1－x)的展開式中含x2項的系數(shù)．考點二二項展開式各項的系數(shù)和問題解題方略：二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可，對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.（一）求二項展開式各項系數(shù)和【例2-1】設(shè)(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于(　　)A．4 B．－71 C．64 D．199 變式1：已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．變式2：(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展開式中各項系數(shù)之和為(　　)A．2n＋1 B．2n－1C．2n＋1－1 D．2n＋1－2 （二）奇次項與偶次項的系數(shù)和【例2-2】若，則A． B． C． D．變式1：已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．變式2：若，其中.(1)求m的值；(2)求；(3)求. 變式3：(x－1)11的展開式中x的偶次項系數(shù)之和是(　　)A．－2 048 B．－1 023 C．1 024 D．－1 024 變式4：(2x－1)10的展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和為______．變式5：在n的展開式中，所有奇數(shù)項系數(shù)之和為1 024，則中間項系數(shù)是(　　)A．330 B．462 C．682 D．792 （三）由二項展開式各項系數(shù)和求參數(shù)【例2-3】的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為．變式1：已知的展開式中各項系數(shù)的和32，則展開式中項的系數(shù)為　　A．120 B．100 C．80 D．60 考點三二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用解題方略：(1)二項式系數(shù)最大的項的求法求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進行討論．①當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；②當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．(2)展開式中系數(shù)的最大項的求法求展開式中系數(shù)的最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需要根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù)變化情況進行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項最大，應(yīng)用解出k，即得出系數(shù)的最大項．（一）二項式系數(shù)的增減性與最值【例3-1】【多選】11的展開式中二項式系數(shù)最大的項是(　　)A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項變式1：在的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為（）A．-960 B．960 C．1120 D．1680 變式2：設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m的展開式中二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1的展開式中二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝________. 變式3：若的展開式中只有第三項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為（）A．6 B．12 C．24 D．48 （二）求二項展開式中系數(shù)最大的項【例3-2】在展開式中，下列說法錯誤的是（）A．常數(shù)項為 B．第5項的系數(shù)最大C．第4項的二項式系數(shù)最大 D．所有項的系數(shù)和為1 變式1：【多選】設(shè)二項式n的展開式中第5項是含x的一次項，那么這個展開式中系數(shù)最大的項是(　　)A．第8項 B．第9項C．第10項 D．第11項變式2：設(shè)，若，則展開式中系數(shù)最大的項是（）A． B． C． D．變式3：已知f(x)＝(＋3x2)n的展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．變式4：已知n(n∈N*)的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開式中各項系數(shù)的和；(2)求展開式中含的項；(3)求展開式中系數(shù)的絕對值最大的項．變式5：求的展開式中：(1)各項系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)的絕對值之和；(3)系數(shù)最小的項. 題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練1、若，則（）A． B．4 C． D． 2、已知(1)求；(2)求.3、設(shè)，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．4、已知.求下列各式的值.(1)；(2)；(3)；(4). 題組B 能力提升練5、的展開式中各項系數(shù)的和為16，則展開式中項的系數(shù)為（）A. B. C. 57 D. 33 6、已知二項式的展開式中各二項式系數(shù)之和比各項系數(shù)之和小240．求：(1)n的值；(2)展開式中x項的系數(shù)；(3)展開式中所有含x的有理項． 7、在(2x－3y)10的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和. 8、已知在的二項展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比為10：1，求該二項展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)．題組C 培優(yōu)拔尖練9、【多選】(1＋ax＋by)n的展開式中不含x的項的系數(shù)的絕對值的和為243，不含y的項的系數(shù)的絕對值的和為32，則a，b，n的值可能為(　　)A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5 10、已知在的二項展開式中，各項的系數(shù)之和比各項的二項式系數(shù)之和大992，求該二項展開式中系數(shù)最大的項． 11、已知的展開式中各項系數(shù)之和等于的展開式的常數(shù)項，而的展開式中系數(shù)最大的項等于54，則正數(shù)的值為__________.

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