? 拓展一：排列組合18種常見考法歸類

考點(diǎn)一 直接法
考點(diǎn)二 特殊元素和特殊位置優(yōu)先法
考點(diǎn)三 相鄰問題捆綁法
考點(diǎn)四 相離問題插空法
考點(diǎn)五 相鄰問題和相離問題綜合
考點(diǎn)六 定序問題倍縮法
考點(diǎn)七 分堆分配問題
考點(diǎn)八 相同元素隔板法
考點(diǎn)九 間接法
考點(diǎn)十 環(huán)（圓）排問題直排法
考點(diǎn)十一 多排問題單排法
考點(diǎn)十二 小集團(tuán)問題先整體后局部法
考點(diǎn)十三 兩類元素的排列，組合選位法
考點(diǎn)十四 含約束條件問題合理分類與分步法
考點(diǎn)十五 數(shù)字排序問題查字典法
考點(diǎn)十六 簡(jiǎn)單問題實(shí)際操作窮舉法
考點(diǎn)十七 排列組合綜合問題
考點(diǎn)十八 涂色問題分類分步綜合法

排列組合問題的解題方法主要有捆綁法、插空法、隔板法、間接法等.不同解題方法適用情境以及在相關(guān)細(xì)節(jié)的處理上存在較大差異.只有充分把握其本質(zhì)，對(duì)相關(guān)情境進(jìn)行正確、合理地想象，正確選擇對(duì)應(yīng)的解題方法，才能提高解題效率，因此，實(shí)踐中應(yīng)嚴(yán)把理解關(guān)，使學(xué)生真正地吃透與掌握.
直接法
分類法
選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類型，分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù)，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)
分步法
選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)
特殊元素或特殊位置優(yōu)先法
所謂“優(yōu)先法”是指在解決排列組合問題時(shí)，對(duì)有限制條件的元素（或位置）要優(yōu)先考慮，位置優(yōu)先法和元素優(yōu)先法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其他條件。
相鄰元素用捆綁法

捆綁法指將聯(lián)系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個(gè)整體，再與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)要注意合并后內(nèi)部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對(duì)待，能大大降低分析問題的難度.采用捆綁法分析排列組合問題,剩余元素的處理應(yīng)考慮其是排列問題還是組合問題,對(duì)于組合問題需將“順序”帶來(lái)的影響消除掉.
不相鄰用插空法

插空法在分析元素不相鄰問題時(shí)較為常用，即先將無(wú)特殊要求的元素排列好，而后看其產(chǎn)生多個(gè)滿足題意的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿足題目的相關(guān)要求.部分習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境較為復(fù)雜，還需采用捆綁法等其他一些方法.總之，無(wú)論采用何種方法，應(yīng)清楚形成的空的數(shù)量.
定序問題倍縮（消序法）
部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問題，稱之為定序（排列）問題．定序問題可以用倍縮法（消序法），還可用空位法。①消序法：將m＋n個(gè)元素排成一列，其中有m個(gè)元素之間的排列順序不變，設(shè)排列數(shù)為x；然后允許這m個(gè)元素任意排列共有種排法，經(jīng)過上述兩步后，問題等價(jià)于m＋n個(gè)元素任意排成一列，共有種不同的排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，因此②定序問題還可以采用先定后插或者先選后定等方法處理.

元素相同
隔板法
將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插入 n 個(gè)元素排成一排的個(gè)空當(dāng)中，所有分法數(shù)為，隔板法中"隔板"的目的在于將元素劃分成不同的“組別”，隔板既可以作為特殊的對(duì)象“插入”到實(shí)際元素形成的空中，也可將其看做特殊對(duì)象將其與實(shí)際元素進(jìn)行針對(duì)性地排列組合.究竟采用何種方法，需具體問題具體分析.
間接法
排列組合問題中有一類問題采用直接方法雖然能分析出結(jié)果，但是步驟較為繁瑣，對(duì)于多數(shù)學(xué)生而言容易忽略某一種情況為避免出錯(cuò)可采用間接法進(jìn)行處理，有些排列組合問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷，可以先求出它的反面，再?gòu)恼w中淘汰。（在解答有關(guān)"至多"與"至少"的問題時(shí)，通常有兩種方法：直接法或間接法.直接法是讓學(xué)生在解決相關(guān)的問題時(shí). 把重點(diǎn)放在對(duì)題目中每個(gè)元素的分析上面，這樣可以確定相關(guān)元素的限制性，更好地尋找其他的元素，結(jié)合更多元素進(jìn)行問題的綜合考慮.而間接法則是先讓學(xué)生忽略題目中給出的一些附加條件，再進(jìn)行整體的排列組合和相關(guān)的數(shù)量計(jì)算，這樣就可以得出一個(gè)結(jié)果，然后用這個(gè)附加條件來(lái)計(jì)算出一些不符合題目要求的結(jié)果，去除這些不合適的結(jié)果，這樣就可以通過減法得出最后的答案.但需要注意的是，此類題型的做法有很多，學(xué)生在審題時(shí)，一定考慮好做題的入手角度，在做題過程中，不要忽略任何一種情況，因?yàn)槭强陀^題，所以結(jié)果是得分的關(guān)鍵.如果在審題時(shí)你就發(fā)現(xiàn)不只有一種方法，那么選你最拿手的方法來(lái)思考，之后在檢驗(yàn)時(shí)用其他方法.）
重排問題求冪法

允許重復(fù)的排列問題是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置。一般地，n個(gè)不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為。
環(huán)排問題線排法
圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線，一般地，n個(gè)不同元素圓形排列，共有種排法。如果從n個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素進(jìn)行圓形排列，共有種排法。
多排問題單排法
一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。
小集團(tuán)題先整體后局部法
解小集團(tuán)排列問題，先整體后局部，再結(jié)合其他策略進(jìn)行處理。
兩類元素的排列，組合選位法
將m個(gè)元素a，n個(gè)元素b進(jìn)行全排列，我們可以從m＋n個(gè)位置中選擇m個(gè)位置安置元素a，剩下的n個(gè)位置安排元素b，其方法數(shù)有種，故稱這類排列為組合選位法.

分組與分配問題

對(duì)不同元素的分配問題．

整體均分
解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A（n為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù)．
部分均分
解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．
不等分
只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
對(duì)于相同元素的“分配”問題
對(duì)相同元素的分配問題一般采用“隔板法”
數(shù)字排序問題查字典法
數(shù)字排序問題可用查字典法，查字典法應(yīng)從高位向低位查，依次求出其符合要求的個(gè)數(shù)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。
實(shí)際操作窮舉策略

對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，往往利用窮舉法，一個(gè)一個(gè)列出來(lái)。




考點(diǎn)一 直接法
1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）現(xiàn)從6名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，則不同的選派方案的種數(shù)是（????）
A．20 B．90 C．120 D．240
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從3，5，7，11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a，b，則共可得到的不同值的個(gè)數(shù)為（????）
A．6 B．8 C．12 D．16
3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）從集合中分別取2個(gè)不同的數(shù)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到______個(gè)不同的對(duì)數(shù)值．
考點(diǎn)二 特殊元素和特殊位置優(yōu)先法
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2位教師和4名學(xué)生站成一排，要求2位教師站在中間，學(xué)生甲不站在兩邊，則不同排法的種數(shù)為_________
5．（2023春·山西太原·高二太原五中?？茧A段練習(xí)）上午要上語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育和外語(yǔ)四門功課，而數(shù)學(xué)老師因故不能上第二節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是（????）
A．24 B．22 C．20 D．12
6．（2023春·北京·高二北京市第一六六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校開展“迎奧運(yùn)陽(yáng)光體育”活動(dòng)，共設(shè)踢毽、跳繩、拔河、推火車、多人多足五個(gè)集體比賽項(xiàng)目，各比賽項(xiàng)目逐一進(jìn)行.為了增強(qiáng)比賽的趣味性，在安排比賽順序時(shí)，多人多足不排在第一場(chǎng)，拔河排在最后一場(chǎng)，則不同的安排方案種數(shù)為（????）
A．78 B．24 C．21 D．18
7．（寧夏銀川市2023屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）某校在“校園藝術(shù)周”活動(dòng)中，安排了同時(shí)進(jìn)行的演講、唱歌、跳舞三項(xiàng)比賽，現(xiàn)準(zhǔn)備從包括甲在內(nèi)的五名同學(xué)中隨機(jī)選派三名同學(xué)分別參加三項(xiàng)比賽，則甲不能參加演講比賽的概率為________．
考點(diǎn)三 相鄰問題捆綁法
8．（2023春·湖南·高二瀏陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）體育課上四名男生和兩名女生排成一排，要求兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是：__________．（用數(shù)字作答）
9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有8個(gè)節(jié)目，5個(gè)節(jié)目由大人表演，3個(gè)節(jié)目由孩子表演，要求孩子的節(jié)目要排在一起表演，有多少種不同的表演順序?
10．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某社區(qū)活動(dòng)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（????）
A．72種 B．81種 C．144種 D．192種
11．（2023春·河南鄭州·高二鄭州十九中校聯(lián)考期中）盲盒常指裝有不同公仔手辦，但消費(fèi)者不能提前得知款式的盒裝玩具，一般按系列販?zhǔn)郏碾S機(jī)性和一些隱藏款吸引著很多年輕人重復(fù)購(gòu)買．小明購(gòu)買了6個(gè)冰墩墩單只盲盒，拆開后發(fā)現(xiàn)有2個(gè)相同的“竹林春熙”以及2個(gè)相同的“冰雪派對(duì)”?“青云出岫”?“如意東方”各1個(gè)．小明想將這6個(gè)擺件排成一排，要求相同的擺件相鄰．若相同擺件視為相同元素，則一共有__________種擺放方法．
考點(diǎn)四 相離問題插空法
12．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）由1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1與2不相鄰的六位數(shù)，可以組成________個(gè)．
13．（2023春·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）由組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)不相鄰，且2不在第二位，則這樣的六位數(shù)共有______個(gè)．
14．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相鄰，且不站在隊(duì)伍的兩端，則共有____種排法．
15．（2023·高二單元測(cè)試）馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有（????）
A． B． C． D．
16．（2023春·山東菏澤·高二曹縣一中?？茧A段練習(xí)）四川師大附中某停車場(chǎng)某處并排連續(xù)有6個(gè)停車位，現(xiàn)有三輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上下車，規(guī)定：任何兩輛汽車都不得相鄰?fù)７?，則不同的停車方法有（???）
A． B． C． D．
17．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為256，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為（????）
A． B． C． D．
考點(diǎn)五 相鄰問題和相離問題綜合
18．（2023·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為維護(hù)國(guó)家海洋安全權(quán)益，我國(guó)海軍的5艘戰(zhàn)艦出海執(zhí)行任務(wù)，有2艘是驅(qū)逐艦，3艘是護(hù)衛(wèi)艦，在一字形編隊(duì)時(shí)，3艘護(hù)衛(wèi)艦中恰有2艘相鄰的概率是______.
19．（2022秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）把5件不同產(chǎn)品隨機(jī)擺成一排，則產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰的概率為（????）
A． B． C． D．
20．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）新年音樂會(huì)安排了2個(gè)唱歌、2個(gè)樂器和2個(gè)舞蹈共6個(gè)節(jié)目，則2個(gè)唱歌節(jié)目不相鄰且兩個(gè)樂器節(jié)目相鄰的節(jié)目單共有______種．（用數(shù)字表示）
21．（2023春·上海寶山·高二上海交大附中?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙等6人排成一排，則甲和乙相鄰且他們都和丙不相鄰的排法共有__________種.（填數(shù)字）
22．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)．小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有______個(gè)．
23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”“禮”主要指德育“樂”主要指美育“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)“書”指各種歷史文化知識(shí)“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每藝安排一次講座，共講六次，講座次序要求“禮”在第一次，“射”和“數(shù)”相鄰，“射”和“御”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（?????）種
A． B． C． D．
考點(diǎn)六 定序問題倍縮法
24．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）3名男生，4名女生，按照不同的要求排列，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù).
(1)全體站成一排，甲必須在乙的右邊；
(2)全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右順序不變.
25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）7個(gè)人按照下列要求排成一縱隊(duì)：A，B，C三人的前后順序一定，有多少種不同的排法？（用數(shù)字作答）
26．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）一條街道上原有6個(gè)路燈，假設(shè)保持這幾個(gè)路燈的相對(duì)順序不變，再多安裝3個(gè)路燈，則一共有多少種不同的安裝方法？
27．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某班聯(lián)歡會(huì)原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，如果將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（????）
A． B． C． D．
28．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三校考期末）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為_________

29．（2023秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┪迓曇綦A是中國(guó)古樂基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，把這五個(gè)音階排成一列，形成一個(gè)的音序，若徵、羽兩音階相鄰且在宮音階之后，則可排成不同的音序的種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）.
30．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）甲乙丙丁戊5人站成一排，則乙在甲右側(cè)且甲丙不相鄰的方法種數(shù)為（????）
A．12 B．24 C．36 D．48
31．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）《紅樓夢(mèng)》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞肉、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋?lái)樞蚬灿校????）
A．6種 B．12種 C．36種 D．72種
32．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（1）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
（2）書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法？（具體數(shù)字作答）
（3）某市春節(jié)晚會(huì)原定10個(gè)節(jié)目，導(dǎo)演最后決定添加3個(gè)與“抗冰救災(zāi)”有關(guān)的節(jié)目，但是賑災(zāi)節(jié)目不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)，并且已經(jīng)排好的10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則該晚會(huì)的節(jié)目單的編排總數(shù)為多少？
考點(diǎn)七 分堆分配問題
33．（2023春·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）現(xiàn)將甲乙丙丁四個(gè)人全部安排到市?市?市三個(gè)地區(qū)工作，要求每個(gè)地區(qū)都有人去，則甲乙兩個(gè)人至少有一人到市工作的安排種數(shù)為（????）
A．12 B．14 C．18 D．22
34．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）在學(xué)雷鋒志愿活動(dòng)中，安排4名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方式共有_____種.
35．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（????）
A．12 B．14 C．36 D．72
36．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）安排，，，，五名志愿者到甲，乙兩個(gè)福利院做服務(wù)工作，每個(gè)福利院至少安排一名志愿者，則，被安排在不同的福利院的概率為______．
37．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從甲?乙等6名醫(yī)生中任選3名分別去三所學(xué)校進(jìn)行核酸檢測(cè)，每個(gè)學(xué)校去1人，其中甲?乙不能去A學(xué)校，則共有___________種不同的選派方法.
38．【多選】（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為響應(yīng)政府部門疫情防控號(hào)召.某紅十字會(huì)安排甲乙丙丁4名志愿者分別奔赴，，三地參加防控工作，下列選項(xiàng)正確的是（????）
A．共有64種不同的安排方法
B．若地?zé)o人去，，兩地各有2人去，則共有6種不同的安排方法
C．每地均有人去，則共有36種不同的安排方法
D．若該紅十字會(huì)又計(jì)劃為這三地捐贈(zèng)20輛救護(hù)車（救護(hù)車相同），且每地至少安排一輛，則共有171種不同的安排方法
考點(diǎn)八 相同元素隔板法
39．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）某市擬成立一個(gè)由6名中學(xué)生組成的調(diào)查小組，并準(zhǔn)備將這6個(gè)名額分配給本市的4所實(shí)驗(yàn)中學(xué)，要求每所實(shí)驗(yàn)中學(xué)都有學(xué)生參加，那么不同的名額分配方法的種數(shù)是_________.
40．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校的高一年級(jí)總共有8個(gè)班級(jí)，現(xiàn)學(xué)校要求高一年級(jí)組織一個(gè)籃球隊(duì)，籃球隊(duì)隊(duì)員共12人， 每個(gè)班級(jí)中至少有一個(gè)人參加，問籃球隊(duì)隊(duì)員的名額分配有幾種方法？
41．（2023春·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（????）組不同的解.
A． B． C． D．
42．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）的展開式為多項(xiàng)式，其展開式經(jīng)過合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（????）
A．72項(xiàng) B．75項(xiàng) C．78項(xiàng) D．81項(xiàng)
考點(diǎn)九 間接法
43．（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有___________種.
44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，有一種游戲畫板，要求參與者用六種顏色給畫板涂色，這六種顏色分別為紅色、黃色1、黃色2、黃色3、金色1、金色2，其中黃色1、黃色2、黃色3是三種不同的顏色，金色1、金色2是兩種不同的顏色，要求紅色不在兩端，黃色1、黃色2、黃色3有且僅有兩種相鄰，則不同的涂色方案有（　　）

A．120種 B．240種 C．144種 D．288種
考點(diǎn)十 環(huán)（圓）排問題直排法
45．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）5個(gè)學(xué)生圍桌而坐，共有多少種排法？
46．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）現(xiàn)有m位同學(xué)，若站成一排，且甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共有60種，那么這m位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，不同的站法種數(shù)為______（用數(shù)字作答）．
考點(diǎn)十一 多排問題單排法
47．（2022春·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期中）有3名男生、4名女生，在下列不同的條件下，求不同的排列方法總數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人.
48．（2023秋·福建莆田·高二?？计谀┠炒髮W(xué)的兩名教授帶領(lǐng)四名學(xué)生外出實(shí)習(xí)，實(shí)習(xí)前在學(xué)院門口合影留念．若站成兩排合影，兩名教授站在前排，四名學(xué)生站在后排，則不同的排法種數(shù)為______（用數(shù)字作答）．
49．（2022春·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）5名學(xué)生，1名教師站成前后兩排照相，要求前排3人，后排3人，其中教師必須站在前排，那么不同的排法共有（????）
A．30種 B．360種 C．720種 D．1440種
考點(diǎn)十二 小集團(tuán)問題先整體后局部法
50．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求任意兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字之間至少有一個(gè)奇數(shù)數(shù)字，則符合要求的六位數(shù)的個(gè)數(shù)有______個(gè).
51．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）陽(yáng)春三月，草長(zhǎng)鶯飛，三個(gè)家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每?jī)晌淮笕酥g至多排2位寶寶，由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種數(shù)為（????）
A．216 B．288
C．432 D．512
考點(diǎn)十三 兩類元素的排列，組合選位法
52．（2023春·河南鄭州·高二中牟縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖是由12個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格，一質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)到點(diǎn)的不同路徑之中，最短路徑有________條.

53．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（????）

A．23 條 B．24 條 C．25條 D．26 條
考點(diǎn)十四 含約束條件問題合理分類與分步法
54．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）某班級(jí)周三上午共有5節(jié)課，只能安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育和物理.數(shù)學(xué)必須安排，且連續(xù)上兩節(jié)，但不能同時(shí)安排在第二三節(jié)，除數(shù)學(xué)外的其他學(xué)科最多只能安排一節(jié)，體育不能安排在第一節(jié)，則不同的排課方式共有（????）
A．48種 B．60種 C．72種 D．96種
55．（2023春·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，要求所選4人中既有男生又有女生，且男生甲與女生乙至少有1人入選，那么不同的組隊(duì)方法種數(shù)為（????）
A．696 B．736 C．894 D．930
56．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年4月，教育部印發(fā)了《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》，將勞動(dòng)教育作為義務(wù)教育階段一門獨(dú)立的課程.勞動(dòng)教育將成為學(xué)生成長(zhǎng)成才的必修課與基礎(chǔ)課.某學(xué)校準(zhǔn)備開設(shè)4項(xiàng)勞動(dòng)課程：“蔬菜種植”“綠植修剪”“糕點(diǎn)制作”“自行車修理”.開課之前，要安排4男2女共6名教師參加這4項(xiàng)勞動(dòng)課程的技術(shù)培訓(xùn)，要求：每一項(xiàng)培訓(xùn)都要有教師參加，每位教師只能參加其中一項(xiàng)培訓(xùn)，其中“蔬菜種植”必須安排2位教師，“自行車修理”不安排女教師，“糕點(diǎn)制作”不安排男教師，則不同的安排方法有（????）
A．132種 B．112種 C．96種 D．84種
考點(diǎn)十五 數(shù)字排序問題查字典法
57．（2023春·天津河?xùn)|·高二期中）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的
(1)四位整數(shù)；
(2)比2000大的四位偶數(shù).
58．（2023春·福建三明·高二三明一中?？茧A段練習(xí)）由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且比1300大的正整數(shù)__________.
59．（2023·高二單元測(cè)試）用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？
(1)偶數(shù)：
(2)左起第二?四位是奇數(shù)的偶數(shù)；
(3)比21034大的偶數(shù).
考點(diǎn)十六 簡(jiǎn)單問題實(shí)際操作窮舉法
60．（2022秋·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將四個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球放入四個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中
(1)若恰好有一個(gè)空盒，則有多少種放法？
(2)若每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則有多少種放法？
61．（2023春·江西南昌·高二?？茧A段練習(xí)）將編號(hào)為1至7的7個(gè)小球放入編號(hào)為1至7的7個(gè)盒子中,每個(gè)盒子中放1個(gè)小球,則恰好有3個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的放法有（????）
A．315種 B．210種 C．135種 D．105種
62．（2023春·全國(guó)·高二專題練習(xí)）“雙減”政策實(shí)施以來(lái)，各地中小學(xué)紛紛開展豐富的課后活動(dòng).某校積極開展各種棋類益智活動(dòng)，某項(xiàng)單人跳棋游戲的規(guī)則如下：如圖所示，棋子的初始位置為①處，玩家每擲出一枚骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)即為棋子沿棋盤實(shí)線順時(shí)針方向前進(jìn)的格子數(shù)，即玩家擲出的點(diǎn)數(shù)為 ，則棋子就按順時(shí)針方向前進(jìn)i個(gè)格子、一直循環(huán)下去，現(xiàn)在已知小明同學(xué)拋擲3次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)①處，則其不同的走法數(shù)為_________.(用數(shù)字作答)

考點(diǎn)十七 排列組合綜合問題
63．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）有男運(yùn)動(dòng)員名、女運(yùn)動(dòng)員名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各人.現(xiàn)名運(yùn)動(dòng)員排成一排.
(1)如果女運(yùn)動(dòng)員全排在一起，有多少種不同排法？
(2)如果女運(yùn)動(dòng)員都不相鄰，有多少種排法？
(3)如果女運(yùn)動(dòng)員不站兩端，有多少種排法？
(4)其中男隊(duì)長(zhǎng)不站左端，女隊(duì)長(zhǎng)不站右端，有多少種排法？
64．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）有3名男生、4名女生，求滿足下列不同條件的排隊(duì)方法的種數(shù).
(1)選其中5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；
(4)全體排一排，女生必須站在一起；
(5)全體排一排，男生互不相鄰；
(6)全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；
(7)全體排一排，甲必須排在乙的前面；
(8)全體排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
65．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）男生3人、女生3人任意排列，求下列事件發(fā)生的概率：
(1)站成一排，至少2個(gè)女生相鄰；
(2)站成一排，甲在乙的左邊（可以不相鄰）；
(3)站成前后兩排，每排3人，甲不在前排，乙不在后排；
(4)站成前后兩排，每排3人，后排每一個(gè)人都比他前面的人高；
(5)站成一圈，甲、乙之間恰好有1個(gè)人．
66．（2023春·山東菏澤·高二曹縣一中?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有大小相同的8個(gè)球，其中4個(gè)不同的黑球，2個(gè)不同的紅球，2個(gè)不同的黃球.
(1)將這8個(gè)球排成一列，要求黑球排在一起，2個(gè)紅球相鄰，2個(gè)黃球不相鄰，求排法種數(shù)；
(2)從這8個(gè)球中取出4個(gè)球，要求各種顏色的球都取到，求取法種數(shù)；
(3)將這8個(gè)球分成三堆，每堆至少2個(gè)球，求分堆種數(shù).
67．【多選】（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則（????）
A．全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法
B．放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法
C．將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入)，共有種放法
D．全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
68．【多選】（2023春·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法正確的有（????）
A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為
B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為
C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲?乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙?丁?戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是
D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為
考點(diǎn)十八 涂色問題分類分步綜合法
69．（2023春·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的5個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用四種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有______種.

70．（2023春·廣東惠州·高二惠州一中?？茧A段練習(xí)）用紅?黃?藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是（????）

A．18 B．24 C．30 D．36
71．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，用5種不同的顏色給圖中的、、、、、6個(gè)不同的點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂1種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有______種.

72．（2023春·貴州·高二遵義一中校聯(lián)考階段練習(xí)）小明的弟弟喜歡玩黏土，現(xiàn)在有4種顏色的黏土，小明的弟弟想要在如圖所示圓盤（分為5個(gè)區(qū)域）上填入黏土，要求每個(gè)區(qū)域只能填入一種顏色的黏土，且相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色的黏土，則不同的填入方法共有（????）

A．24種 B．48種 C．72種 D．96種
73．（2023春·山西太原·高二太原五中?？茧A段練習(xí)）四種不同的顏色涂在如圖所示的6個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色，滿足條件的涂法數(shù)有（????）種

A．24 B．72 C．120 D．144

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