?高中數(shù)學(xué)高一下 人教2019A版必修第二冊(cè)
8-3簡單幾何體的表面積與體積 課時(shí)練習(xí)
一、單選題
1．過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（????）
A． B． C． D．
2．底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5，它的體對(duì)角線的長分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積為（????）
A．160 B．80 C．100 D．120
3．將一個(gè)斜邊為2的等腰直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為（????）
A． B． C． D．
4．《九章算術(shù)》中，將兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長方體的斜截平分體，稱為塹堵.今有如圖所示的塹堵形狀容器裝滿水，當(dāng)水量使用了一半時(shí)，水面高度占的（????）

A． B．
C． D．
5．已知長方體全部棱長的和為，表面積為，則其體對(duì)角線的長為（????）
A． B． C． D．
6．已知四面體的棱長都等于2，那么它的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
7．如圖所示，平行四邊形中，，且.將其沿折成直二面角，所得的四面體的外接球表面積為（????）

A． B． C． D．
8．已知三棱錐，在底面中，，，面，，則此三棱錐的外接球的表面積為（?????）
A． B． C． D．
9．在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
10．一個(gè)圓柱內(nèi)接于一個(gè)底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（????）
A． B． C． D．
11．若一個(gè)三棱錐的底面是斜邊長為的等腰直角三角形，三條側(cè)棱長均為，則該三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
12．已知四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于，則球的體積等于（????）
A． B． C． D．

二、填空題
13．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅．圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐的側(cè)面積的比值是______．

14．由正三棱錐截得的三棱臺(tái)的高為，，．若三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為______．
15．詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》，是古代人對(duì)一些特殊錐體的稱呼．在《九章算術(shù)?商功》中，把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中平面，，，則四面體PABC的外接球的表面積為______．

16．如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長度都是2，則它的外接球的體積是___________.
17．某幾何體的三視圖如下圖所示，俯視圖是邊長為4的正三角形，則此幾何體的表面積為_________.


三、解答題
18．如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3.

（1）求正三棱錐的表面積；
（2）求正三棱錐的體積.
19．已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為.

（1）求圓錐的底面積；
（2）在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求圓柱的體積.
20．用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，求所需紙的最小面積．
21．如圖是邊長為1的正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體的幾分之幾？

22．已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為.

(1)求圓錐的底面積；
(2)在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求圓柱的高.
23．如圖，是圓柱的一條母線，是圓柱的底面直徑，在圓柱下底面圓周上，是線段的中點(diǎn)．已知．

（1）求圓柱的側(cè)面積；
（2）求證：．

答案：
1．B
【分析】根據(jù)截面是面積為16的正方形可求底面圓的半徑以及圓柱的高，進(jìn)而可求圓柱的側(cè)面積.
【詳解】如圖所示，過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是正方形ABCD，
面積為16，故邊長，
即底面半徑，側(cè)棱長為，
則圓柱的側(cè)面積是，
故選：B.

2．A
【分析】由已知條件求得底面菱形的兩條對(duì)稱線長，從而求得菱形的邊長，由側(cè)面積公式可得側(cè)面積．
【詳解】設(shè)底面邊長是a，底面的兩條對(duì)角線分別為l1，l2，
所以＝152－52，＝92－52.
又，
即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，
所以S側(cè)＝ch＝4×8×5＝160.
故選：A．

3．C
【分析】由題意旋轉(zhuǎn)后的幾何體圓錐，由題意求出其底面半徑和高，從而可得出答案.
【詳解】設(shè)為斜邊為2的等腰直角三角，將其繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐，如圖
則,
則圓錐的底面圓的半徑為 ，高為
所以其體積為
故選：C

4．C
【分析】由題意結(jié)合柱體的體積公式可知高沒變，底面積變?yōu)橐话?，而底面是等腰直角三角形，從而可求出邊長間的關(guān)系，進(jìn)而可求得答案
【詳解】水的一半就是體積的一半，柱體體積公式是底面積乘高，高沒變，底面積變?yōu)橐话耄?br /> 因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切?，所以邊長變?yōu)锳B的，
所以水面高度占AB的，
故選：C.
5．A
【分析】利用，可得對(duì)角線的長.
【詳解】設(shè)長方體的三條棱的長分別為：，
則，
可得對(duì)角線的長為．
故選：A．
6．C
【分析】根據(jù)正四面體的特征可知球心在高上，根據(jù)勾股定理，即可 求解半徑，進(jìn)而根據(jù)表面積公式即可求解球的表面積.
【詳解】如圖，正四面體棱長為2，平面于，則是中心，

，平面，平面，則，
設(shè)外接球球心為，則在，則為外接半徑，
由得，解得，
所以其外接球的表面積為，
故選：C．
7．D
【解析】由面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，求出的外接圓半徑，利用公式可求得外接球的半徑，然后利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.
【詳解】翻折前且，，則，
翻折后，平面平面，平面平面，平面，
平面，
的外接圓直徑為，，
所以，四面體的外接球半徑為，
因此，外接球的表面積為.
故選：D.
8．D
【分析】利用正弦定理求出的外接圓半徑為1，結(jié)合面，求出外接球半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.
【詳解】設(shè)的外接圓半徑為R，因?yàn)?，，由正弦定理得：，所以的外接圓半徑為1，設(shè)球心O在的投影為D，則DA=1，因?yàn)槊?，，故，由勾股定理得：，即此三棱錐的外接球的半徑為2，故外接球表面積為.

故選：D
9．A
【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大值時(shí)，平面平面，即可求出外接圓的半徑，從而求出面積.
【詳解】當(dāng)三棱錐的體積最大值時(shí)，平面平面，如圖，

取的中點(diǎn)為，連接，則.
設(shè)分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，
則在上，在上，且,
且平面，平面.
平面平面，平面平面，平面
平面，，同理
四邊形為平行四邊形
平面，平面
，即四邊形為矩形.


外接球半徑
外接球的表面積為
故選：A.
10．D
【解析】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，根據(jù)題中條件，得到內(nèi)接圓柱的高，由圓柱的側(cè)面積公式，表示出側(cè)面積，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】
圓錐的底面半徑為2，高為4，
設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，
則它的上底面截圓錐得小圓錐的高為，
因此，內(nèi)接圓柱的高；
圓柱的側(cè)面積為，
令，當(dāng)時(shí)，；
所以當(dāng)時(shí)，，
即圓柱的底面半徑為1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.
故選：D.
11．D
【分析】根據(jù)側(cè)棱相等的三棱錐的頂點(diǎn)在底面的投影為底面三角形的外心，而球心在過底面三角形外心且與底面垂直的直線上，構(gòu)造三角形借助勾股定理可解.
【詳解】三條側(cè)棱棱長相等，
∴P在底面的射影D是的外心，
又∵是斜邊為BC的等腰直角三角形，
∴D是BC中點(diǎn)，
易知直線PD上的點(diǎn)到A、B、C的距離相等，故三棱錐外接球的球心O在直線PD上，
記球的半徑為R，則直角三角形BOD中有
，
，故外接球表面積為.
故選：D

12．C
【分析】由條件可得球心為正方形的中心，當(dāng)此四棱錐的高為球的半徑時(shí)，此四棱錐體積取得最大值. 設(shè)球的半徑為,則，可得為等邊三角形，根據(jù)條件可得，從而得出答案.
【詳解】四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，
底面是正方形且和球心在同一平面內(nèi),
所以球心為正方形的中心，
當(dāng)此四棱錐的高為球的半徑時(shí)，此四棱錐體積取得最大值.
此時(shí)四棱錐為正四棱錐.
設(shè)球的半徑為，則,

為等邊三角形，則
所以此四棱錐的表面積為
所以，因此球的體積.

故選：C.
13．
【分析】設(shè)，則，，則可求出圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積，即可求出答案.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)椋裕?br /> 則圓柱的側(cè)面積，
圓錐的側(cè)面積，
故．
故答案為：.
14．
【分析】設(shè)三棱臺(tái)的上底面的外接圓的圓心為，下底面的外接圓的圓易得三棱臺(tái)的外接球的球心在上，分別求得AG，，在和，利用勾股定理求解.
【詳解】如圖所示：

設(shè)三棱臺(tái)的上底面的外接圓的圓心為，
下底面的外接圓的圓心為，則，為所在正三角形的中心，
故三棱臺(tái)的外接球的球心在上，
因?yàn)槭沁呴L為6的等邊三角形，故，
同理可得，
設(shè)三棱臺(tái)的外接球的半徑為，
在中，，
在中，，
又三棱臺(tái)的高為，
因?yàn)?，所以?br /> 故球心在的延長線上，
則，
解得，
所以球的表面積為．
故答案為：．
15．
【分析】確定外接球球心求得球半徑后可得表面積．
【詳解】由于平面，因此與底面上的直線都垂直，
從而與不可能垂直，否則是銳角三角形，由于，因此有，
而與是平面內(nèi)兩相交直線，則平面，平面，所以，
所以的中點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離相等，即為四面體PABC的外接球球心．
，，
所以所求表面積為．
故答案為：．

16．
【分析】將此三棱錐放入正方體中，即轉(zhuǎn)化為正方體的外接球的問題，而正方體的體對(duì)角線即為相應(yīng)的外接球的球直徑，進(jìn)而可以求得體積.
【詳解】因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且側(cè)棱均為，
所以它的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球，
求出正方體的對(duì)角線的長為，
所以球的直徑是，半徑為，所以球的體積為.
故答案為：.
17．
【分析】由三視圖還原原幾何體，確定幾何體的結(jié)構(gòu)，然后計(jì)算表面積．
【詳解】由三視圖，原幾何體是一個(gè)正三棱柱，高為2，底面邊長為4，
表面積為．
故答案為：．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）取的中點(diǎn)D，連接，利用勾股定理求得，可得三角形的面積，進(jìn)一步可得正三棱錐的側(cè)面積，再求出底面積，則正三棱錐的表面積可求；
（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.求解，再由棱錐體積公式求解.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱錐的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，
∴正三棱錐的側(cè)面積是.
∵正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，∴.
則正三棱錐的表面積為；
（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.
且.
在中，.
∴正三棱錐的體積為.

19．（1）；（2）.
【解析】（1）先由圓的周長公式求出圓錐的底面圓的半徑，再求圓錐的底面積；
（2）圓柱的高，，再由求出的關(guān)系式，進(jìn)而得出圓柱的側(cè)面積，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及圓柱的體積公式求解即可.
【詳解】解：（1）沿母線AB剪開，側(cè)展圖如圖所示：

設(shè)，在半圓⊙A中，， 弧長，
這是圓錐的底面周長，所以，
所以，
故圓錐的底面積為；
（2）設(shè)圓柱的高，，
在中，，
，所以，
即，，
，
，
所以，當(dāng)，時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，
此時(shí).
20．8
【分析】把正方體的表面展開，得到5個(gè)邊長為1的正方形組成十字形，并在四端加上四個(gè)斜邊為1的等腰直角三角形，就可以包住棱長為1的正方體，直接求面積即可.
【詳解】如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為，其面積為8．
????
圖①?????????????????圖②
21．.
【解析】根據(jù)三棱錐和柱體的體積公式，即可求解.
【詳解】由題意，邊長為1的正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、的中點(diǎn)，
鋸掉的三棱錐的體積.
正方體的體積.
鋸掉的這塊的體積是原正方體的.
故答案為：.
22．(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)展開圖扇形的弧長即為底面圓的周長求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的底面積；
（2）設(shè)圓柱的高，，根據(jù)三角形相似得到，即可表示出圓柱的側(cè)面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最大值，即可得解；
(1)
沿母線AB剪開，側(cè)展圖如圖所示：

設(shè)，在半圓⊙A中，，弧長，這是圓錐的底面周長，
所以，
所以，故圓錐的底面積為；
(2)
設(shè)圓柱的高，，
在中，，
∽，所以，即，，
圓柱側(cè)面積為：，
所以，當(dāng)，時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大.
23．（1）；（2）證明見解析．
【分析】(1)求出圓柱下底面圓周的周長，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式即可求解；（2）根據(jù)平面ABC，可得,結(jié)合可得平面,利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得證.
【詳解】（1）由題意可得，又，所以,
所以圓柱的側(cè)面積為.
(2)由題意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,因?yàn)椋?所以平面,又平面,所以.

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8.3 簡單幾何體的表面積與體積

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