?第八章　8.3　第2課時

A級——基礎(chǔ)過關(guān)練
1．長方體的長、寬、高分別為a,2a,2a，它的頂點都在球面上，則這個球的體積是(　　)
A．　 B．
C．　　 D．
【答案】C
【解析】設(shè)這個球的半徑為R，根據(jù)條件可知，外接球直徑2R＝＝3a，則R＝a，所以該球的體積為πR3＝πa3．故選C．
2．已知球的表面積為16π，則它的內(nèi)接正方體的表面積S的值是(　　)
A．4π B．32
C．24 D．12π
【答案】B
【解析】設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為a，由題意知球的半徑為2，則3a2＝16，所以a2＝，正方體的表面積S＝6a2＝6×＝32．故選B．
3．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為(　　)
A． B．
C．8π D．
【答案】C
【解析】設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為，∴截面圓的面積為S＝π2＝(R2－1)π＝π．∴R2＝2．∴球的表面積S＝4πR2＝8π．
4．把一個鐵制的底面半徑為r，高為h的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球，則這個鐵球的半徑為(　　)
A．　　　 B．
C．　　 D．
【答案】C
【解析】設(shè)鐵球的半徑為R，因為πr2h＝πR3，所以R＝．故選C．
5．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　)
A．π B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．∴r＝＝．∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝．故選B．
6．(2022春豐城市校級期末)某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為(　　)
A．56π B．64π
C．112π D．128π
【答案】C
【解析】如圖，由圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是60°，

則AD＝2，∠DAE＝60°，
即DE＝，AE＝O2O1＝1．
又上、下底面的面積之比為1：4，
則DO2＝2AO1．∴＝＝＝，
解得AO1＝，∴DO2＝2．
設(shè)該圓臺外接球的半徑為R，則AO＝DO＝R，
設(shè)OO2＝t，則OO1＝1十t，
則R2＝12＋t2，R2＝3＋(1＋t)2，解得t＝4，R2＝28，
則該圓臺外接球的表面積為4π×28＝112π，故選C．
7．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．兩個球的半徑之比為1∶2，則其表面積之比為1∶4
B．兩個球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4
C．經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑
D．若一個球的直徑是10，則它的體積為π
【答案】ACD
【解析】兩個球的半徑之比為1∶2，則其表面積之比為1∶4，體積之比為1∶8，A正確，B錯誤．C正確．D中，球的半徑為R＝＝5，故其體積為V＝πR3＝×π×53＝π，D正確．
8．已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為________．
【答案】16π
【解析】設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a．由V＝a2h＝a2＝6，得a＝．由題意知球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為r，則(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，則S球＝4πr2＝16π．
9．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________．

【答案】
【解析】設(shè)球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R．∴＝＝．
10．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱體，左右兩端均為半球，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．

解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．
該組合體的體積V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝．
B級——能力提升練
11．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，從外表上看，六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)(容器壁的厚度忽略不計)，則該球形容器的表面積的最小值為(　　)

A．21π　　　 B．40π
C．41π　　　 D．84π
【答案】D
【解析】表面積最小的球形容器可看成長、寬、高分別為4,2,8的長方體的外接球，設(shè)其半徑為R，則(2R)2＝42＋22＋82，即4R2＝84，所以球的最小表面積為4πR2＝84π．故選D．
12．(多選)在半徑為15的球O內(nèi)有一個底面邊長為12的內(nèi)接正三棱錐A－BCD，則此正三棱錐的體積可能是(　　)
A．864 B．432
C．216 D．108
【答案】AC
【解析】①如圖甲所示的情形，顯然OA＝OB＝OC＝OD＝15．設(shè)H為△BCD的中心，則A，O，H三點在同一條直線上．∵HB＝HC＝HD＝××12＝12，∴OH＝＝9，∴正三棱錐A－BCD的高h＝9＋15＝24．又∵S△BCD＝×(12)2＝108，∴V三棱錐A－BCD＝×108×24＝864．
　　
②對于圖乙所示的情形，同理，可得正三棱錐A－BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108，∴V三棱錐A－BCD＝×108×6＝216．綜上，可知三棱錐的體積為864或216．故選AC．
13．若將一個圓錐的側(cè)面沿一條母線展開，其展開圖是半徑為5，面積為15π的扇形，則與該圓錐等體積的球的半徑為________．
【答案】
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則扇形的側(cè)面展開圖面積S＝·2πr·5＝15π，∴r＝3．該圓錐的高h＝＝4，∴V圓錐＝π·32·4＝12π．設(shè)球的半徑為R，由題意得πR3＝12π，∴R＝．
14．(2022年杭州模擬)如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，則球O的體積為________；圓柱的側(cè)面積最大值為________．

【答案】π　32π
【解析】由題意知球的半徑R＝4，所以球的體積為πR3＝π．設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r2＋2＝42，得4r2＋h2＝64，即h2＝64－4r2，所以圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2π＝2π＝4π＝4π(0＜r＜4)，所以當r2＝8，即r＝2時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為32π．
15．已知一倒置圓錐的母線長為10 cm，底面半徑為6 cm．
(1)求該圓錐的高；
(2)若有一球剛好放進該圓錐(球與圓錐的底面相切)中，求這個球的半徑以及此時圓錐剩余空間的體積．
解：(1)設(shè)圓錐的高為h cm，底面半徑為R cm，母線長為l cm，則h＝＝＝8，所以圓錐的高為8 cm．

(2)球放入圓錐后的軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為r cm．
易得△OCD∽△ACO1，則＝，即＝，解得r＝3．
圓錐剩余空間的體積為圓錐的體積減去球的體積，即V圓錐－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)，故此時圓錐剩余空間的體積為60π cm3．

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8.3 簡單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

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