?第八章　8.3　第1課時

A級——基礎過關練
1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為(　　)
A．48 B．64
C．16 D．96
【答案】B
【解析】設正方體的棱長為a，則6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64．
2．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側面分成兩部分的面積之比等于(　　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶9
【答案】C
【解析】兩個錐體的側面積之比為1∶9，小錐體與臺體的側面積之比為1∶8．
3．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是(　　)
A．4π　　 B．3π
C．2π　　 D．π
【答案】C
【解析】底面圓半徑為1，高為1，側面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π．故選C．
4．一個棱錐被平行于底面的平面所截，截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是(　　)
A．1∶2　　 B．1∶8
C．∶2　　 D．∶4
【答案】C
【解析】∵在棱錐中，平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面相似，相似比等于截得的小棱錐與原棱錐對應棱長之比．∵一個棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，∴相似比為1∶＝∶2．則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是∶2．故選C．
5．如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4π，那么圓柱的體積等于(　　)
A．π　　 B．2π
C．4π　　 D．8π
【答案】B
【解析】設圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長為2r，由題意得S圓柱側＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π．故選B．
6．(多選)用邊長分別為2與4的矩形作圓柱的側面，則這個圓柱的體積可能為(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【答案】AC
【解析】圓柱的側面展開圖是邊長為2與4的矩形，當母線為2時，圓柱的底面半徑是＝，此時圓柱體積是π×2×2＝；當母線為4時，圓柱的底面半徑是，此時圓柱的體積是π×2×4＝．綜上，所求圓柱的體積是或．
7．若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖，正方體的A′，C′，D，B的四個頂點可構成一個正四面體，設正方體邊長為a，則正四面體邊長為a．∴正方體表面積S1＝6a2，正四面體表面積為S2＝4××(a)2＝2a2，∴＝＝．

8．如圖，ABC－A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C－AA′B′B的體積是________．

【答案】
【解析】因為VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′＝，所以VC－AA′B′B＝1－＝．
9．圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為________．
【答案】168π
【解析】先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解．圓臺的軸截面如圖所示，設上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8．故S側＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π．

10．若圓錐的表面積是15π，側面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．
解：設圓錐的底面半徑為r，母線為l，
則2πr＝πl(wèi)，得l＝6r．
又S錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圓錐的高h＝×．
V＝πr2h＝π×××＝π．
B級——能力提升練
11．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．底面半徑為3，母線長為5的圓錐的體積是12π
B．長、寬、高分別為1,1,2的長方體的表面積為10
C．棱長都是3的三棱錐的表面積為9
D．已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則該圓臺較小底面的半徑為7
【答案】ABCD
【解析】對于A，由已知圓錐的高h＝4，所以V圓錐＝π×32×4＝12π．對于B，所求長方體的表面積S＝2×(1×1)＋4×(1×2)＝10．對于C，因為三棱錐的四個面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9．對于D，設圓臺較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r，由S側＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7．A，B，C，D全選．
12．斗拱是中國古典建筑最富裝飾性的構件之一，并為中國所特有．圖1和圖2是斗拱實物圖，圖3是斗拱構件之一的“斗”的幾何體．本圖中的斗是由棱臺與長方體形凹槽(長方體去掉一個小長方體)組成．若棱臺兩底面面積分別是400 cm2,900 cm2，高為9 cm，長方體形凹櫓的體積為4 300 cm3，那么這個斗的體積是(　　)

A．5 700 cm3　　 B．8 100 cm3
C．10 000 cm3　　 D．9 000 cm3
【答案】C
【解析】由題意可知這個斗的體積V＝×(400＋＋900)×9＋4 300＝10 000(cm3)．故選C．
13．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4,3,3，三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形，側棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．

【答案】90　138
【解析】該幾何體的體積V＝4×6×3＋×4×3×3＝90，表面積S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋×4×3×2＋×3＋3×4＝138．
14．用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是________．
【答案】8
【解析】如圖1為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展開成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖2所示，由圖知正方形的邊長為2，其面積為8．
　　　　,
　　　　　　　　　　　　圖1　　　　　　　　圖2
15．降水量是指水平平面上單位面積降水的深度，現用上口直徑為38 cm、底面直徑為24 cm、深度為35 cm的圓臺形水桶(軸截面如圖所示)來測量降水量．如果在一次降雨過程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，求本次降雨的降水量是多少毫米．(精確到1 mm)

解：因為這次降雨的雨水正好是桶深的，
所以水深為×35＝5(cm)．
如圖，設水面半徑為r cm，在△ABC中，＝，所以＝7，r＝13．所以V水＝×(π×122＋＋π×132)×5＝π(cm3)．

水桶的上口面積是S＝π×192＝361π(cm2)，
所以＝×10≈22(mm)．
故此次降雨的降水量約是22 mm．

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8.3 簡單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

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