?5　探索與表達(dá)規(guī)律
第1課時(shí)　探索規(guī)律
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會(huì)用代數(shù)式表達(dá)規(guī)律，并能借助代數(shù)式的運(yùn)算驗(yàn)證所探索的規(guī)律的一般性.（重難點(diǎn)）
2.經(jīng)歷探索數(shù)量關(guān)系、運(yùn)用符號(hào)表達(dá)規(guī)律，體會(huì)探索規(guī)律的一般方法.（難點(diǎn)）
自主學(xué)習(xí)
學(xué)習(xí)任務(wù)　日歷中的數(shù)字規(guī)律
觀察教材第98頁(yè)的日歷圖，回答下列問(wèn)題.
1.（1）橫行上相鄰的兩個(gè)數(shù)相差多少？

（2）如果用a表示橫行上的第一個(gè)數(shù)，則與它相鄰的右邊的兩個(gè)數(shù)分別表示為
　　　　與　　　　.
2.（1）豎列上相鄰的兩個(gè)數(shù)相差多少？

（2）如果用a表示豎列上的最上面的數(shù)，則與它相鄰的下面的兩個(gè)數(shù)分別表示為
　　　　與　　　　.
3.（1）斜列上從左上到右下相鄰兩數(shù)相差多少？從右上到左下相鄰兩數(shù)相差多少？


（2）如果用a表示左上的數(shù)，則與它相鄰的右下的兩個(gè)數(shù)分別表示為　　　　與　　　??；如果用a表示右上的數(shù)，則與它相鄰的左下的兩個(gè)數(shù)分別表示為　　　　與　　　　.
4.如圖1所示，如果用a表示日歷圖3×3方框（每個(gè)方框中都有數(shù)）中的中間數(shù)，請(qǐng)你填出方框中另外的8個(gè)數(shù).




a




圖1
合作探究
如圖2所示，觀察日歷圖，完成下列問(wèn)題.
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


圖2
（1）日歷圖的套色方框中的9個(gè)數(shù)之和與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？
（2）這個(gè)關(guān)系對(duì)其他這樣的方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這個(gè)關(guān)系嗎？
（3）這個(gè)關(guān)系對(duì)任何一個(gè)月的日歷都成立嗎？為什么？
（4）你還能發(fā)現(xiàn)這樣的方框中9個(gè)數(shù)之間的其他關(guān)系嗎？








當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
1.如圖3所示，填在各方框中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，n的值是（　?。?br />
圖3
A.48 B.56 C.63 D.74
2.（山東德州中考）圖4是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個(gè)這樣的圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為（　?。?br />
① ② ③ ④
圖4
A.148 B.152 C.174 D.202
3.（山東泰安中考）圖5被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和.圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個(gè)數(shù)記為a1，第二個(gè)數(shù)記為a2，第三個(gè)數(shù)記為a3，…，第n個(gè)數(shù)記為an，則a4+a200＝　　　　.

圖5
4.圖6是某月的日歷，現(xiàn)用一方框在日歷中任意框出四個(gè)數(shù)，請(qǐng)用一個(gè)等式表示a，b，c，d之間的關(guān)系　　　?。ㄖ灰钜粋€(gè)即可）.
日
一
二
三
四
五
六






1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30






圖6
5.某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的20名同學(xué)站成一列做報(bào)數(shù)游戲，規(guī)則是：從前面第一位同學(xué)開(kāi)始，每位同學(xué)依次報(bào)自己的順序數(shù)的倒數(shù)加1，第一位同學(xué)報(bào)，第二位同學(xué)報(bào)，第三位同學(xué)報(bào)，…，這樣得到的20個(gè)數(shù)的積為　　　　.
課后提升
1.某種數(shù)字游戲規(guī)律如下表所示：
A行
2
3
4
5
6
…
2 009
B行
1
2
3
4
5
…
2 008
C行
1
4
7
10
13
…
x
按此規(guī)律，則表格中最右一欄中的x的值等于　　　　.
2.從１開(kāi)始的自然數(shù)按如圖7所示的規(guī)則排列，并用一個(gè)平行四邊形框出９個(gè)數(shù)，能否使這九個(gè)數(shù)的和等于①1 993；②1 143；③1 989？若能辦到，請(qǐng)寫(xiě)出平行四邊形框內(nèi)的最大數(shù)和最小數(shù)；若不能辦到，說(shuō)明理由.

圖7






反思感悟
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參考答案
自主學(xué)習(xí)
學(xué)習(xí)任務(wù)
1.（1）1?。?）a+1?a+2
2.（1）7　（2）a+7?a+14
3.（1）8　6?。?）a+8?a+16　a+6?a+12
4.解：
a-8
a-7
a-6
a-1
a
a+1
a+6
a+7
a+8
合作探究
解：（1）9個(gè)數(shù)之和為90，90＝10×9，這9個(gè)數(shù)之和是中間數(shù)的9倍.
（2）成立.設(shè)中間數(shù)為a，則這9個(gè)數(shù)的和為9a.
（3）成立.因?yàn)檫@9個(gè)數(shù)可以表示為，所以其和為9a.
（4）關(guān)系很多，例如：每一豎列上的數(shù)依次相差7，每一橫行上的數(shù)依次相差1.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
1.C　解析：首先根據(jù)上面的數(shù)值變化規(guī)律求出m的值為7，然后根據(jù)每個(gè)方格中的上面的數(shù)乘下面左側(cè)的數(shù)再加上上面的數(shù)得下面右側(cè)的數(shù)，求n即可.從方格上方的1，3，5，可以推出m＝7；第一個(gè)方格中，3＝1×2+1；第二個(gè)方格中，15＝3×4+3；第三個(gè)方格中，35＝5×6+5；所以第四個(gè)方格中，n＝7×8+7＝63.故選C.
2.C　解析：由題圖知第①個(gè)圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為（1+2+3）×2，第②個(gè)圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為（1+2+3+4）×2+2×1，第③個(gè)圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為（1+2+3+4+5）×2+2×2，第④個(gè)圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為（1+2+3+4+5+6）×2+2×3，…，第個(gè)圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為［1+2+3+…+（n+2）］×2+2（n-1），∴ 第⑩個(gè)圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）×2+2×9＝174.故選C.
3.20 110　解析：由已知數(shù)據(jù)1，3，6，10，15，…，可得an＝，
∴ a200＝＝20 100，∴ a4+a200＝10+20 100＝20 110.
4.答案不唯一.如可填a+d＝b+c.
解析：根據(jù)日歷中的規(guī)律：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+8.
本題的答案不唯一，認(rèn)真觀察分析，還能得出一些其他的規(guī)律，如a+b+14＝c+d，c-a＝d-b等.
5.21?解析：∵ 第一位同學(xué)報(bào)，第二位同學(xué)報(bào)，第三位同學(xué)報(bào)，…，
∴ 這樣得到的20個(gè)數(shù)分別為＝2，＝，＝，…，＝，＝，故這樣得到的20個(gè)數(shù)的積為2×＝21，故答案為21.
課后提升
1.6 022　解析：根據(jù)題意，觀察可得A，B兩行每一行的數(shù)字變化規(guī)律及數(shù)字個(gè)數(shù)，類(lèi)比可得C行的變化規(guī)律，進(jìn)而可得最后的一個(gè)數(shù)字.觀察可得：A行，第一個(gè)數(shù)為2，每一個(gè)比下一個(gè)小1，最后一個(gè)數(shù)為2 009，共2 008個(gè)數(shù)；B行，第一個(gè)數(shù)為1，每一個(gè)比下一個(gè)小1，最后一個(gè)數(shù)為2 008，共2 008個(gè)數(shù)；C行，第一個(gè)數(shù)為1，每一個(gè)比下一個(gè)小3，第n個(gè)數(shù)為3×n-2，則最后一個(gè)數(shù)為2 008×3-2＝6 022.故表格中最右一欄中的x的值等于6 022.
2.解：設(shè)平行四邊形正中間的數(shù)為a，則此9個(gè)數(shù)的和為9a.
①因?yàn)? 993不是9的倍數(shù)，所以不可能找到這樣的平行四邊形，使其中九個(gè)數(shù)的和等于1 993.
②1 143÷9＝127，127÷8＝15……7，這就是說(shuō)如果1 143是符合條件的九個(gè)數(shù)的和，則正中間的數(shù)一定是127，而127位于數(shù)表中從右邊數(shù)的第2列，但從題中的圖容易看出：平行四邊形正中間的數(shù)不能位于第1行，也不能位于從左數(shù)的第1列、第2列、第7列和第8列，因此不可能構(gòu)成以127為中心的平行四邊形.
③1 989÷9＝221，221÷8＝27……5，即1 989是9的倍數(shù)，九個(gè)數(shù)的和為1 989的平行四邊形如圖8，其中最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.

圖8

5　探索與表達(dá)規(guī)律
第2課時(shí)　表達(dá)規(guī)律
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會(huì)用代數(shù)式表達(dá)規(guī)律，能利用代數(shù)式的運(yùn)算解釋具體問(wèn)題中蘊(yùn)含的一般規(guī)律及現(xiàn)象.（重難點(diǎn)）
2.在解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)歸納、分析、猜想、抽象、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等思維方法，發(fā)展抽象思維能力.（難點(diǎn)）
自主學(xué)習(xí)
學(xué)習(xí)任務(wù)　表達(dá)規(guī)律
做游戲
1.準(zhǔn)備一副撲克牌，按下列步驟操作.請(qǐng)同學(xué)們按操作步驟完成表格.
操作步驟
代數(shù)表達(dá)
左
中
右
第一步，分發(fā)左、中、右三堆張數(shù)相同的牌（每堆牌不少于2張）
3
3
3
第二步，從左邊拿出2張放入中間



第三步，從右邊拿出1張放入中間



第四步，左邊現(xiàn)在有幾張牌，就從中間拿幾張牌放入左邊



結(jié)果得出中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)

2.如果用a（a>2）表示左、中、右三堆牌開(kāi)始的張數(shù)，請(qǐng)你按照操作步驟求出中間一堆牌最后的張數(shù).
操作步驟
代數(shù)表達(dá)
左
中
右
第一步，分發(fā)左、中、右三堆張數(shù)相同的牌（每堆牌不少于2張）
a
a
a
第二步，從左邊拿出2張放入中間



第三步，從右邊拿出1張放入中間



第四步，左邊現(xiàn)在有幾張牌，就從中間拿幾張牌放入左邊



結(jié)果得出中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)


合作探究
猜數(shù)游戲
游戲規(guī)則：你在心里想好一個(gè)兩位數(shù)，將十位數(shù)字乘2，然后加3，再將所得新數(shù)乘5，最后將得到的數(shù)加原來(lái)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字.把你的結(jié)果告訴我，我就知道你心里想的兩位數(shù).
（1）如果心里想的兩位數(shù)是12，則最后得到的數(shù)是多少？如果心里想的兩位數(shù)是78，則最后得到的數(shù)是多少？
（2）從問(wèn)題（1）你發(fā)現(xiàn)游戲結(jié)果與心里想的兩位數(shù)有什么關(guān)系？
（3）請(qǐng)用字母表達(dá)并借助代數(shù)式的運(yùn)算解釋其中的道理.









當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
1.甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行數(shù)字猜謎游戲：甲說(shuō)一個(gè)數(shù)a的相反數(shù)就是它本身，乙說(shuō)一個(gè)數(shù)b的倒數(shù)也等于它本身，請(qǐng)你猜一猜|a-b|＝　　　　.
2.猜數(shù)游戲
請(qǐng)你隨便想一個(gè)數(shù)，并將此數(shù)乘５加７，然后再將結(jié)果乘２減４，你將最后結(jié)果告訴我，我心里將這個(gè)結(jié)果減10，再除以10，我就能知道你想的數(shù).你能用字母表達(dá)并借助代數(shù)式的運(yùn)算解釋其中的道理嗎？











3.田老師在數(shù)學(xué)課上帶領(lǐng)同學(xué)們做數(shù)學(xué)游戲，規(guī)則如下：
游戲規(guī)則
甲任報(bào)一個(gè)有理數(shù)傳給乙；
乙把這個(gè)數(shù)減2后報(bào)給丙；
丙再把所得的數(shù)的絕對(duì)值報(bào)給??；
丁再把這個(gè)數(shù)的一半減1，報(bào)出答案.

根據(jù)游戲規(guī)則，回答下面的問(wèn)題.
（1）若甲報(bào)的數(shù)為，則乙報(bào)的數(shù)為　　　　，丁報(bào)出的答案是　　　　；
（2）若甲報(bào)的數(shù)為-3，請(qǐng)列出算式并計(jì)算丁報(bào)出的答案；
（3）若丁報(bào)出的答案是0，請(qǐng)寫(xiě)出甲報(bào)的數(shù).









課后提升
猜年齡
當(dāng)你變成你父親的年齡時(shí)，父親多少歲了？只要你用現(xiàn)在父親的年齡的2倍減去那時(shí)父親的年齡，把結(jié)果告訴我，我就能知道你現(xiàn)在的年齡.請(qǐng)你用字母表達(dá)并借助代數(shù)式的運(yùn)算解釋其中的道理.


















反思感悟
我的收獲：

我的易錯(cuò)點(diǎn)：

參考答案
自主學(xué)習(xí)
學(xué)習(xí)任務(wù)
1.解：
操作步驟
代數(shù)表達(dá)
左
中
右
第一步，分發(fā)左、中、右三堆張數(shù)相同的牌（每堆牌不少于2張）
3
3
3
第二步，從左邊拿出2張放入中間
3-2
3+2
3
第三步，從右邊拿出1張放入中間
3-2
3+2+1
3-1
第四步，左邊現(xiàn)在有幾張牌，就從中間拿幾張牌放入左邊
3-2+（3-2）
3+2+1-（3-2）
3-1
結(jié)果得出中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)
3+2+1-（3-2）＝5
2.解：
操作步驟
代數(shù)表達(dá)
左
中
右
第一步，分發(fā)左、中、右三堆張數(shù)相同的牌（每堆牌不少于2張）
a
a
a
第二步，從左邊拿出2張放入中間
a-2
a+2
a
第三步，從右邊拿出1張放入中間
a-2
a+2+1
a-1
第四步，左邊現(xiàn)在有幾張牌，就從中間拿幾張牌放入左邊
a-2+（a-2）
a+2+1-（a-2）
a-1
結(jié)果得出中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)
a+2+1-（a-2）＝5
合作探究
解：（1）27，93.?。?）游戲結(jié)果比心里想的兩位數(shù)大15.
（3）設(shè)心里想的兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10a+b，則游戲結(jié)果為5（2a+3）+b＝10a+15+b＝（10a+b）+15.所以用計(jì)算結(jié)果減15，就得到心里想的兩位數(shù).
當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
1.1　解析：相反數(shù)就是它本身的數(shù)是0；倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1.當(dāng)a＝0，b＝1時(shí)，|a-b|＝1；當(dāng)a＝0，b＝-1時(shí)，|a-b|＝1.總之|a-b|＝1.
2.解：設(shè)心里想的數(shù)為a，根據(jù)游戲規(guī)則可得
{[（5a+7）×2-4]-10}÷10＝（10a+14-4-10）÷10＝10a÷10＝a.
根據(jù)游戲規(guī)則最后得到的數(shù)與心里想的數(shù)相同.
3.（1）?　解析：若甲報(bào)的數(shù)為，則乙報(bào)的數(shù)為-2＝，
則丙報(bào)的數(shù)是，丁報(bào)出的答案為.
（2）解：若甲報(bào)的數(shù)為-3，則丁報(bào)出的答案為|-3-2|×-1.
因?yàn)閨-3-2|×-1＝5×-1＝，所以丁報(bào)出的答案是.
（3）解：設(shè)甲報(bào)的數(shù)為x，由題意，得|x-2|×-1＝0，所以|x-2|×＝1，所以|x-2|＝2，
所以x-2＝2或x-2＝-2，所以x＝4或x＝0.所以甲報(bào)的數(shù)是4或0.
課后提升
解：設(shè)你現(xiàn)在的年齡為a歲，父親現(xiàn)在的年齡為b歲.父親和你的年齡相差（b-a）歲.假如你變成父親的年齡b歲，則父親的年齡變成b+（b-a）＝（2b-a）（歲）.根據(jù)題意，得2b-（2b-a）＝2b-2b+a＝a（歲）.所得結(jié)果恰好是你現(xiàn)在的年齡 .所以只要你把結(jié)果告訴我，我就能知道你現(xiàn)在的年齡.

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

3.5 探索與表達(dá)規(guī)律

版本： 北師大版

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