新高考數(shù)學一輪復習講練教案8.4 橢圓（含解析）-教案下載-教習網(wǎng)

?第四節(jié)　橢圓
核心素養(yǎng)立意下的命題導向
1.結(jié)合橢圓的定義，考查應用能力，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合橢圓的定義、簡單的幾何性質(zhì)、幾何圖形，會求橢圓方程及解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．

[理清主干知識]
1．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．
(1)若a>c，則集合P為橢圓．
(2)若a＝c，則集合P為線段．
(3)若ab>0)，
所以解得a2＝9，b2＝8.
故橢圓C的方程為＋＝1.
4．(求參數(shù))橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m＝________.
解析：橢圓x2＋my2＝1可化為x2＋＝1，因為其焦點在y軸上，所以a2＝，b2＝1，依題意知＝2，解得m＝.
答案：
二、易錯點練清
1．(忽視橢圓定義中2a>|F1F2|) 到兩定點F1(－2,0)和F2(2，0)的距離之和為4的點的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．線段
C．圓 D．以上都不對
答案：B
2．(忽視對焦點位置的討論)若橢圓的方程為＋＝1，且此橢圓的焦距為4，則實數(shù)a＝________.
解析：①當焦點在x軸上時，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②當焦點在y軸上時，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
答案：4或8
3．(忽視橢圓上點的坐標滿足的條件)已知點P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為______________．
解析：設P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P點坐標為或.
答案：或

考點一　橢圓定義的應用
考法(一)　利用定義求軌跡方程
[例1]　(2021·濟南調(diào)研)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.－＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.－＝1 D．＋＝1
[解析]　設圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為＋＝1.
[答案]　D
考法(二)　求解“焦點三角形”問題
[例2]　橢圓C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上異于端點的任意一點，PF1，PF2的中點分別為M，N，O為坐標原點，四邊形OMPN的周長為2，則△PF1F2的周長是(　　)
A．2(＋) B．4＋2
C.＋ D．＋2
[解析]　如圖，由于O，M，N分別為F1F2，PF1，PF2的中點，
所以OM∥PF2，ON∥PF1，且
|OM|＝|PF2|，|ON|＝|PF1|，
所以四邊形OMPN為平行四邊形，
所以?OMPN的周長為
2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，
所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2，
所以△PF1F2的周長為2a＋2c＝2＋2＝2(＋)，故選A.
[答案]　A
考法(三)　利用定義求最值
[例3]　設點P是橢圓C：＋＝1上的動點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，定點A(2,1)，則|PA|＋|PF|的取值范圍是______________．
[解析]　如圖所示，設F′是橢圓的左焦點，連接AF′，PF′，則F′(－2,0)，
∴|AF′|＝＝.
∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4＋，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|
＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4－.
∴|PA|＋|PF|的取值范圍是[4－，4＋ ]．
[答案]　[4－，4＋ ]
[方法技巧]　橢圓定義應用的類型及方法
求方程
通過對題設條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動點滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程
焦點三角形問題　
利用定義求焦點三角形的周長和面積．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a兩邊平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值

[針對訓練]
1．(多選)(2021·日照模擬)已知P是橢圓＋＝1上一點，橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且cos∠F1PF2＝，則(　　)
A．△PF1F2的周長為12　　　 B．S△PF1F2＝2
C．點P到x軸的距離為 D．·＝2
解析：選BCD　由橢圓方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周長為2a＋2c＝6＋2，故A選項錯誤；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，
故S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B選項正確；
設點P到x軸的距離為d，則S△PF1F2＝|F1F2|·d＝×2d＝2，解得d＝，故C選項正確；
·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，故D選項正確．
2．(2021·惠州調(diào)研)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，且△F1AB的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則＋的取值范圍是________．
解析：由已知得2b＝2，故b＝1，
∴a2－c2＝b2＝1.　　?、?br /> ∵△F1AB的面積為，∴(a－c)b＝，
∴a－c＝2－. ②
由①②聯(lián)立解得，a＝2，c＝.
由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴＋＝＝＝，
又2－≤|PF1|≤2＋，
∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤＋≤4，
即＋的取值范圍是[1,4]．
答案：[1,4]
考點二　橢圓的標準方程
[例1]　過點(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析]　法一：定義法
橢圓＋＝1的焦點為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由橢圓的定義知，2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.故選C.
法二：待定系數(shù)法
設所求橢圓方程為＋＝1(k>－9)，將點(，－)的坐標代入，可得＋＝1，
解得k＝－5，
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.故選C.
[答案]　C
[例2]　如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－5,0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的標準方程為(　　)
A.＋＝1　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[解析]　由題意可得c＝5，設右焦點為F′，
連接PF′(圖略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝＝＝8，
由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
從而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴橢圓C的方程為＋＝1，故選C.
[答案]　C
[方法技巧]　求橢圓標準方程的2種常用方法
定義法
根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程
待定系
數(shù)法
若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)

[針對訓練]
1．若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為(　　)
A.＋y2＝1　　　　　　　 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正確
解析：選C　直線與坐標軸的交點為(0,1)，(－2,0)，由題意知當焦點在x軸上時，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標準方程為＋y2＝1；當焦點在y軸上時，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標準方程為＋＝1.
2．一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：選A　設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．由點P(2，)在橢圓上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6.所以橢圓方程為＋＝1.
考點三　橢圓的幾何性質(zhì)
考法(一)　求橢圓的離心率
[例1]　(1)(2021·武漢模擬)已知橢圓方程為＋＝1，且a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．
(2)過橢圓C：＋＝1的左焦點F的直線過C的上端點B，且與橢圓相交于點A，若＝3，則C的離心率為(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　(1)因為a，b，a＋b成等差數(shù)列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因為a，b，ab成等比數(shù)列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，橢圓方程為＋＝1，c＝＝，所以離心率e＝.故選C.
(2)由題意可得B(0，b)，F(xiàn)(－c,0)，
由＝3，得A，
又點A在橢圓上，則＋＝1，
整理可得·＝，
∴e2＝＝，e＝.故選D.
[答案]　(1)C　(2)D
[方法技巧]
求橢圓離心率的3種方法
(1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．
(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．
(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．
[提醒]　在解關(guān)于離心率e的二次方程時，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根. 　　
考法(二)　求橢圓的離心率的范圍
[例2]　(1)(2021·湛江模擬)已知橢圓C：＋＝1 (a>b>0)，直線y＝x與橢圓相交于A，B兩點，若橢圓上存在異于A，B兩點的點P使得kPA·kPB∈，則離心率e的取值范圍為(　　)
A. B．
C. D．
(2)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為P，直線l：4x－3y＝0與橢圓C相交于A，B兩點．若＋＝6，點P到直線l的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍是(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　(1)設P(x0，y0)，直線y＝x過原點，由橢圓的對稱性設A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
kPAkPB＝×＝.
又＋＝1，＋＝1，兩式做差，代入上式得kPAkPB＝－∈，故0b>0)，直線l過焦點且傾斜角為，以橢圓的長軸為直徑的圓截l所得的弦長等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為(　　)
A. B．
C. D．
解析：選D　直線l的方程為y＝x±c，以橢圓的長軸為直徑的圓截l所得的弦為AB，AB＝2c，設OC⊥AB，垂足為C，則OC＝＝c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2?a2＝2＋c2?a2＝c2?c＝a?e＝，故選D.
3．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓C上存在點P使∠F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　)
A. B．
C. D．
解析：選A　設P(x0，y0)，由題易知|x0|(x＋y)min，又y＝b2－x，xb2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又00，m≠n)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上的兩點，
把點A(x1，y1)，B(x2，y2)代入橢圓方程，
得將兩式作差并整理得
＋＝0，
記弦AB的中點為M(x0，y0)，
若x1≠x2，則＝－，
即·＝－，
從而kAB·＝－，即kAB·kOM＝－.
[應用體驗]
1．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點F(3，0)，過點F的直線交E于A，B兩點，若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為(　　)
A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：選D　設AB的中點為M(1，－1)，
則kAB·kOM＝－，
而kAB＝kMF＝＝，kOM＝－1，
故×(－1)＝－，故a2＝2b2，①
又a2＝b2＋9，②
由①②解得a2＝18，b2＝9，
故橢圓E的方程為＋＝1.
2．如果AB是橢圓＋＝1的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則kAB·kOM的值為(　　)
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
解析：選C　易知kAB·kOM＝－＝－1＝e2－1.

二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向
1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為12π，則橢圓C的方程為(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：選A　由題意可得解得a＝4，b＝3，
因為橢圓的焦點坐標在y軸上，
所以橢圓方程為＋＝1.
2．(2021·宜昌夷陵中學模擬)“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸．如圖所示，假設“嫦娥四號”衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，若用e1和e2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的離心率，則(　　)
A．e1>e2
B．e1a2>0，c1>c2>0，且a1－c1＝a2－c2.
令a1－c1＝a2－c2＝t，t>0，則a1＝t＋c1，a2＝t＋c2.
所以＝＝＝1＋，
＝＝＝1＋.
因為c1>c2>0，t>0，所以b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：選A　∵△AF1B的周長為4，
∴由橢圓的定義可知4a＝4，
∴a＝，∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程為＋＝1，故選A.
5．(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)橢圓＋＝1(m＞0)的焦點為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，若∠F1AF2＝，則m＝(　　)
A．1 B．
C. D．2
解析：選C　∵c＝＝1，b＝m，由∠F1AF2＝，得∠F1AO＝，
∴tan∠F1AO＝＝，解得m＝，故選C.
6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為(　　)
A．1－ B．2－
C. D．－1
解析：選D　由題設知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝＝＝－1.故選D.

二、綜合練——練思維敏銳度
1．橢圓以x軸和y軸為對稱軸，經(jīng)過點(2,0)，長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標準方程為(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：選C　由題意知，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，即a＝2b.因為橢圓經(jīng)過點(2,0)，所以若焦點在x軸上，則a＝2，b＝1，橢圓的標準方程為＋y2＝1；若焦點在y軸上，則a＝4，b＝2，橢圓的標準方程為＋＝1，故選C.
2．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為(　　)
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：選A　連接PF2，由題意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故選A.
3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程為(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．＋＝1
解析：選B　橢圓9x2＋4y2＝36可化為＋＝1，可知焦點在y軸上，焦點坐標為(0，±)，
故可設所求橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
則所求橢圓的標準方程為x2＋＝1.
4．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　)
A. B．
C. D．
解析：選B　不妨設直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選B.
5．(多選)設橢圓＋＝1的右焦點為F，直線y＝m(00)的兩個焦點，P為橢圓C上的一個點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，周長為18，則橢圓C的方程為________．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2為直角三角形，
又知△PF1F2的面積為9，∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周長為18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的橢圓方程為＋＝1.
答案：＋＝1
11．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，點P是橢圓在第一象限上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，過F2作∠F1PF2的外角的平分線的垂線，垂足為A，若|OA|＝2b，則橢圓的離心率為________．
解析：如圖，延長F2A交F1P于點M，由題意可知|PM|＝|PF2|，
由橢圓定義可知
|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.連接OA，知OA是△F1F2M的中位線，∴|OA|＝|MF1|＝a，
由|OA|＝2b，得2b＝a，則a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝a2，∴e＝＝.
答案：
12．設橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點．若∠F1AF2＝90°，則直線BM的斜率為________．
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴a＝b，即橢圓方程為＋＝1.
設M，A，B，且＋＝1，
即n2－b2＝－，
kAMkBM＝·＝＝＝－，
又kAM＝－1，∴kBM＝.
答案：
13．(2020·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(00.
由已知可得B(5,0)，直線BP的方程為y＝－(x－5)，
所以|BP|＝y(tǒng)P，|BQ|＝.
因為|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，
將yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直線BP的方程得yQ＝2或8.
所以點P，Q的坐標分別為P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝，直線P1Q1的方程為y＝x，點A(－5,0)到直線P1Q1的距離為，
故△AP1Q1的面積為××＝；
|P2Q2|＝，直線P2Q2的方程為y＝x＋，點A到直線P2Q2的距離為，
故△AP2Q2的面積為××＝.
綜上，△APQ的面積為.
14．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
其中c＝，設B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
將B點坐標代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.
所以橢圓的方程為＋＝1.
三、自選練——練高考區(qū)分度

1．已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，則C的方程為(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：選A　設橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b.
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|.
又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a.
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y軸上．
如圖所示，在Rt△AF2O中，
cos∠AF2O＝.
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cos∠BF2F1＝＝，
根據(jù)cos∠AF2O＋cos∠BF2F1＝0，可得＋＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.故選A.
2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF，設∠ABF＝α，且α∈，則該橢圓的離心率e的取值范圍為(　　)
A. B．(－1,1)
C. D．
解析：選A　如圖所示，設橢圓的左焦點為F′，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′為矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos α，
∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝＝.
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，
∴sin∈，
∴e∈.故選A.
3.如圖所示，A1，A2是橢圓C：＋＝1的短軸端點，點M在橢圓上運動，且點M不與A1，A2重合，點N滿足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，則＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．
解析：選A　由題意知A1(0,3)，A2(0，－3)．
設M(x0，y0)，N(x1，y1)，則直線MA1的斜率為kMA1＝.
由NA1⊥MA1，可得NA1的斜率為k NA1＝－.
于是直線NA1的方程為y＝－x＋3.　　①
同理，NA2的方程為y＝－x－3. ②
聯(lián)立①②消去y，得x＝x1＝.
因為M(x0，y0)在橢圓＋＝1上，所以＋＝1，從而y－9＝－，所以x1＝－，所以＝＝2.故選A.

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