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范圍問題【例1】 (2018·貴陽監(jiān)測)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且橢圓C上的點到一個焦點的距離的最小值為－.(1)求橢圓C的方程；(2)已知過點T(0,2)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若在x軸上存在一點E，使∠AEB＝90°，求直線l的斜率k的取值范圍．[解] (1)設橢圓的半焦距長為c，則由題設有解得a＝，c＝，∴b2＝1，故橢圓C的方程為＋x2＝1.(2)由已知可得，以AB為直徑的圓與x軸有公共點．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點為M(x0，y0)，將直線l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，Δ＝12k2－12，x1＋x2＝，x1x2＝.∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝，由題意可得解得k4≥13，即k≥或k≤－.故直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－]∪[，＋∞)．[規(guī)律方法] 求參數范圍的四種方法?1?函數法：用其他變量表示該參數，建立函數關系，利用求函數值域的方法求解.?2?不等式法：根據題意建立含參數的不等式，通過解不等式求參數范圍.?3?判別式法：建立關于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求參數的范圍.?4?數形結合法：研究該參數所表示的幾何意義，利用數形結合思想求解.
(2019·臨沂摸底考試)已知點F為橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形，直線＋＝1與橢圓E有且僅有一個交點M.(1)求橢圓E的方程；(2)設直線＋＝1與y軸交于P，過點P的直線l與橢圓E交于不同兩點A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求實數λ的取值范圍．[解] (1)由題意得a＝2c，b＝c，則橢圓E為＋＝1.由得x2－2x＋4－3c2＝0.∵直線＋＝1與橢圓E有且僅有一個交點M，∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0?c2＝1，∴橢圓E的方程為＋＝1.(2)由(1)得M，
∵直線＋＝1與y軸交于P(0,2)，∴|PM|2＝，當直線l與x軸垂直時，|PA|·|PB|＝(2＋)(2－)＝1，∴由λ|PM|2＝|PA|·|PB|?λ＝，當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，依題意得x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)＞0，∴k2＞，∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，∴λ＝，∵k2＞，∴＜λ＜1，綜上所述，λ的取值范圍是. 
最值問題?考法1 利用幾何性質求最值問題【例2】 在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個動點．若點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數c的最大值為________． [雙曲線x2－y2＝1的漸近線為x±y＝0，直線x－y＋1＝0與漸近線x－y＝0平行，故兩平行線的距離d＝＝.由點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，得c≤，故c的最大值為.]?考法2 建立函數關系利用基本不等式或二次函數求最值【例3】 已知點A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點．當△OPQ的面積最大時，求l的方程．[解] (1)設F(c,0)，由條件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程為＋y2＝1.(2)當l⊥x軸時不合題意，故設l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．將y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.當Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時，x1,2＝.從而|PQ|＝|x1－x2|＝.又點O到直線PQ的距離d＝.所以△OPQ的面積S△OPQ＝d·|PQ|＝.設＝t，則t>0，S△OPQ＝＝.因為t＋≥4，當且僅當t＝2，即k＝±時等號成立，且滿足Δ>0.所以，當△OPQ的面積最大時，l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.?考法3 建立函數關系利用導數求最值問題【例4】 (2017·浙江高考)如圖，已知拋物線x2＝y，點A，B，拋物線上的點P(x，y)－<x<.過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.
(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．[解] (1)設直線AP的斜率為k，k＝＝x－，因為－<x<，所以直線AP斜率的取值范圍是(－1,1)．(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是xQ＝.因為|PA|＝＝(k＋1)，|PQ|＝(xQ－x)＝－，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因為f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在區(qū)間上單調遞增，上單調遞減，因此當k＝時，|PA|·|PQ|取得最大值.[規(guī)律方法] 圓錐曲線中最值問題的解決方法?1?代數法：從代數的角度考慮，通過建立函數、不等式等模型，利用二次函數法和基本不等式法、換元法、導數法等方法求最值.?2?幾何法：從圓錐曲線幾何性質的角度考慮，根據圓錐曲線幾何意義求最值. (2019·邢臺模擬)已知橢圓＋y2＝1上兩個不同的點A，B關于直線y＝mx＋對稱．
(1)求實數m的取值范圍；(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標原點)．[解] (1)由題意知m≠0，可設直線AB的方程為y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因為直線y＝－x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①將AB的中點M代入直線方程y＝mx＋，解得b＝－，②由①②得m＜－或m＞.故m的取值范圍是∪.(2)令t＝∈∪，則t2∈.則|AB|＝·，且O到直線AB的距離為d＝.設△AOB的面積為S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤，當且僅當t2＝時，等號成立，此時滿足t2∈.故△AOB面積的最大值為.
(2018·全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．[解] (1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由題設知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
這是一份高考數學一輪復習教案 第2章_第12節(jié)_導數與函數的極值、最值（含答案解析），共11頁。
這是一份高考數學一輪復習教案 第2章_第2節(jié)_函數的單調性與最值（含答案解析），共12頁。
這是一份高中數學高考第8節(jié) 圓錐曲線中的范圍、最值問題 教案，共11頁。
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